Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2Ñëåäñòâèå 2. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (~a, ~b, ~c) ëèíåéíî ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñâîéñòâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó æå âûòåêàåò ëèíåéíîñòüïî òðåòüåìó àðãóìåíòó. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî òðîéêè {~a, ~b, ~c}, {~b, ~c, ~a}, {~c, ~a, ~b}èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ. Ïîýòîìó(~a, ~b, ~c) = (~b, ~c, ~a) = (~c, ~a, ~b).Ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ìåñòî ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó è âòîðîìó àðãóìåíòàì.2Óòâåðæäåíèå 1.
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå àíòèñèììåòðè÷íî:[~a, ~b] = −[~b, ~a].Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Âîò åùå îäíî ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñìåøàííûõ ïðîèçâåäåíèé:~ d)~ = (~a, ~b, d)~ + (~b, ~a, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.ïóñòü d~ = [~a, ~b] + [~b, ~a], òîãäà (d,Óòâåðæäåíèå 2. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî êàæäîìó àðãóìåíòó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî [~a +~b, ~c] = [~a, ~c] + [~b, ~c]. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì âåêòîðd~ = [~a + ~b, ~c] − [~a, ~c] − [~b, ~c].Å. Å.
Òûðòûøíèêîâ69Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, íàõîäèì~ d)~ = (~a + ~b, ~c, d)~ − (~a, ~c, d)~ − (~b, ~c, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.(d,~ d)~ = (α ~a, ~b, d)~ − α (~a, ~b, d)~ = 0 ⇒ d~ = ~0.Àíàëîãè÷íî, åñëè d~ = [α ~a, ~b] − α [~a, ~b], òî (d,Ëèíåéíîñòü ïî âòîðîìó àðãóìåíòó âûòåêàåò èç ñâîéñòâà àíòèñèììåòðè÷íîñòè âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 2Îòìåòèì òàêæå äâà ïðîñòûõ, íî ïîëåçíûõ ïðåäëîæåíèÿ.Êðèòåðèé êîëëèíåàðíîñòè. Âåêòîðû ~a, ~b êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà [~a, ~b] = 0.Êðèòåðèé êîìïëàíàðíîñòè. Âåêòîðû ~a, ~b, ~c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà (~a, ~b, ~c) = 0.10.6Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõÏóñòü ~e1 , ~e2 , ~e3 áàçèñíûå âåêòîðû äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî[~e1 , ~e2 ] = ~e3 ,[~e2 , ~e3 ] = ~e1 ,[~e3 , ~e1 ] = ~e2 .Äëÿ âåêòîðîâ ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ,[~a, ~b] =++=~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 ïîëó÷àåìa1 b1 [~e1 , ~e1 ] + a1 b2 [~e1 , ~e2 ] + a1 b3 [~e1 , ~e3 ]a2 b1 [~e2 , ~e1 ] + a2 b2 [~e2 , ~e2 ] + a2 b3 [~e2 , ~e3 ]a3 b1 [~e3 , ~e1 ] + a3 b2 [~e3 , ~e2 ] + a3 b3 [~e3 , ~e3 ](a2 b3 − a3 b2 ) ~e1 − (a1 b3 − a3 b1 ) ~e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) ~e3 .Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëåã÷å âñåãî çàïîìíèòü, óâèäåâ â íåì ôîðìàëüíîå ïðèìåíåíèåòåîðåìû Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîé ñòðîêå:~e1 ~e2 ~e3[~a, ~b] = det a1 a2 a3 .b1 b2 b3Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ~a, ~b, ~câûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî[~a, [~b, ~c]] = (a, c) ~b − (a, b) ~c.Çàäà÷à.Íàéòè âñå ðåøåíèÿ10.7[~a, ~x] + [~b, ~x] = [~a, ~b]çàäàííûõ ~a è ~b.Äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå~xäëÿèìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ~aè~b.Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõÏóñòü ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , ~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 , ~c = c1~e1 + c2~e2 + c3~e3 .
Èñïîëüçóÿòîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ïðàâèëî70Ëåêöèÿ 10âû÷èñëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå, íàõîäèì(~a, ~b, ~c) = ([~a, ~b], ~c)= ((a2 b3 − a3 b2 ) ~e1 − (a1 b3 − a3 b1 ) ~e2 + (a1 b2 − a2 b1 ) ~e3 , (c1~e1 + c2~e2 + c3~e3 ))= c1 (a2 b3 − a3 b2 ) − c2 (a1 b3 − a3 b1 ) + c3 (a1 b2 − a2 b1 )a1 b 1 c 1= det a2 b2 c2 .a3 b 3 c 3Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç òåîðåìû Ëàïëàñà ïðè ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïîïîñëåäíåìó ñòîëáöó.Ñëåäñòâèå.
Îïðåäåëèòåëü ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ýòî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà,íàòÿíóòîãî íà âåêòîðû, îïðåäåëÿåìûå åãî ñòîëáöàìè.Çàìå÷àíèå. Âûâîä î òîì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (~a, ~b, ~c) åñòü îïðåäåëèòåëü,ìîæíî ñäåëàòü ñðàçó æå: ìû óæå äîêàçàëè, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïîêàæäîìó àðãóìåíòó è ðàâíî íóëþ â ñëó÷àå ëèíåéíî çàâèñèìûõ âåêòîðîâ; âûïîëíèâ îäíîåäèíñòâåííîå âû÷èñëåíèå (e~1 , e~2 , e~3 ) = 1 äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ äåêàðòîâîé ñèñòåìû,çàêëþ÷àåì, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòîðîì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèñâîèõ àðãóìåíòîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëåì.10.8Íîðìàëè ê ïðÿìîé è ïëîñêîñòèÍåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ïðÿìîé, íàçûâàåòñÿ åå íîðìàëüþ.
Åñëè ïðÿìàÿ íàïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåìAx + By + C = 0,òî âåêòîð ~n = (A, B) îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó íà äàííîé ïðÿìîé.  ñàìîì äåëå,ëþáîé âåêòîð íà ïðÿìîé èìååò âèä ~l = (x2 − x1 , y2 − y1 ), ãäå (x1 , y1 ) è (x2 , y2 ) äâåòî÷êè íà äàííîé ïðÿìîé. Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê â îáùåå óðàâíåíèé ïðÿìîé íàïëîñêîñòè, íàõîäèìA(x2 − x1 ) + B(y2 − y1 ) = 0 ⇔ (~n, ~l) = 0.Àíàëîãè÷íî, íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ äëÿäàííîé ïëîñêîñòè.
Åñëè ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàòçàäàíà îáùèì óðàâíåíèåìAx + By + Cz + D = 0,òî âåêòîð ~n = (A, B, C) åå íîðìàëü.Èñïîëüçóÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå, íîðìàëü ìîæíî ïîñòðîèòü, èìåÿ ïàðó íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ~a è ~b, ïðèíàäëåæàùèõ ïëîñêîñòè: âåêòîð [~a, ~b] îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòèâåêòîðîâ ~a è ~b. (Êîíå÷íî, íîðìàëü ê ïëîñêîñòè îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äîíåíóëåâîãî êîýôôèöèåíòà.)10.9Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé íà ïëîñêîñòèÐàññìîòðèì ïðÿìóþ l : Ax + By + C = 0 íà ïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàòè òî÷êó M0 = (x0 , y0 ) ∈/ l.
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå ρ(M0 , l) îò òî÷êè M0 äîïðÿìîé l, íóæíî âûïîëíèòü òàêèå äåéñòâèÿ:Å. Å. Òûðòûøíèêîâ71• ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó M0 ïðÿìóþ l0 , îðòîãîíàëüíóþ ïðÿìîé l;• íàéòè òî÷êó M1 = (x1 , y1 ) ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l0 è l;• âû÷èñëèòü äëèíó îòðåçêà M0 M1 .Ìû óæå çíàåì, ÷òî âåêòîð ~n = (A, B) îðòîãîíàëåí ïðÿìîé l. Ïîýòîìó ïðÿìàÿ l0 åñòüìíîæåñòâî òî÷åê âèäàl0 = {(x, y) : x = x0 + At, y = y0 + Bt,t ∈ R}.Íàéäåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t, ïðè êîòîðîì (x, y) ∈ l:A(x0 + At) + B(y0 + Bt) + C = 0 ⇒ t = −Ax0 + By0 + C.A2 + B 2−→Äàëåå, M0 M1 = (At, Bt) ⇒−→ρ(M0 , l) = |M0 M1 | =10.10|Ax0 + By0 + C|√.A2 + B 2Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòèÐàññìîòðèì ïëîñêîñòü π : Ax + By + Cz + D = 0 â ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñäåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò è òî÷êó M0 = (x0 , y0 , z) ∈/ π .
Ðàññòîÿíèå ρ(M0 , l) îòòî÷êè M0 äî ïëîñêîñòè π âû÷èñëÿåòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì òî÷êè è ïðÿìîéíà ïëîñêîñòè:|Ax0 + By0 + Cz0 + D|√ρ(M0 , π) =.A2 + B 2 + C 210.11Êðèòåðèè ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðà ïðÿìîé è ïëîñêîñòèÏóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíû ïðÿìàÿ l : Ax + By + C = 0 è âåêòîð ~v = (v1 , v2 ).
Åñëèñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà, òî âåêòîð ~n = (A, B) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüþ ê ïðÿìîé l.Ïîýòîìó âåêòîð ~v ïàðàëëåëåí ïðÿìîé l òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (~v , ~n) = 0. Ó÷èòûâàÿâèä ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ, ïîëó÷àåì~v k l⇔Av1 + Bv2 = 0.(1)Äëÿ ïëîñêîñòè π : Ax + By + Cz + D = 0 è âåêòîðà ~v = (v1 , v2 , v3 ) â ïðîñòðàíñòâå ñäåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íûé êðèòåðèé ïàðàëëåëüíîñòè:~v k π⇔Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.(2)Çàìåòèì, ÷òî êðèòåðèè ïàðàëëåëüíîñòè (1) è (2) îñòàþòñÿ â ñèëå è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé àôôèííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. ñàìîì äåëå, ïóñòü âåêòîð ~v ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè π : Ax+By+Cz+D = 0.
Âîçüìåìïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A(x0 , y0 , z0 ) ýòîé ïëîñêîñòè è îïðåäåëèì òî÷êó B(x1 , y1 , z1 ) òàêèì−→−→îáðàçîì, ÷òî AB = v . Òîãäà ïàðàëëåëüíîñòü âåêòîðà ~v ïëîñêîñòè π ðàâíîñèëüíà òîìó,72Ëåêöèÿ 10÷òî B ∈ π ⇔ Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0. Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,íàõîäèì A(x1 − x0 ) + B(y1 − y0 ) + C(z1 − z0 ) = 0 ⇔ Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.Òî æå ñàìîå ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì ïåðåõîäà îò çàäàííîé àôôèííîé ê êàêîé-íèáóäü äåêàðòîâîéñèñòåìå.
Ìû çíàåì, ÷òî â ëþáîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ òåì æå íà÷àëîì ïëîñêîñòüπèìååòóðàâíåíèå 0AB0 0xC 0 y 0 = −D,z0 0AB0 C0 = ABC P,P ìàòðèöà ïåðåõîäà îò çàäàííîé àôôèííîé ñèñòåìû ê äåêàðòîâîé (ñì. ðàçäåë 9.11). Êîîðäèíàòû(v10 , v20 , v30 ) âåêòîðà ~v â äåêàðòîâîé ñèñòåìå è åãî êîîðäèíàòû (v1 , v2 , v3 ) â èñõîäíîé àôôèííîé ñèñòåìåãäåñâÿçàíû ðàâåíñòâîì v1v2 = Pv3 0v1v20 v30 0 v1v1v20 = P −1 v2 .v30v3⇔Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, èìååò âèäA0 v10 + B 0 v20 + C30 v30 = 0⇔AB v1C P P −1 v2 v3⇔Av1 + Bv2 + Cv3 = 0.Ëåêöèÿ 1111.1Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàÏðè èçó÷åíèè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ, ëèíåéíûõ îáîëî÷åê, áàçèñîâ, ðàçìåðíîñòåé â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ïîëàãàëè, ÷òî âåêòîðû ýòî ìàòðèöû-ñòîëáöû ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè.
Âïðî÷åì, ïðè èçó÷åíèè ðàíãà ìàòðèöû ðå÷ü óæå çàõîäèëà òàêæåî ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è íåçàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû. Êîíå÷íî, ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ñòðîêè ìîæíî òðàíñïîíèðîâàòü è ñíîâà èìåòü äåëî ñ ìàòðèöàìè-ñòîëáöàìè.Îäíàêî, âñå ïåðå÷èñëåííûå âûøå ïîíÿòèÿ è ìíîãèå ïîëó÷åííûå ôàêòû áåç âñÿêèõ èçìåíåíèé ìîæíî ïðèìåíÿòü è â ñëó÷àå, êîãäà ïîä âåêòîðàìè ïîíèìàþòñÿ ìàòðèöû êàêèõëèáî ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðîâ. Óæå îäíî ýòî çàñòàâëÿåò ïîäóìàòü î ââåäåíèè áîëååîáùåãî (è áîëåå àáñòðàêòíîãî) ïîíÿòèÿ âåêòîðà.Êðîìå òîãî, èçó÷àÿ áàçèñû è ðàçìåðíîñòè, ìû èìåëè äåëî èñêëþ÷èòåëüíî ñ ëèíåéíûìè îáîëî÷êàìè âåêòîðîâ, à ýòî íå âñåãäà óäîáíî: íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèéîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = 0 ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî,ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé, íî áûëî áû ïîëåçíîèìåòü ïðàâî îáñóæäàòü ñâîéñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áåç óïîìèíàíèÿ îá îáðàçóþùåé åãîñèñòåìå âåêòîðîâ.Äàâàéòå ñêàæåì, ÷òî âåêòîðû ýòî ýëåìåíòû íåêîòîðîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà V ,íà êîòîðîì îïðåäåëåíû äâå îïåðàöèè: ñëîæåíèå âåêòîðîâ (åñëè a, b ∈ V , òî a + b ∈ V )è óìíîæåíèå âåêòîðîâ íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà (åñëè a ∈ V è α ∈ R, òî αa ∈ V ) .Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äàííûå îïåðàöèè îáëàäàëè ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:• (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b ∈ V( àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ);• ñóùåñòâóåò îñîáûé âåêòîð 0, íàçûâàåìûé íóëåâûì âåêòîðîì, òàêîé ÷òîa + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ V ;• äëÿ ëþáîãî âåêòîðà a ∈ V ñóùåñòâóåò âåêòîð b ∈ V òàêîé, ÷òîa + b = b + a = 0;• a + b = b + a ∀ a, b ∈ V(êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ);• α(β a) = (αβ) a ∀ α, β ∈ R, ∀ a ∈ V ;• (α + β) a = (αa) + (βa) ∀ α, β ∈ R, ∀a ∈ V(äèñòðèáóòèâíîñòü);• α(a + b) = (αa) + (αb) ∀ α ∈ R, ∀ a, b ∈ V(äèñòðèáóòèâíîñòü);7374Ëåêöèÿ 11• 1·a=a ∀ a∈V.1 òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîæåñòâî V íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.×àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ òåðìèí-ñèíîíèì âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî.Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî V îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.
Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò íóëåâîé âåêòîð. Âåêòîð b òàêîé, ÷òîa + b = b + a = 0, íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê âåêòîðó a è îáîçíà÷àåòñÿ b ≡ −a.Íåêîòîðûå ïðèâû÷íûå ñâîéñòâà äàííûõ îïåðàöèé, ðàíåå ñâîáîäíî ïðèìåíÿâøèõñÿê ìàòðèöàì-ñòîëáöàì, â ðàññìîòðåííîì áîëåå àáñòðàêòíîì ñëó÷àå íóæäàþòñÿ â äîêàçàòåëüñòâàõ.Óòâåðæäåíèå 1. 0 · a = 0 ∀ a ∈ V .Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
