Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 18
Текст из файла (страница 18)
 ñèëó äèñòðèáóòèâíîñòè, 0 · a = (0 + 0) · a = (0 · a) + (0 · a). Äàëåå,ïóñòü b = −(0 · a) (ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð ê âåêòîðó 0 · a). Òîãäà 0 = b + (0 · a) =(b + (0 · a)) + (0 · a) ⇒ 0 = 0 · a. 2Óòâåðæäåíèå 2.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèå 3.Äîêàçàòåëüñòâî.α · 0 = 0 ∀ α ∈ R.α · 0 = α(0 + 0) = α · 0 + α · 0 ⇒ α · 0 = 0.2(−1) · a = −a ∀ a ∈ V . ñèëó óòâåðæäåíèÿ 1 è äèñòðèáóòèâíîñòè, 0 = 0·a = (1+(−1))·a =(1 · a) + ((−1) · a) = a + ((−1) · a).
2Óòâåðæäåíèå 4. Åñëè α · a = 0, òî ëèáî α = 0, ëèáî a = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α 6= 0. Òîãäà2 111α ·a=(α · a) =· 0 = 0.a=1·a=ααα2Êàê è ðàíüøå, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α1 , . . . , αn âåêòîð w âèäàw = α1 a1 + . . . + αn aníàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , . . . an , à ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñî âñåìè âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ α1 , . . . , αn íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , . .
. , an è îáîçíà÷àåòñÿ L(a1 , . . . , an ). äàëüíåéøåì ÷èñëî 0 è íóëåâîé âåêòîð 0 áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ îäíèì è òåì æåñèìâîëîì 0.11.2Ïðèìåðû áåñêîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ(1) Ìíîæåñòâî ôóíêöèé ñ âåùåñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè íà îòðåçêå [0, 1].Ñóììà f + g ôóíêöèé f è g îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè (f + g)(x) =f (x) + g(x). Ïðè óìíîæåíèè ôóíêöèè íà ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ ôóíêèöÿ αf , îïðåäåëÿåìàÿ ïðàâèëîì (αf )(x) = αf (x). Ðîëü íóëåâîãî âåêòîðà âûïîëíÿåò ôóíêöèÿ,òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ íóëþ.1 Äàííîå ñâîéñòâî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êàæäûé âåêòîðíåêîòîðîãî âåêòîðàa ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a = αb äëÿb è íåêîòîðîãî ÷èñëà α.
 ñàìîì äåëå, åñëè ýòî ñâîéñòâî âûïîëíåíî, òî ìîæíî âçÿòüb = a è α = 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü âûïîëíåíèå ýòîãî ñâîéñòâà íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, íî èçâåñòíî, ÷òîa = αb. Òîãäà, èñïîëüçóÿ àêñèîìó α(β a) = (αβ) a, ïîëó÷àåì 1 · (αb) = (1 · α) · b = αb ⇒ 1 · a = a.2 Óòâåðæäåíèå íåëüçÿ ïîëó÷èòü áåç àêñèîìû 1 · a = a.  ñàìîì äåëå, âîçüìåì ëþáóþ àáåëåâó ãðóïïóV ñ íóëåâûì ýëåìåíòîì 0 è îïðåäåëèì óìíîæåíèå íà ÷èñëî ïðàâèëîì αa = 0 äëÿ âñåõ ÷èñåë α èâåêòîðîâ a ∈ V . Ïðè ýòîì áóäóò âûïîëíåíû âñå àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, êðîìå äàííîé.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ75(2) Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk }∞k=1 .Ñóììà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk } è {yk } îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{zk } ñ ÷ëåíàìè zk = xk + yk .
Ïðîèçâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } íà ÷èñëîα îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zk } ñ ÷ëåíàìè zk = αxk . Ðîëü íóëåâîãîâåêòîðà âûïîëíÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.(3) Ìíîæåñòâî ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xk }∞k=1 .Îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íåîáõîäèìî ëèøü çàìåòèòü, ÷òî ñóììà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îñòàíåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, à óìíîæåíèå ñõîäÿùåéñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà ÷èñëî òàêæå äàåò ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Ïðèìåðû (1)-(3) çàìå÷àòåëüíû òåì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êàêîãî-òî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ.
Òàêèåëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûìè.Äîêàæåì, íàïðèìåð, áåñêîíå÷íîìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé. Ïðåäïîëîæèì îòïðîòèâíîãî, ÷òî îíî ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êàêèõ-òî ôóíêöèé f1 , . . . , fn . Òîãäàëþáàÿ ôóíêöèÿ f èìååò âèäf (x) = α1 f1 (x) + . . . + αn fn (x).(∗)Âûáåðåì n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê x1 , . . . , xn ∈ [0, 1] è äëÿ ïðîèçâîëüíî âûáðàííîéôóíêöèè f ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèéα1 (f ) f1 (x1 ) + . .
. + αn (f ) fn (x1 ) = f (x1 ),............α1 (f ) f1 (xn ) + . . . + αn (f ) fn (xn ) = f (xn ).Ýòî åñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî α1 (f ), . . . , αn (f ).Åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äàííîé ñèñòåìû íåîáðàòèìà, òî çàâåäîìî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò íå äëÿ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè. Òîãäà ðàâåíñòâî (∗) íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû äëÿîäíîé ôóíêöèè f . Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äîëæíà áûòü îáðàòèìîé.Ïîýòîìó äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f êîýôôèöèåíòû α1 (f ), . . .
, αn (f ) îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.Ïóñòü òåïåðü òî÷êà x∗ ∈ [0, 1] íå ñîâïàäàåò íè ñ îäíîé èç òî÷åê x1 , . . . , xn . Çàâåäîìîñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ g òàêàÿ, ÷òî g(xi ) = f (xi ) ïðè i = 1, . . . , n, íî g(x∗ ) 6= f (x∗ ).ßñíî, ÷òî αi (f ) = αi (g) ïðè i = 1, . . . , n, îòêóäà f = g , ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ïîñêîëüêóf (x∗ ) 6= g(x∗ ). 2Çàäà÷à.ñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë11.3f1 (x), . .
. , fn (x) íåîáõîäèìî è äînxn ìàòðèöà [fi (xj )]ij=1 áûëà îáðàòèìîé.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèéx1 , . . . ,Ïðèìåðû êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâËèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ëèíåéíóþ îáîëî÷êó íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ, íàçûâàþòñÿ êîíå÷íîìåðíûìè.(1) Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n.76Ëåêöèÿ 11Ìíîãî÷ëåíîì (ïîëèíîìîì) îò x ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäàf (x) = an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + . . . + a1 x + a0 .Åñëè ak 6= 0 è ak+1 = .
. . = an−1 = 0, òî k íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà f (x).Âûðàæåíèÿ âèäà axi íàçûâàþòñÿ îäíî÷ëåíàìè, èëè ìîíîìàìè.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü f (x) êàê ôóíêöèþ îò x. Òîãäà ñóììà ìíîãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíà íà ÷èñëî îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê â ñëó÷àå ôóíêöèé îáùåãî âèäà.Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòèõ îïåðàöèé îñòàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè. Î÷åâèäíî,ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîéîäíî÷ëåíîâ âèäàxn−1 , xn−2 , . . .
, x1 , x0 ≡ 1.(2) Ìíîæåñòâî m × n-ìàòðèö ñ ôèêñèðîâàííûìè ðàçìåðàìè m è n. äàííîì ñëó÷àå ñëîæåíèå âåêòîðîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñëîæåíèå ìàòðèö, à óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî êàê óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî.Îáîçíà÷èì ÷åðåç E kl = [(E kl )ij ] ìàòðèöó ðàçìåðîâ m × n ñ ýëåìåíòàìè âèäà1, i = k, j = l,kl(E )ij =0,èíà÷å.Òàêèõ ìàòðèö ðîâíî mn è î÷åâèäíî, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî m × n-ìàòðèö ÿâëÿåòñÿèõ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé.(3) Ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b.Åñëè ðàíã m×n-ìàòðèöû A ðàâåí r, òî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé äàííîéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ñîäåðæèò n − r âåêòîðîâ, à âñå ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñîâïàäàåòñ èõ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé.Äàííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ íóëü-ïðîñòðàíñòâîì, èëè ÿäðîì ìàòðèöû A.
Îáîçíà÷åíèå: ker A (â íåêîòîðûõ êíèãàõ null A).(4) Ìíîæåñòâî âñåõ ñòîëáöîâ âèäà y = Ax (äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû A).Ýòî õîðîøî çíàêîìîå íàì ìíîæåñòâî, ñîâïàäàþùåå ñ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Îíî íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ìàòðèöû A. Îáîçíà÷åíèå: imA.11.4Áàçèñ è ðàçìåðíîñòüÏóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâîèõ âåêòîðîâ:V = L(a1 , . . . , an ).Ïîíÿòèÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé è ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåì âåêòîðîâ â àáñòðàêòíîìñëó÷àå íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ îò òåõ æå ïîíÿòèé â ñëó÷àå ìàòðèö-ñòîëáöîâ. Òî æå ñïðàâåäëèâî â îòíîøåíèè áàçèñà è ðàçìåðíîñòè:• V ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíóþ îáîëî÷êó íåêîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîéïîäñèñòåìû âåêòîðîâ a1 , . .
. , an ;Å. Å. Òûðòûøíèêîâ77• áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå V îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìàâåêòîðîâ, äëÿ êîòîðîé V ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé; ëþáûå äâà áàçèñà â Vñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî âåêòîðîâ; ÷èñëî âåêòîðîâ â áàçèñå íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà V è îáîçíà÷àåòñÿ dim V ;• ëþáóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ èç V ìîæíî äîñòðîèòü äî áàçèñàV ; áîëåå òîãî, ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ÷àñòè âåêòîðîâ a1 , .
. . , an .Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ïðåäëîæåíèé ïîâòîðÿþò äîêàçàòåëüñòâà èç Ëåêöèè 3 äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ êîãäà ïîä âåêòîðàìè ïîäðàçóìåâàëèñü ìàòðèöûñòîëáöû.11.5Ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàÍåïóñòîå ìíîæåñòâî W ⊂ V íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V ,åñëè îíî ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé, äåéñòâóþùèõâ V . ßñíî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû W áûëî ïîäïðîñòðàíñòâîì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ W è ëþáîãî ÷èñëà α èìåëè ìåñòî âêëþ÷åíèÿ a+b ∈ Wè αa ∈ W .Åñëè âåêòîðû a1 , .
. . , an ïðèíàäëåæàò ïîäïðîñòðàíñòâó W , òî L(a1 , . . . , an ) ⊂ W.Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî V âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ñ ñèñòåìîé êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå O. Ïîñêîëüêó êàæäûé ñâîáîäíûé âåêòîð ïîðîæäàåòñÿîäíèì è òîëüêî îäíèì ðàäèóñ-âåêòîðîì, ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ ìîæÏÐÈÌÅÐ.−→íî îòîæäåñòâëÿòü ñ ïîäìíîæåñòâîì ðàäèóñ-âåêòîðîâ OA èëè èõ êîíöîâ òî÷åê A.Ìíîæåñòâî V , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â V .  òî æå âðåìÿ, åñëè l ïðÿìàÿ, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî îíà ïîäïðîñòðàíñòâîì íå ÿâëÿåòñÿ:−→−→−→ïóñòü A, B ∈ l è OC = OA + OB ; ÿñíî, ÷òî C ∈/ l.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîRníåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ êî-íå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ñîâïàäàåò ñ11.6Rnè ÿâëÿåòñÿ åãî ïîäïðîñòðàíñòâîì.Ñóììà è ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâÏóñòü P è Q ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V .
Ïîä ñóììîé P + Q ïîíèìàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âèäà w = p + q , ãäå p ∈ P , q ∈ Q. Ïîä ïåðåñå÷åíèåìP ∩ Q ïîíèìàåòñÿ îáû÷íîå ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ.Óòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâà P + Q è P ∩ Q ÿâëÿþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè â V .Äîêàçàòåëüñòâî.(1) Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ w1 , w2 ∈ P + Q. Ïîîïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà P + Q, w1 = p1 + q1 è w2 = p1 + q2 , ãäå p1 , p2 ∈ P è q1 , q2 ∈ Q.Òîãäàα1 w1 + α2 w2 = (α1 p1 + α2 p2 ) + (α1 q1 + α2 q2 ) ∈ P + Q,ïîñêîëüêó âåêòîð â ïåðâîé ñêîáêå ïðèíàäëåæèò P , à âåêòîð âòîðîé ñêîáêè ïðèíàäëåæèòQ (P è Q ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîýòîìó îíè ñîäåðæàò âñå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñâîèõâåêòîðîâ).(2) Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ w1 , w2 ∈ P ∩ Q:αw1 + α2 w2 ∈ Pè îäíîâðåìåíííîα1 w1 + α2 w2 ∈ Q78Ëåêöèÿ 11⇒αw1 + α2 w2 ∈ P ∩ Q.
2Çàìåòèì, ÷òî ëþáûå äâà ïîäïðîñòðàíñòâà èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå: êàæäîå èçíèõ ñîäåðæèò, ïî êðàéíåé ìåðå, íóëåâîé âåêòîð.Òåîðåìà Ãðàññìàíà. Ïóñòü W1 è W2 êîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà V . Òîãäàdim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì áàçèñ g1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
