Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . aσ(n)n .(∗)σ∈SnÌû äîêàçàëè âàæíîåÓòâåðæäåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ èíäèêàòîð ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñóùåñòâóåò, òîîíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (∗).4.6ÎïðåäåëèòåëüÎïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ âèäà (∗) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì (äåòåðìèíàíòîì) ìàòðèöû A ñî ñòîëáöàìè a1 , a2 , . . . , an è îáîçíà÷àåòñÿ det A èëè |A|.Òàêèì îáðàçîì, åñëè A = [aij ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ n × n, òî a11 .
. . a1n Xdet A = |A| = . . . . . . . . . =sgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . aσ(n)n . an1 . . . ann σ∈Sn×àñòíûå ñëó÷àè: a11 a21 a31a12a22a32a13a23a33 a11 a21(4)a12 = a11 a22 − a21 a12 ,a22 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 . îáùåì ñëó÷àå ñóììà (4) ñîäåðæèò n! ÷ëåíîâ, â êàæäîì èç íèõ ïåðåìíîæàþòñÿ nýëåìåíòîâ ìàòðèöû, ïðè÷åì íèêàêèå äâà ýëåìåíòà â îäíîì ïðîèçâåäåíèè íå ïðèíàäëåæàò îäíîé ñòðîêå èëè îäíîìó ñòîëáöó.Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îïðåäåëèòåëü ââîäèòñÿ êàê ôóíêöèÿ îò ìàòðèöû, èñòîðè÷åñêèïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ ñôîðìèðîâàëîñü â 18 âåêå (ñíà÷àëà â òðóäàõ Ëåéáíèöà è Êðàìåðà, çàòåì òåîðèÿ îïðåäåëèòåëåé áûëà ðàçâèòà â ðàáîòàõ Âàíäåðìîíäà, Ëàïëàñà, Êîøèè Ê.ßêîáè) íàìíîãî ðàíüøå ïîíÿòèÿ ìàòðèöû, ââåäåííîãî â àëãåáðó Ãàìèëüòîíîì èÊýëè â ñåðåäèíå 19 âåêà.
Êîíå÷íî, ñ ñàìîãî íà÷àëà îïðåäåëèòåëü ñâÿçûâàëñÿ ñ êâàäðàòíîé òàáëèöåé n × n ÷èñåë (ïîýòîìó ãîâîðèëè îá îïðåäåëèòåëå ïîðÿäêà n). Ýòî áûëè,â ÷àñòíîñòè, òàáëèöû êîýôôèöèåíòîâ "êâàäðàòíîé"ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé. Íî òàêèå òàáëèöû ñòàëè íàçûâàòü ìàòðèöàìè ïîçæå êîãäà äëÿ íèõ ââåëèîïåðàöèþ óìíîæåíèÿ.Ëåêöèÿ 55.1Îïðåäåëèòåëü òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöûÏóñòü èìååòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîâ m × n:A = [aij ],1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n.Åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè ñòðîêè è ñòîëáöû, òî ïîëó÷àåòñÿ íîâàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîân × m.
Îíà íàçûâàåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê A è îáîçíà÷àåòñÿ A> :A> = [aji ],1 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ m.Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû det A> = det A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöû è ôîðìóëå (4)èç Ëåêöèè 4 äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n,XXdet A> =sgn(σ) a1 σ(1) . . . , an σ(n) =sgn(σ) aσ−1 (1) 1 . . . , aσ−1 (n) nσ∈Sn=σ∈SnXsgn(σ −1 ) aσ−1 (1) 1 . . . , aσ−1 (n) n = det A.σ −1 ∈Sn ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå áûëî ïðèíÿòî âî âíèìàíèå, ÷òî sgn(σ −1 ) = sgn(σ).Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû âåùåñòâåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöûòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèíåéíî íåçàâèñèìû ñòîëáöû ìàòðèöû5.2A2ëèíåéíî íåçàâèñèìû>A A.Îïðåäåëèòåëü êàê ôóíêöèÿ ñòîëáöîâ (ñòðîê) ìàòðèöû(1) Îïðåäåëèòåëü êàê ôóíêöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé îò-íîñèòåëüíî êàæäîãî ñòîëáöà: åñëè A = [a1 , . . .
, an ] è ai = αp + βq ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ p è q , òîdet A = α det Ap + β det Aq ,ãäå ìàòðèöû Ap è Aq ïîëó÷àþòñÿ èç A çàìåíîé ñòîëáöà ai íà p è q , ñîîòâåòñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì,det A =Xsgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . aσ(i)i . . . aσ(n)nσ∈Sn2930Ëåêöèÿ 5=Xsgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . (αpσ(i)i + βqσ(i)i ) . . . aσ(n)nσ∈Sn=Xαsgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . pσ(i)i . . . aσ(n)nσ∈Sn+βXsgn(σ) aσ(1)1 aσ(2)2 . . . qσ(i)i .
. . aσ(n)n = α det Ap + β det Aq .2σ∈Sn(2) Îïðåäåëèòåëü ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñòîëáöîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìàòðèöà B = [bij ] îòëè÷àåòñÿ îò A ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ aiè aj . Òîãäà äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè σ ∈ Snaσ(1)1 . . . aσ(n)n = b(στ )(1)1 . . . b(στ )(n)n ,ãäå τ = (i, j), è ïîñêîëüêó òðàíñïîçèöèÿ ìåíÿåò çíàê ïîäñòàíîâêè,sgn (στ ) = −sgn (σ).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå σ → στ çàäàåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïîäñòàíîâêàìè. Êàæäûé ÷ëåí ñóììû âèäà (4) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîé è òîëüêî îäíîéïîäñòàíîâêîé.
Ïîäñòàíîâêè σ è στ â ðàçëîæåíèÿõ det A è det B îïðåäåëÿþò ÷ëåíû ñïðîèçâåäåíèåì îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ (â ðàçíîì ïîðÿäêå), íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûìèçíàêàìè. Çíà÷èò, det A = − det B . 2(3) Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû ëèíåéíî çàâèñèìû, òî åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ñ äâóìÿ ðàâíûìè ñòîëáöàìè ðàâåí íóëþ, ïîñêîëüêó â ñèëó óòâåðæäåíèÿ (2) îí ðàâåí ñåáå ñàìîìó ñ ïðîòèâî-ïîëîæíûì çíàêîì.Åñëè ñòîëáöû a1 , a2 , . . . , an ëèíåéíî çàâèñèìû, òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ ëèíåéíîâûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.
ÏóñòüXαk ak .ai =k6=iÎáîçíà÷èì ÷åðåç B ìàòðèöó, ïîëó÷åííóþ èç A çàìåíîé ñòîëáöà ai íàXai −αk ak = 0.k6=iÎïèðàÿñü íà óæå óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî (1), íàõîäèìX0 = det B = det A −αk det Ak ,k6=iãäå ìàòðèöà Ak ïîëó÷àåòñÿ èç A çàìåíîé i-ãî ñòîëáöà íà ak . ßñíî, ÷òî â Ak ðàâíû i-éè k -é ñòîëáöû, ïîýòîìó det Ak = 0. Òàêèì îáðàçîì, det A = det B = 0. 2(4) Îïðåäåëèòåëü êàê ôóíêöèÿ ñòðîê ìàòðèöû îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè(1), (2), (3).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî det A = det A> , è ðàññìîòðåòü det A êàêôóíêöèþ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A> .÷òîÇàäà÷à.Äàíû ìàòðèöû-ñòîëáöûdet A = 0,åñëèÇàäà÷à.2u 1 , .
. . , u k , v1 , . . . , vk ∈ RnèA = u1 v1> + ... + uk vk> .Äîêàçàòü,k < n.Ïóñòüu, v ∈ RnèI åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Äîêàæèòå, ÷òîdet(I + uv > ) = 1 + v > u.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ5.331Ñóùåñòâîâàíèå èíäèêàòîðà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèÒåîðåìà. Èíäèêàòîð ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè (ôóíêöèÿ, íàäåëåííàÿ ñâîéñòâàìè (A),(B), (C) èç ïåðâîãî ðàçäåëà Ëåêöèè 4) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåí è ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëåì.Ñâîéñòâà (A) è (B) èíäèêàòîðà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñîâïàäàþò ñ óñòàíîâëåííûìè âûøå ñâîéñòâàìè îïðåäåëèòåëÿ (1) è (3). Ñâîéñòâî (C) îçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëèòåëüåäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàâåí 1 è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñëåäóþùåãî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå.
Îïðåäåëèòåëü äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâåå äèàãîíàëè:a11det ..0.0 = a11 . . . ann .annÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû â ñóììå (4) äëÿ åå îïðåäåëèòåëÿ åñòüòîëüêî îäíî íåíóëåâîå ñëàãàåìîå, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè.25.4Ïîäìàòðèöû è ìèíîðûÄëÿ çàäàííîé ìàòðèöû A = [aij ] ìîæíî âûáðàòü êàêèå-òî èç åå ñòðîê è ñòîëáöîâ è ñîñòàâèòü òàáëèöó ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ïåðåñå÷åíèè âûáðàííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ.Òàêàÿ òàáëèöà íàçûâàåòñÿ ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû A.Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. ×òîáû çàäàòü êâàäðàòíóþ ïîäìàòðèöóïîðÿäêà k , íóæíî óêàçàòü íîìåðà ñîäåðæàùèõ åå ñòðîê 1 ≤ i1 < .
. . < ik ≤ n è ñòîëáöîâ1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ n. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Nk ìíîæåñòâî âñåõ ñèñòåì íîìåðîâ (i1 , . . . , ik ),óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîçðàñòàíèþ 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n. Òîãäà çàäàíèå ïîäìàòðèöûðàâíîñèëüíî âûáîðó äâóõ êîíêðåòíûõ ñèñòåì íîìåðîâI = (i1 , . . . , ik ) ∈ Nk ,J = (j1 , . . . , jk ) ∈ Nk .Ïîäìàòðèöà íà ñòðîêàõ ñ íîìåðàìè èç I è ñòîëáöàõ ñ íîìåðàìè èç J îáîçíà÷àåòñÿA(I, J) = [aip jq ],1 ≤ p ≤ k,1 ≤ q ≤ k.Ïóñòü I 0 = (i01 , . . . , i0m ) åùå îäíà ñèñòåìà íîìåðîâ, óïîðÿäî÷åííûõ ïî âîçðàñòàíèþ1 ≤ i01 < . .
. < i0m ≤ n. Íàçîâåì ñèñòåìó I 0 äîïîëíèòåëüíîé äëÿ I = (i1 , . . . , ik ), åñëè{i1 , . . . , ik } ∩ {i01 , . . . , i0m } = ∅,{i1 , . . . , ik } ∪ {i01 , . . . , i0m } = {1, . . . , n}.Î÷åâèäíî, â ýòîì ñëó÷àå k + m = n.Ïóñòü çàäàíû ñèñòåìû ñòðî÷íûõ è ñòîëáöîâûõ íîìåðîâ I, J ∈ Nk è ïóñòü I 0 è J 0 äîïîëíèòåëüíûå ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ I è J .
Ïîäìàòðèöà A(I 0 , J 0 ) ïîðÿäêàm = n−k íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîé ïîäìàòðèöåé ïî îòíîøåíèþ ê ïîäìàòðèöå A(I, J)ïîðÿäêà k .Îïðåäåëèòåëü ïîäìàòðèöû ïîðÿäêà k íàçûâàåòñÿ òàêæå ìèíîðîì ïîðÿäêà k , à îïðåäåëèòåëü ñîîòâåòñòâóþùåé äîïîëíèòåëüíîé ïîäìàòðèöû äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì.325.5Ëåêöèÿ 5Çàìå÷àíèå î ïîäñòàíîâêàõÊàê ìû çíàåì, ïîäñòàíîâêà σ ñòåïåíè n çàäàåòñÿ òàáëèöåé12...nσ=.σ(1) σ(2) . . . σ(n)Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ óêàçàíèåì ñîîòâåòñòâèé i → σ(i), ïîðÿäîê ñòîëáöîâ â ýòîé òàáëèöå íå èìååò çíà÷åíèÿ.
Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè π ∈ Sn òàáëèöàπ(1)π(2)...π(n)σe=σ(π(1)) σ(π(2)) . . . σ(π(n))îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òó æå ñàìóþ ïîäñòàíîâêó σ = σe.Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ÷åòíîñòü ÷èñëà èíâåðñèé äëÿ σ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ñóììû ÷èñëà èíâåðñèé äëÿ ïîäñòàíîâîê π è σπ (ïîñêîëüêó ÷åòíîñòü ÷èñëà èíâåðñèé äëÿïðîèçâåäåíèÿ σπ ñîâïàäàåò ñ ÷åòíîñòüþ ñóììû ÷èñëà èíâåðñèé äëÿ σ è π ). Îòñþäàÿñíî, ÷òî åñëè ïîäñòàíîâêà çàäàíà òàáëèöåé âèäàs(1) s(2) . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
