Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ìàòðèöà Aìàòðèöû A.Òåîðåìà. Åñëè ìàòðèöà A ïîðÿäêà n íåâûðîæäåííàÿ, òî îíà îáðàòèìà è ïðè ýòîìA−1 =1 e>A ,det Ae> ïðèñîåäèíåííàÿ ìàòðèöà äëÿ A.ãäå AÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òînXaij Akj =j=1det A, k = i,0,k=6 i.(∗)Ïðè k = i ðàâåíñòâî (∗) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì òåîðåìû Ëàïëàñà ïðè ðàçëîæåíèèîïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A ïî k -é ñòðîêå. Ïðè k 6= i ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (∗) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçëîæåíèå ïî k -é ñòðîêå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç A çàìåíîék -é ñòðîêè íà i-þ. Òàêîé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿîäèíàêîâûìè ñòðîêàìè.
Íàïðèìåð, åñëè n = 3, i = 1, k = 2, òî a12 a13 a11 a13 a11 a12 + a12 a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = a11 − a31 a33 + a13 − a31 a32 a32 a33 a11 a12 a13 = a11 a12 a13 = 0.a31 a32 a33 Äàëåå,nXj=1aij Akj =nXj=1e > )jk ,aij (A1 ≤ i, k ≤ n.38Ëåêöèÿ 6Ïîýòîìó, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (∗),det A..e> = AA = det A · I..det AÈñïîëüçóÿ òåîðåìó Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî k -ìó ñòîëáöó, íàõîäèìnXaij Aik =i=1det A, k = j,0,k=6 j.det A..e >A = A⇒2 = det A · I..det AÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ñäåëàòü âûðîæäåííîé, èçìåíèâëèøü îäèí èç åå ýëåìåíòîâ.6.6Ïðàâèëî ÊðàìåðàÒåîðåìà. Ïóñòü A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Òîãäà ñèñòåìà ëèíåéíûõàëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b èìååò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x c êîìïîíåíòàìèdet Aixi =,1 ≤ i ≤ n,det Aãäå Ai ìàòðèöà, ïîëó÷àåìàÿ èç A çàìåíîé i-ãî ñòîëáöà íà b.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñîãëàñíî òåîðåìå îá îáðàùåíèè íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû,1e >bx = A b =Adet A−1Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ñóììàìàòðèöû Ai .6.7⇒nPn1 Xxi =Aji bj ,det A j=11 ≤ i ≤ n.Aji bj åñòü ðàçëîæåíèå ïî i-ìó ñòîëáöó îïðåäåëèòåëÿj=12Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöÒåîðåìà. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõîïðåäåëèòåëåé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü A = [a1 , . . . , an ] ìàòðèöà ïîðÿäêà n ñî ñòîëáöàìè a1 , . . . , anè B = [bij ]. Òîãäà ëþáîé ñòîëáåö ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâìàòðèöû A ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà ìàòðèöû B :"AB =nXi1 =1bi1 1 ai1 , . . . ,nXin =1#bin n ain .Å. Å. Òûðòûøíèêîâ39Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü îïðåäåëèòåëÿ ïî êàæäîìó ñòîëáöó, ïîëó÷àåìnXdet(AB) =...i1 =1X=nXbi1 1 . . . bin n det[ai1 , . . .
, ain ]in =1bσ(1)1 . . . bσ(n)n det[aσ(1) , . . . , aσ(n) ]σ∈Sn!X=bσ(1)1 . . . bσ(n)n sgn(σ)det A = det B · det A.2σ∈SnÇàäà÷à.ÏóñòüPâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîÇàäà÷à.n. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñòîëáöîâ u, v ∈ Rn×1det(I + uv > ) = det(I + (P u)(P −> v)> ). îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêàÄîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëèòåëü òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû íå èçìåíèòñÿ, åñëè êàæäûéíàääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò óìíîæèòü, à êàæäûé ïîääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ïîäåëèòü íà îäíî è òî æå÷èñëî.6.8Îáðàòèìîñòü è íåâûðîæäåííîñòüÒåîðåìà. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà îáðàòèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íåâûðîæäåííàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 .
ÒîãäàAA−1 = I è, â ñèëó òåîðåìû îá îïðåäåëèòåëå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö,det A · det A−1 = det I = 1⇒det A 6= 0.Åñëè det A 6= 0, òî A îáðàòèìà ïî òåîðåìå îá îáðàùåíèè íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû. 2Ñëåäñòâèå. Ñòîëáöû ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàdet A 6= 0.Çàäà÷à.ðàçìåðîâÏóñòüm×n è BInèImn è m. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö An × m èç îáðàòèìîñòè Im − AB âûòåêàåò îáðàòèìîñòü In − BA.
Äîêàæèòåêàæäîé èç ýòèõ ìàòðèö ðàâíîñèëüíà îáðàòèìîñòè ìàòðèöû ïîðÿäêà m + n ñ åäèíè÷íûå ìàòðèöû ïîðÿäêàðàçìåðîâòàêæå, ÷òî îáðàòèìîñòüáëî÷íûì ðàçáèåíèåì âèäàImBÇàäà÷à.Äàíû ÷èñëàaèbòàêèå, ÷òî1b 2A=b ...bnA.In1 − ab 6= 0.Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàa1b...a2a1...bn−1bn−2...an... an−1 ... an−2 ......
...1îáðàòèìà è îáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé.Çàäà÷à.a è b êâàäðàòíûå áëîêè ïîðÿäêà n, à 1 çàìåíÿåòñÿI òîãî æå ïîðÿäêà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè áëîê I − ab ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé ìàòðèöåé,A ñ áëîêàìè ïîðÿäêà n îáðàòèìà è ïðè ýòîì îáðàòíàÿ ê íåé ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿÏóñòü â óñëîâèè ïðåäûäóùåé çàäà÷èåäèíè÷íîé ìàòðèöåéòî áëî÷íàÿ ìàòðèöàáëî÷íî-òðåõäèàãîíàëüíîé.40Ëåêöèÿ 6Ëåêöèÿ 77.1Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è ìàòðèöûÏðè èçó÷åíèè ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ îñîáóþ ðîëü èãðàþò ôóíêöèè ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè f (x, y) = u(x)v(y) èëè ñóììû òàêèõ ôóíêöèé 1f (x, y) = u1 (x)v1 (x) + .
. . + ur (x)vr (y).Ïóñòü äàíà m × n-ìàòðèöà A. Åå ýëåìåíò aij ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îòäèñêðåòíûõ ïåðåìåííûõ i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}.  äàííîì ñëó÷àå ðàçäåëåíèåïåðåìåííûõ îçíà÷àåò, ÷òîaij = ui vj ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè, ÷òî A åñòü ïðîèçâåäåíèå ñòîëáöà è ñòðîêè: u1v1>A = uv ,u = ...
, v = ... .um7.22vnÑêåëåòíîå ðàçëîæåíèåÒåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî aij = ui1 vj1 + . . . + uir vjr , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.  ýòîìñëó÷àå A ÿâëÿåòñÿ ñóììîé r ìàòðèö âèäà ñòîëáåö íà ñòðîêó rXu1kv1k>uk v k ,uk = . . . , vk = . . . .A=umkk=1vnkÝòî æå ðàâåíñòâî, çàïèñàííîå â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèöu11 . . . u1rv11 . .
. vn1>... ... ... ,A = UV = ... ... ...U = [u1 , . . . , ur ], V = [v1 , . . . , vr ],um1...umrv1r...(∗)unríàçûâàåòñÿ ñêåëåòíûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ñòîëáåöìàòðèöû A åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû U , à êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöûA åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòðîê ìàòðèöû V > . Îòñþäà ñðàçó æå âûòåêàåòÒåîðåìà. Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîé îáîëî÷êè, íàòÿíóòîé íà ñòîëáöû ìàòðèöû A, ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîé îáîëî÷êè, íàòÿíóòîé íà åå ñòðîêè:dim L(a1 , . . . , an ) = dim L(ba1 , . .
. , bam ),A = [a1 , . . . , an ] =ba>1...ba>m.1 Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ ñ áîëüøèì óñïåõîì ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé îáùåãî âèäà.2 Ìàòðèöà uv > èíîãäà íàçûâàåòñÿ âíåøíèì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ u ∈ Cm è v ∈ Cn .4142Ëåêöèÿ 7Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ñòîëáöû ìàòðèöû U îáðàçóþò áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êèL(a1 , . .
. , an ), à j -é ñòîëáåö ìàòðèöû V > ñîñòîèò èç êîýôôèöèåíòîâ èõ ëèíåéíîéêîìáèíàöèè, äàþùåé ñòîëáåö aj . Òîãäà, î÷åâèäíî, A = U V > .  ñèëó ïðåäâàðÿþùåãîòåîðåìó çàìå÷àíèÿ, ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñòðîê ìàòðèöû A íå âûøå ÷èñëàñòðîê ìàòðèöû V > , êîòîðîå ðàâíî, ïî ïîñòðîåíèþ, ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîé îáîëî÷êèñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ðîëüñòîëáöîâ è ñòðîê ìåíÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì. 27.3Ðàíã ìàòðèöûÐàçìåðíîñòü ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñòîëáöîâ (ñòðîê) ìàòðèöû èíîãäà íàçûâàåòñÿ åå ñòîëáöîâûì (ñòðî÷íûì) ðàíãîì. Ïîñêîëüêó ñòîëáöîâûé è ñòðî÷íûé ðàíãè ñîâïàäàþò, èõ îáùåå çíà÷åíèå áûëî áû åñòåñòâåííî íàçûâàòü ïðîñòî ðàíãîì ìàòðèöû.
Èç ïðîâåäåííîãîíàìè äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà âûòåêàåò òàêæå òî, ÷òî ýòî çíà÷åíèå ðàâíî íàèìåíüøåìó ÷èñëó ìàòðèö âèäà ñòîëáåö íà ñòðîêó, äàþùèõ â ñóììå äàííóþ ìàòðèöó.Îäíàêî, îáû÷íî äàåòñÿ äðóãîå îïðåäåëåíèå: ðàíãîì ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ íàèâûñøèé ïîðÿäîê åå îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìèíîðîâ. Ñîîòâåòñòâóþùèå ìèíîð è ïîäìàòðèöàíàçûâàþòñÿ áàçèñíûì ìèíîðîì è áàçèñíîé ïîäìàòðèöåé.  ñèëó óæå óñòàíîâëåííîéýêâèâàëåíòíîñòè îáðàòèìîñòè è íåâûðîæäåííîñòè, ðàíã ìàòðèöû ðàâåí íàèâûñøåìóïîðÿäêó îáðàòèìûõ ïîäìàòðèö â äàííîé ìàòðèöå. Îáîçíà÷åíèå: rankA.Äâà î÷åâèäíûõ ñâîéñòâà ðàíãà ìàòðèöû A ðàçìåðîâ m × n:rankA ≤ min(m, n),rankA = rankA> .Ìåíåå î÷åâèäíî, ÷òî íàèâûñøèé ïîðÿäîê îòëè÷íûõ îò íóëÿ ìèíîðîâ ìàòðèöû ñîâïàäàåò ñ åå ñòîëáöîâûì è ñòðî÷íûì ðàíãîì. Äàâàéòå ýòî äîêàæåì.7.4Îêàéìëåíèå îáðàòèìîé ïîäìàòðèöûÍà÷íåì ñ ïîëåçíîãî âñïîìîãàòåëüíîãî ïðåäëîæåíèÿ.
Ïóñòü ìàòðèöà Q ïîðÿäêà k + 1èìååò áëî÷íûé âèäP vQ=,P ∈ Rk×k , u, v ∈ Rk×1 .u> c ýòîì ñëó÷àå Q íàçûâàåòñÿ îêàéìëåíèåì ïîäìàòðèöû P .Ëåììà î íåîáðàòèìîì îêàéìëåíèè. Åñëè ïîäìàòðèöà P îáðàòèìà, à åå îêàéì-ëåíèå Q ÿâëÿåòñÿ íåîáðàòèìîé ìàòðèöåé, òî ïîñëåäíèé ñòîëáåö ìàòðèöû Q åñòüëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïåðâûõ k ñòîëáöîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ áëî÷íûõ ìàòðèö (ñì. Ëåêöèþ 1),ëåãêî ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâàI0P vP v=,−u> P −1 1u> c0 γγ = c − u> P −1 v.Îáîçíà÷èì ìàòðèöó â ïðàâîé ÷àñòè ÷åðåç M . Êàê ïðîèçâåäåíèå îáðàòèìîé è íåîáðàòèìîé ìàòðèö, M íå ìîæåò áûòü îáðàòèìîé ìàòðèöåé. Íî îíà èìååò áëî÷íî-òðåóãîëüíûéâèä, è åñëè áû áëîêè P è γ áûëè îáà îáðàòèìû, òî M èìåëà áû îáðàòíóþ ìàòðèöó âèäà −1P−P −1 vγ −1−1M=.0γ −1Å. Å.
Òûðòûøíèêîâ43(Ðàâåíñòâî M M −1 = I ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.) Ïîñêîëüêó M íå ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé ìàòðèöåé, íåïðåìåííîγ = c − u> P −1 v = 0Ñëåäîâàòåëüíî,7.5Pu>(P−1v) =c = u> P −1 v.⇒vc.2Òåîðåìà î áàçèñíîì ìèíîðåÒåîðåìà. Ñòîëáöû (ñòðîêè), ñîäåðæàùèå áàçèñíûé ìèíîð, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçà-âèñèìûìè, ïðè ýòîì ëþáîé ñòîëáåö (ëþáàÿ ñòðîêà) äàííîé ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ èõëèíåéíîé êîìáèíàöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàçèñíàÿ ïîäìàòðèöàP ïîðÿäêà k ðàñïîëîæåíà â ëåâîì âåðõíåì óãëó ìàòðèöû A ðàçìåðîâ m × n. Òàêèìîáðàçîì,Pvk+1...vn u>k+1 ak+1 k+1 .
. . ak+1 n A=,uk+1 , . . . , um , vk+1 , . . . , vn ∈ Rk×1 . ......... ... u>am k+1 . . . amnmÏî óñëîâèþ òåîðåìû, ëþáàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k + 1 âèäàP vjM =,i, j > k,u>aijiÿâëÿåòñÿ íåîáðàòèìîé. Ïî ëåììå î íåîáðàòèìîì îêàéìëåíèè îáðàòèìîé ïîäìàòðèöû,ïîñëåäíèé ñòîëáåö â M åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïåðâûõ k ñòîëáöîâ. Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû äàííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íå çàâèñÿò îò i (ïîñêîëüêó îïðåäåëÿþòñÿâåêòîðîì P −1 vj ).
Çíà÷èò, j -é ñòîëáåö ìàòðèöû A ïðè j > k åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿïåðâûõ k ñòîëáöîâ. Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ïåðâûõ k ñòîëáöîâ äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè α1 , . . . , αk ðàâíà 0,òîãäàα1α1 . . . = 0.P ... = 0⇒αkαkÓòâåðæäåíèå òåîðåìû îòíîñèòåëüíî ñòðîê äîêàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì ê òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå. 2Ñëåäñòâèå 1. Ìàòðèöà èìååò ðàíã r òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåêîòîðûé ìèíîðïîðÿäêà r îòëè÷åí îò íóëÿ, à âñå îêàéìëÿþùèå åãî ìèíîðû ïîðÿäêà r + 1 ðàâíû íóëþ.Ñëåäñòâèå 2. Ðàíã ìàòðèöû ñîâïàäàåò ñ åå ñòðî÷íûì è ñòîëáöîâûì ðàíãîì.Çàìå÷àíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
