Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . . . . . . . . . . . . . 351Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïåêòðàìè íîðìàëüíûõ ìàòðèö . . . . . . . . . 352Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 40353Ëèòåðàòóðà35765.165.265.3Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ ñ ïîìîùüþ ìàòðèö . . . . . . . . . . . . 353Îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ . . . . . . . . . . . . . . 353Ðàçëîæåíèå Òàêêåðà . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 354ÏðåäèñëîâèåÄàííàÿ êíèãà âîçíèêëà â õîäå ÷òåíèÿ ëåêöèé äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî êóðñà ôàêóëüòåòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Åå ãëàâû ïîÿâëÿëèñü ïî÷òè ñèíõðîííî ñ ëåêöèÿìè èñòàíîâèëèñü äîñòóïíûìè ñòóäåíòàì áëàãîäÿðÿ èíòåðíåòó.
Ïîñëå ýòîãî ïåðâîíà÷àëüíûéòåêñò ïîñòîÿííî ìåíÿëñÿ ïîìèìî èñïðàâëåíèÿ îïå÷àòîê, àâòîðó õîòåëîñü íàéòè òàêîéñòèëü èçëîæåíèÿ, êîòîðûé ïîçâîëèë áû ïîëó÷èòü íåîáõîäèìûå îñíîâû ïðåäìåòà è, â òîæå âðåìÿ, äàë áû âîçìîæíîñòü íàèáîëåå çàèíòåðåñîâàííûì ÷èòàòåëÿì ïîéòè äàëüøå,èíîãäà î÷åíü äàëåêî âïëîòü äî îáñóæäåíèÿ íåòðèâèàëüíûõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûìèî÷åíü ñèëüíà ëèíåéíàÿ àëãåáðà.Äàííûé çàìûñåë ïîòðåáîâàë îïðåäåëåííîé ñòðóêòóðû îò êíèãè.
Îíà ñîäåðæèò êàêáû íåñêîëüêî ïëàñòîâ. Ïðåæäå âñåãî, ýòî îñíîâíîé, îáÿçàòåëüíûé ìàòåðèàë åãî ìîæíî ÷èòàòü áåç ññûëîê íà äîïîëíåíèÿ, à ìíîãèå ÷èòàòåëè ìîãóò èì è îãðàíè÷èòüñÿ. Öåëüàâòîðà ïî îòíîøåíèþ ê òàêèì ÷èòàòåëÿì îñòàâèòü ó íèõ îùóùåíèå êðàñèâîé è ïðîñòîé íàóêè, êàêîâîé è ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Íî ìåíüøå âñåãî õîòåëîñü áû îñòàâèòüâïå÷àòëåíèå íàóêè, çàâåðøèâøåé ñâîå ðàçâèòèå. Äëÿ ýòîãî è íàïèñàíû äîïîëíåíèÿ, âêîòîðûõ ëèíåéíàÿ àëãåáðà ïðåäñòàåò óæå íå î÷åíü ïðîñòîé íàóêîé, âåäóùåé ñâîèìèìåòîäàìè ê î÷åíü èíòåðåñíûì è ÷àñòî çíàìåíèòûì ðåçóëüòàòàì â äðóãèõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé.×åñòîëþáèâûé ÷èòàòåëü, âîçìîæíî, áóäåò ñòðåìèòüñÿ ïðî÷åñòü êíèãó îò êîðêè äîêîðêè.
Àâòîð äîëæåí ïðåäóïðåäèòü, ÷òî ýòî ìîæåò ïîòðåáîâàòü áîëüøèõ óñèëèé èâïîëíå âîçìîæíî, ÷òî ê êàêèì-òî ìåñòàì ëó÷øå âåðíóòüñÿ óæå ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïåðâîãî ãîäà îáó÷åíèÿ. Âåçäå ÿâíî óêàçàíî, êàêîé ìàòåðèàë ñ÷èòàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì.Áîëåå òîãî, äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë òàêæå èìååò äâà óðîâíÿ òî, ÷òî íàáðàíî ìåëêèì øðèôòîì, äîëæíî ñ÷èòàòüñÿ "áîëåå äîïîëíèòåëüíûì".Íàø êóðñ åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëþ÷àåò â ñåáÿ è îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Xîðîøèå ó÷åáíèêè â äóõå ýòîé òðàäèöèè, áåçóñëîâíî, óæå ñîçäàíû.
Òåì íå ìåíåå,äàííàÿ êíèãà îòëè÷àåòñÿ óêàçàííûì âûøå çàìûñëîì ñîåäèíåíèÿ íåñêîëüêèõ ïëàñòîâ èìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé åùå ïî ðÿäó ïðè÷èí.Âî-ïåðâûõ, â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè êíèãó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàñøèðåííûéêîíñïåêò ëåêöèé. Îòñþäà ñæàòîñòü è ëàêîíè÷íîñòü, ñâîéñòâåííàÿ îãðàíè÷åííûì âî âðåìåíè ëåêöèÿì. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå, â êíèãå íåò äëèííûõ ññûëîê è ïðèñóòñòâóþòíåèçáåæíûå â ëåêöèÿõ íàïîìèíàíèÿ è ïîâòîðåíèÿ.Âî-âòîðûõ, îáñóæäåíèå ñîâåðøåííî êëàññè÷åñêèõ âîïðîñîâ îáû÷íî èìååò ïðîäîëæåíèå â äîïîëíèòåëüíîé ÷àñòè, äåëàþùåå î÷åâèäíûì, ÷òî èçó÷àåìàÿ íàìè íàóêà ÿâëÿåòñÿæèâîé, óñïåøíî ðàçâèâàþùåéñÿ è ïðî÷íî ñâÿçàííîé ñî ìíîãèìè äðóãèìè ðàçäåëàìèìàòåìàòèêè. Êàê òîëüêî ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñäåëàòü øàãè â íàïðàâëåíèè îñîáî12.ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅâïå÷àòëÿþùèõ äîñòèæåíèé, ÿ ïûòàþñü ýòî äåëàòü.
Íî â êàæäîì òàêîì ñëó÷àå ÿ ñ÷èòàþâàæíûì èçáåãàòü ÷èñòî äåêëàðàòèâíîãî îïèñàíèÿ åñëè óæ ÷òî-òî îáñóæäàåòñÿ, òîâñåãäà ñ ÿñíûìè ôîðìóëèðîâêàìè è ïîëíûìè (ïî÷òè âñåãäà) äîêàçàòåëüñòâàìè.Â-òðåòüèõ, â êíèãå èäåò îäíîâðåìåííîå ðàçâèòèå íåñêîëüêèõ òåì ïîäîáíî òîìó, êàêýòî äåëàåòñÿ â ïîëèôîíè÷åñêîì ìóçûêàëüíîì ïðîèçâåäåíèè. Ãëàâíàÿ òåìà, êîíå÷íî, ýòî âñå, ÷òî ñâÿçàíî ñ êîíöåïöèåé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ.
 êà÷åñòâå ïîáî÷íîé(õîòÿ è íå ìåíåå çíà÷èòåëüíîé) òåìû â ñàìîì íà÷àëå âîçíèêàåò ïîíÿòèå àëãåáðàè÷åñêîéîïåðàöèè è ãðóïïû. Ýòà òåìà âïîñëåäñòâèè ïðèâîäèò ê âàæíûì ïîíÿòèÿì êîëüöà èïîëÿ, à çàòåì è ê ñâîåîáðàçíîé òî÷êå êîíòðàïóíêòà (â òîé æå ìóçûêàëüíîé àíàëîãèè),êîãäà ñâîéñòâà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèìåíÿþòñÿ ê èçó÷åíèþ ðàñøèðåíèé ïîëåé. äîïîëíèòåëüíûõ ÷àñòÿõ â ñæàòîì è â òî æå âðåìÿ çàìêíóòîì âèäå ìîæíî íàéòèâåñüìà íåòðèâèàëüíûå ðåçóëüòàòû, âûõîäÿùèå çà ðàìêè ñîáñòâåííî ëèíåéíîé àëãåáðû (íàïðèìåð, âîïðîñû î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ n-óãîëüíèêîâ è ðàçðåøèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé).
Îáùåèçâåñòíî, îäíàêî, ÷òî çíà÷åíèå è ñèëà ëèíåéíîé àëãåáðûîáóñëîâëåíû ïðåæäå âñåãî åå ìíîãî÷èñëåííûìè ïðèëîæåíèÿìè.ß ñîãëàñåí ñ òåì, ÷òî ëèíåéíîé àëãåáðå íå ñëåäóåò ó÷èòü ñëèøêîì àáñòðàêòíî. Òåìáîëåå, ÷òî åñòü âîçìîæíîñòü ïîçíàêîìèòüñÿ ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè, ðàáîòàÿ ñ ïðîñòûìè äëÿ ïîíèìàíèÿ îáúåêòàìè ìàòðèöàìè, à íå ñ àáñòðàêòíûìè ýëåìåíòàìè ëèíåéíûõïðîñòðàíñòâ.
 òî æå âðåìÿ, ìíå êàæåòñÿ, ÷òî îïðåäåëåííàÿ äîçà àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèéóìåñòíà è äàæå ïîëåçíà íà ñàìîé ðàííåé ñòàäèè îáó÷åíèÿ.  ñàìîì äåëå, âðÿä ëè ìîæíîñ÷èòàòü ÷ðåçìåðíûìè óñèëèÿ íà îñâîåíèå âñåãî ëèøü îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû è ïðîñòåéøèõ åå ñâîéñòâ. Îäíàêî, åñëè ýòî ñäåëàòü íà ðàííåì ýòàïå îáó÷åíèÿ, òî â äàëüíåéøåìíàõîäèòñÿ ìíîãî ïîâîäîâ äëÿ âîçâðàùåíèÿ ê ýòîìó ïîíÿòèþ â ñâÿçè ñ ïðèìåðàìè ãðóïï,êîòîðûå åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò â ðàçíûõ ìåñòàõ êóðñà.Ìíå êàæåòñÿ, ÷òî óïðîùåíèå ôîðìû èçëîæåíèÿ âñå æå ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ áîëååíàïîëíåííûì ñîäåðæàíèåì. Ïî êðàéíåé ìåðå, ÿ ñòðåìèëñÿ ê ýòîìó. Ëèíåéíàÿ àëãåáðàè åå ïðèëîæåíèÿ íàñòîëüêî ôóíäàìåíòàëüíû è âàæíû, ÷òî íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé äëÿðåàëüíîãî ñîêðàùåíèÿ îáúåìà îáÿçàòåëüíûõ áàçîâûõ çíàíèé â äàííîé îáëàñòè. íàøåì êóðñå ïðåäìåò ëèíåéíîé àëãåáðû ïîíèìàåòñÿ â ðàñøèðåííîì ñìûñëå, äîâîëüíî ÷àñòî ìû îêàçûâàåìñÿ íà òåððèòîðèè ñìåæíûõ äèñöèïëèí ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è, êîíå÷íî, îáùåé àëãåáðû.
Ãðàíèöû ÿâëÿþòñÿóñëîâíîñòüþ, êàê è â æèçíè. Îñîáåííî ÷àñòî îíè ïåðåñåêàþòñÿ ïðè ðàçðàáîòêå ñîâðåìåííûõ èíôîðìàöèîííûõ è âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé.Íàïðèìåð, îäíà èç ãëàâíûõ îáÿçàòåëüíûõ òåì ïåðâîãî ñåìåñòðà òåîðèÿ è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ìàòåðèàëâïîëíå ýëåìåíòàðíûé è, âîçìîæíî, îñòàâëÿþùèé âïå÷àòëåíèå àáñîëþòíîé çàâåðøåííîñòè. Îäíàêî, ïðàêòè÷åñêàÿ íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåì ñ ìèëëèîíàìè óðàâíåíèéè íåèçâåñòíûõ è ïîÿâëåíèå âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè ñ ïàðàëëåëüíûì âûïîëíåíèåì îïåðàöèé äàëè èìïóëüñ ê èçó÷åíèþ íîâûõ, ïàðàëëåëüíûõ ñâîéñòâ àëãîðèòìîâ.  äàííîìñëó÷àå óñïåõè ïðÿìî ñâÿçàíû ñ ðîñòîì ìîùè êîìïüþòåðîâ.
 òî æå âðåìÿ - è ìíå îñîáåííî ïðèÿòíî ñêàçàòü îá ýòîì - âûõîä íà ðàäèêàëüíî íîâûé óðîâåíü âîçìîæíîñòåéáûë ñäåëàí áëàãîäàðÿ íîâîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó çíàíèþ, à íå ðîñòó ïðîèçâîäèòåëüíîñòè êîìïüþòåðîâ. Áîëåå òîãî, äëÿ äàííîé âïîëíå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è ëèíåéíîé àëãåáðûïîòðåáîâàëîñü ðàçâèòèå ôóíäàìåíòàëüíûõ âîïðîñîâ èç îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ïðèáëèæåíèé.Îòäåëüíûå ìåñòà â êíèãå ñîäåðæàò ìàòåðèàë, êîòîðûé âîîáùå íåëüçÿ íàéòè â êàêèõëèáî ó÷åáíèêàõ è äàæå ìîíîãðàôèÿõ.  ÷àñòíîñòè, ýòî îòíîñèòñÿ ê òåîðåìå îá îáîáùå-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ3íèÿõ ìåòîäîâ ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ.  åùå áîëüøåé ñòåïåíè êî âñåìó ìàòåðèàëóçàêëþ÷èòåëüíîé ëåêöèè, ïîñâÿùåííîé ìíîãîìåðíûì ìàññèâàì, òåíçîðíûì ðàíãàì è ïîëèëèíåéíûì îáîáùåíèÿì ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû.Ê äîïîëíèòåëüíîìó ìàòåðèàëó, âåðîÿòíî, ñëåäóåò îòíåñòè è âêëþ÷åííûå â òåêñòëåêöèé çàäà÷è.
Ýòî èìåííî çàäà÷è, à íå óïðàæíåíèÿ. Áîëåå òîãî, îáû÷íî ýòî íå ñàìûå ëåãêèå çàäà÷è, íî ïðè ýòîì ïîäñêàçêîé ê èõ ðåøåíèþ ÿâëÿåòñÿ ñàìî ðàñïîëîæåíèåçàäà÷è. Êîíå÷íî, äëÿ àêòèâíîãî îñâîåíèÿ ëèíåéíîé àëãåáðû íóæíû è óïðàæíåíèÿ, èçàäà÷è ðàçíîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè. Èõ ìîæíî íàéòè â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ñóùåñòâóþùèõ çàäà÷íèêîâ (íàïðèìåð, [11, 17, 20, 25]). òå âðåìåíà, êîãäà ôàêóëüòåò ÂÌèÊ òîëüêî ïîÿâèëñÿ, ìàòåìàòèêè-âû÷èñëèòåëè÷àñòî ñåòîâàëè íà òî, ÷òî â îáÿçàòåëüíûõ êóðñàõ ìåõ-ìàòà íè÷åãî íå ãîâîðèëîñü îâîçíèêøèõ ïåðåä íèìè ïðîáëåìàõ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ìîæíî óæå ãîâîðèòü î òîì, ÷òîìàòåìàòèêàì-âû÷èñëèòåëÿì ÷àñòî íå õâàòàåò çíàíèé èç òðàäèöèîííûõ èìåííî äëÿ ìåõìàòà ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû ðåêîðäíî ýôôåêòèâíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé, âîçíèêøèõ íà îñíîâå èäåé è àïïàðàòà êàçàëîñü áû äàëåêèõ îòïðèëîæåíèé îáëàñòåé íàïðèìåð, àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè. Ïîñëåäíèå çàÿâëåíèÿ âäàííîé êíèãå îñòàíóòñÿ âñå æå ëèøü äåêëàðàöèÿìè, ê ñîæàëåíèþ àâòîðà è ÷èòàòåëåé.Íî âåäü ýòî ëèøü íà÷àëî ïóòè! ëþáîì äåëå î÷åíü âàæåí íà÷àëüíûé èìïóëüñ.
Äëÿ äàííîé êíèãè åãî ãåíåðàòîðîìáûë Â. À. Èëüèí, ïðèãëàñèâøèé ìåíÿ ïðî÷èòàòü ëåêöèè íà ÂÌèÊ. Èíñòèòóòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê, ãäå ÿ èìåþ÷åñòü ðàáîòàòü, ýòî ïðåäëîæåíèå áûëî ãîðÿ÷î ïîääåðæàíî Â. Â. Âîåâîäèíûì, Â. Ï.Äûìíèêîâûì è Ã.
È. Ìàð÷óêîì, ïîïðîñèâøèì ìåíÿ â òî æå ñàìîå âðåìÿ ïîìî÷ü âîðãàíèçàöèè íà ÂÌèÊ íîâîé êàôåäðû êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé è ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðîé îí ñòàë çàâåäîâàòü.Ìíå îñòàâàëîñü òîëüêî ñîãëàñèòüñÿ è ïîïûòàòüñÿ ñäåëàòü òî, î ÷åì ÿ, ñêîðåå âñåãî, óæå äóìàë ïîïðîáîâàòü ðàññêàçàòü ñòóäåíòàì î ëèíåéíîé àëãåáðå òî, ÷òî ÿ ñàìáû õîòåë óñëûøàòü, êîãäà áûë ñòóäåíòîì. Ïî êðàéíåé ìåðå, ñàìîìó ìíå ýòî âñå ïîêàíðàâèòñÿ.
Ïîýòîìó âñåì íàçâàííûì ëèöàì âûðàæàþ èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü. Õî÷óïîáëàãîäàðèòü òàêæå Ñ. À. Ãîðåéíîâà, Í. Ë. Çàìàðàøêèíà, Õ. Ä. Èêðàìîâà, Ã. Ä. Êèì,Â. Ñ. Ïàíôåðîâà, Â. Í. ×óãóíîâà è âñåõ òåõ, êòî óæå ñäåëàë èëè åùå ñäåëàåò çàìå÷àíèÿïî òåêñòó ëåêöèé.4.ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅËåêöèÿ 11.1Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ è ìàòðèöû ìàòåìàòèêå è äðóãèõ íàóêàõ ïîñòîÿííî èçó÷àåòñÿ çàâèñèìîñòü îäíèõ âåëè÷èí îòäðóãèõ.
Îáû÷íî çàâèñèìîñòü îïèñûâàåòñÿ ðàçëè÷íîãî òèïà ôóíêöèÿìè (îòîáðàæåíèÿìè, îïåðàòîðàìè). Ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ. Ñòðîãèå îïðåäåëåíèÿìû äàäèì ïîçæå. À ïîêà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåìåííûå y1 , . . . , ym âûðàæàþòñÿ ÷åðåçx1 , . . . , xn ñëåäóþùèì îáðàçîì: y1 = a11 x1 + . . . + a1n xn ,...(∗)ym = am1 x1 + . . . + amn xn ,ãäå êîýôôèöèåíòû ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Ñîáåðåì âñå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû â ïðÿìîóãîëüíóþ òàáëèöó è îáîçíà÷èì åå áóêâîé A; ñîñòàâèìòàêæå òàáëèöû-ñòîëáöû èç âåëè÷èí x1 , .
. . , xn è y1 , . . . , ym :a11 . . . a1nx1y1A = ... ... ... ,x = ... ,y = ... .am1 . . . amnxnymÒàêèå òàáëèöû è íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè. Ìû èìååì öåëûõ òðè ìàòðèöû: ðàçìåðîâm × n, n × 1 è m × 1. Ñîîòíîøåíèÿ (∗), îïèñûâàþùèå çàâèñèìîñòü y îò x, çàïèøåìñèìâîëè÷åñêè òàêèì îáðàçîì:y = Ax.(∗∗)Âîçíèêàåò âïå÷àòëåíèå, ÷òî ìàòðèöà A óìíîæàåòñÿ íà ìàòðèöó-ñòîëáåö x, â ðåçóëüòàòå÷åãî ïîÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà-ñòîëáåö y . Òàê îíî è áóäåò, åñëè ìû ñêàæåì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ(∗) ñóòü îïðåäåëåíèå îïåðàöèè (∗∗) óìíîæåíèÿ A íà x.Åñëè m = n, òî ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé.
Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîân × n íàçûâàåòñÿ òàêæå ìàòðèöåé ïîðÿäêà n.1.2Óìíîæåíèå ìàòðèöÏóñòü y1 , . . . , ym âûðàæàþòñÿ ÷åðåç x1 , . . . , xn è ïðè ýòîì x1 , . . . , xn âûðàæàþòñÿ ÷åðåçz1 , . . . , zk ñëåäóþùèì îáðàçîì:((y1=a11 x1ym= am1 x1+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
