Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 19
Текст из файла (страница 19)
, gr ïîäïðîñòðàíñòâà W1 ∩ W2 è äîïîëíèìåãî ñíà÷àëà äî áàçèñà W1g1 , . . . , gr , p1 , . . . , pk ,r + k = dim W1 ,g1 , . . . , gr , q1 , . . . , qm ,r + m = dim W2 .à çàòåì äî áàçèñà W2Î÷åâèäíî,W1 + W2 = L(g1 , . . . , gr , p1 , . . . , pk , q1 , .
. . , qm ).Ïîýòîìó îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ, ïîðîæäàþùèõ äàííóþëèíåéíóþ îáîëî÷êó. Ïóñòüα1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . . . + βk pk + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0.Îòñþäàα1 g1 + . . . + αr gr + β1 p1 + . . . + βk pk = −(γ1 q1 + . . . + γm qm ) ∈ W1 ∩ W2 .Ïîñêîëüêó W1 ∩ W2 = L(g1 , . .
. , gr ), äëÿ êàêèõ-òî êîýôôèöèåíòîâ δ1 , . . . , δr èìååìδ1 g1 + . . . + δr gr = −(γ1 q1 + . . . + γm qm ).Ýòî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâóδ1 g1 + . . . + δr gr + γ1 q1 + . . . + γm qm = 0⇒δ1 = . . . = δr = γ1 = . . . = γm = 0 ⇒Çàäà÷à.α1 = . . . = αr = β1 = . . . = βm = 0. 2Íàéäèòå ðàçìåðíîñòü ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâàâ êàæäîé ñòðîêå è ïîäïðîñòðàíñòâàn × n-ìàòðèön × n-ìàòðèö ñ íóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâñ íóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâ â êàæäîì ñòîëáöå.Ëåêöèÿ 1212.1Ðàçëîæåíèå ïî áàçèñóÏóñòü V âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n è f1 , . . . , fn íåêîòîðûéåãî áàçèñ. Òîãäà ëþáîé âåêòîð v ∈ V èìååò îäíîçíà÷íîå ðàçëîæåíèå ïî äàííîìó áàçèñóv = x1 f1 + .
. . + xn fn .Êîýôôèöèåíòû x1 , . . . , xn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà v â äàííîì áàçèñå. Ïîíÿòíî, ÷òî ìåæäó ýëåìåíòàìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà V è ìíîæåñòâà ñòîëáöîâ Rn èìååòñÿâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèåx1v ↔ x = ... .xnÏðè âûáîðå äðóãîãî áàçèñà g1 , . . . , gn âîçíèêàåò åùå îäíî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òåìè æå ìíîæåñòâàìè:y1v = y1 g1 + . .
. + yn gn ↔ y = . . . .ynÐàññìîòðèì ðàçëîæåíèÿf1 = p11 g1 + . . . + pn1 gn ,.........fn = p1n g1 + . . . + pnn gn(∗)è ââåäåì n × n-ìàòðèöó P = [pij ]. Ïîäñòàâèâ (∗) â ðàçëîæåíèå âåêòîðà v ïî áàçèñóf1 , . . . , fn , íàõîäèìy = P x.(∗∗)Ýòî ñîîîòíîùåíèå ïîçâîëÿåò ïåðåõîäèòü îò êîîðäèíàò âåêòîðà â áàçèñå {fi } ê êîîðäèíàòàì òîãî æå âåêòîðà â áàçèñå {gi }. ñèëó (∗∗), ìàòðèöó P ëîãè÷íî áûëî áû íàçûâàòü ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà {fi }ê áàçèñó {gi }.
Íî îíà âñå æå íàçûâàåòñÿ îáû÷íî ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà {gi } êáàçèñó {fi }: åñëè fi è gi ñòîëáöû èç êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ â êàêîì-òîòðåòüåì áàçèñå, òî, ñîãëàñíî (∗), [f1 , . . . , fn ] = [g1 , . . . , gn ]P (îòñþäà âûòåêàåò îáðàòèìîñòü ìàòðèöû P è òî, ÷òî P −1 åñòü ìàòðèöà ïåðåõîäà îò {fi } ê {gi }). Âïðî÷åì, äåëîíå â íàçâàíèè âàæíî, ÷òîáû P ïðàâèëüíî èñïîëüçîâàëàñü ïðè ïåðåñ÷åòå êîîðäèíàò!798012.2Ëåêöèÿ 12Èçîìîðôèçì ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâÄâà âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâà V è W íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå Φ : V → W , ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèè â ñëåäóþùåì ñìûñëå:Φ(a + b) = Φ(a) + Φ(b),Φ(α a) = α Φ(a)∀ a, b ∈ V, ∀ α ∈ R.Ñàìî îòîáðàæåíèå Φ íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì èçîìîðôèçìîì.Çàìåòèì, ÷òî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî â ëåâîé è ïðàâîé÷àñòÿõ äàííûõ ðàâåíñòâ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå! Îïåðàöèè ñëåâà äåéñòâóþò â V , à îïåðàöèè ñïðàâà â W .
Òåì íå ìåíåå, åñëè óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâà èçîìîðôíû, òîýòî îçíà÷àåò èõ íåðàçëè÷èìîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ñâîéñòâ îïåðàöèé.Óòâåðæäåíèå. Φ(0) = 0,Φ(−a) = −Φ(a) ∀ a ∈ V .Äîêàçàòåëüñòâî. Φ(0) = Φ(0 + 0) = Φ(0) + Φ(0). Ïðèáàâèì ê îáåèì ÷àñòÿì âåêòîðb = −Φ(a) (âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé ê Φ(a)):0 = b + Φ(0) = (b + Φ(0)) + Φ(0) = 0 + Φ(0) = Φ(0) ⇒ Φ(0) = 0.2Íà ìíîæåñòâå âñåõ âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ èçîìîðôèçì ïîðîæäàåò,î÷åâèäíî, îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Âàæíî, ÷òî èññëåäîâàíèÿ, âûïîëíåííûå äëÿ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà V , ñðàçó æå ïåðåíîñÿòñÿ íà ëþáîå èçîìîðôíîå åìó ïðîñòðàíñòâî.Íàïðèìåð, âåêòîðû a1 , .
. . , an ∈ V ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíî çàâèñèìû âåêòîðû Φ(a1 ), . . . , Φ(an ).Òåîðåìà. Ëþáîå âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ðàçìåðíîñòè n = dim Vèçîìîðôíî Rn .Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì êàêîé-íèáóäü áàçèñ a, . . . , an â ïðîñòðàíñòâå V è îïðåäåëèìîòîáðàæåíèå Φ ñëåäóþùèì îáðàçîì:x1Φ(v) = . . . ,xnãäå x1 , . . . , xn êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà v ïî äàííîìó áàçèñó:v = x 1 a1 + . . .
+ x n an .Ñîõðàíåíèå îïåðàöèé ïðîâåðÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì. 2Ñëåäñòâèå. Ëþáûå êîíå÷íîìåðíûå âåùåñòâåííûå ïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè èçîìîðôíû.12.3Ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâÏóñòü Pn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ïîðÿäêà n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äîêàæåì, ÷òî Pn èçîìîðôíî Rn .Ëþáîé ìíîãî÷ëåí p(x) ïîðÿäêà n èìååò âèäp(x) = pn−1 xn−1 + . .
. + p1 x + p0 .(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ81Ïîýòîìó êàæåòñÿ, ÷òî ñ îïðåäåëåíèåì èçîìîðôèçìà Φ íåò ïðîáëåì:p0Φ(p(x)) = . . . .pn−1Äåéñòâèòåëüíî, ýòî îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò îïåðàöèè. Íî áóäåò ëè îíî âçàèìíîîäíîçíà÷íûì?Åñëè ïîä ìíîãî÷ëåíîì ïîíèìàåòñÿ ôîðìàëüíîå âûðàæåíèå âèäà (∗) è ïðè ýòîì ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ x, òî âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü î÷åâèäíà.Åñëè æå ïîä ìíîãî÷ëåíîì ïîíèìàåòñÿ ôóíêöèÿ îò x âèäà (∗), òî ðàâåíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî ôóíêöèé.  ýòîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òîêîýôôèöèåíòû â ïðåäñòàâëåíèè (∗) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôóíêöèè p(x) îäíîçíà÷íî. Äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü îäíî÷ëåíîâx0 , x1 , .
. . , xn−1êàê ôóíêöèé îò x.Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî äàííûå îäíî÷ëåíû ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïîñêîëüêóýòî íåíóëåâûå ôóíêöèè, ñóùåñòâóåò îäíà èç íèõ, ëèíåéíî âûðàæàþùàÿñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå:xk = α0 + α1 x + . . . + αk−1 xk−1 .Ïîíÿòíî, ÷òî òàêîãî áûòü íå ìîæåò, åñëè ýòè ôóíêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ôóíêöèèíà âñåé îñè (−∞, ∞): ïîäåëèì îáå ÷àñòè íà xk è ïåðåéäåì â îáåèõ ÷àñòÿõ ê ïðåäåëóïðè x → ∞; ñëåâà ïîëó÷èòñÿ 1, à ñïðàâà 0.Êàê áûòü, åñëè ýòè ôóíêöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ íà êîíå÷íîì îòðåçêå, íàïðèìåð, íà[0, 1]? Ïðåäïîëîæèì, ÷òîp0 + p1 x + . . . + pn−1 xn−1 = 0 ∀ x ∈ [0, 1].(#) ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíîðàçëè÷íûå ÷èñëà x1 . .
. , xn ∈ [0, 1]. Ðàâåíñòâî (#) èìååò ìåñòî ïðè âñåõ x ∈ [0, 1], ïîýòîìó ìû èìååì ïðàâî ðàññìîòðåòü åãî òîëüêî äëÿ âûáðàííûõ çíà÷åíèé x = x1 , . . . , xn := 0, p0 · 1 + p1 · x1 + . . . + pn−1 · xn−11...p0 · 1 + p1 · xn + . . . + pn−1 · xn−1= 0.nÝòî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ1 x1 . . . xn−11A = ... ... ... ... .1 xn . .
. xn−1nÌàòðèöà òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà, à ìàòðèöà A> ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà ïîðÿäêà n äëÿ ÷èñåë x1 , . . . , xn . Îáîçíà÷åíèå: A> =V (x1 , . . . , xn ).Óòâåðæäåíèå. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà V (x1 , . . . , xn ) â ñëó÷àå ïîïàðíîðàçëè÷íûõ ÷èñåë x1 , . . . xn ðàâåídet V (x1 , .
. . , xn ) =Y(xj − xi ).1≤i<j≤n82Ëåêöèÿ 12Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèòåëü11 x1x2det V (x1 , . . . , xn ) = ......xn−1xn−112...1. . . xn ... ... . . . xnn−1íå èçìåíèòñÿ, åñëè èç i-é âû÷åñòü i−1-óþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà xn . Ïðè ýòîì â ïîñëåäíåì ñòîëáöå i-é ýëåìåíò ñòàíåò íóëåì. Óêàçàííûå äåéñòâèÿ âûïîëíèì ïîñëåäîâàòåëüíîäëÿ ñòðîê ñ íîìåðàìè i = n, n − 1, . . .
, 2. Â ðåçóëüòàòå íàõîäèì11...11x1 − xnx2 − xn...xn−1 − xn0 .det V (x1 , . . . , xn ) = det .........n−2n−2n−2x1 (x1 − xn ) x2 (x2 − xn ) . . . xn−1 (xn−1 − xn ) 0Ïðèìåíèì òåîðåìó Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïîñëåäíåìó ñòîëáöó:det V (x1 , . . . , xn ) = (−1)n+1 (x1 − xn )(x2 − xn ) . . . (xn−1 − xn ) det V (x1 , . . . , xn−1 )= (xn − x1 )(xn − x1 ) . . . (xn − xn−1 ) det V (x1 , . . .
, xn−1 ).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ ïî èíäóêöèè.2Ñëåäñòâèå 1. Îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà â ñëó÷àå ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë îòëè÷åíîò íóëÿ.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ôóíêöèÿ âèäà (∗) ðàâíà íóëþ äëÿ n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèéx, òîp0 = p1 = . . . = pn−1 = 0.Îòñþäà âûòåêàåò ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü îäíî÷ëåíîâ êàê ôóíêöèé íà ëþáîì ôèêñèðîâàííîì îòðåçêå.Çàäà÷à.u1 , . .
. , u nÄàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëàìíîãî÷ëåíf (x) =x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ynnY(x − yk )j=1k=1îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèíîñòü12.4n × n-ìàòðèöûñx = x1 , . . . , xn . Äîêàçàòü,ýëåìåíòàìè 1/(xi − yj ).nX÷òîè èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êàêèõ-òî ÷èñåëujx − yju1 = . . . = un = 0.Âûâåñòè îòñþäà íåâûðîæäåí-Ïðÿìàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàðÿäó ñ ðàçëîæåíèÿìè âåêòîðîâ ïî áàçèñó ÷àñòî ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ òàêæå ðàçëîæåíèÿ âåêòîðîâ ïî íåêîòîðûì ñèñòåìàì ïîäïðîñòðàíñòâ.Ïóñòü W1 , .
. . , Wm ïîäïðîñòðàíñòâà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V . ÌíîæåñòâîW = W1 + . . . + Wm ≡ {w = w1 + . . . + wm : w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm }íàçûâàåòñÿ ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ W1 , . . . , Wm . Êîíå÷íî, W ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì â V (äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñóììû äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ ëåãêî àäàïòèðóåòñÿ è ê ñëó÷àþ ñóììû m ïîäïðîñòðàíñòâ).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ83 ñëó÷àå, åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà w ∈ W1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
