Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . + αk ak = 0,è ïóñòü m íàèáîëüøèé íîìåð òàêîé, ÷òî αm =6 0. Åñëè m = 1, òî α1 a1 = 0 è, ïîñêîëüêóα1 6= 0, ïîëó÷àåì a1 = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ëåììû. Ñëåäîâàòåëüíî, m > 1.Òîãäàα1 a1 + . . . + αm am = 03.4⇒am =α1−αmαm−1a1 + . . .
+ −αmam−1 . 2Ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòüÑèñòåìà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè îíà íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåêòîðû a1 , . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òîα1 a1 + . . . + αk ak = 0⇒α1 = . . . = αk = 0.Ëåììà 2.
Ëþáàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ äàííîé ïîäñèñòåìû, ðàâíàÿ íóëþ.Òîãäà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èñõîäíîé ñèñòåìû ñ òåìè æå êîýôôèöèåíòàìèÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ19ïðè âåêòîðàõ èç ïîäñèñòåìû è íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè äðóãèõ âåêòîðàõ ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, ðàâíîé íóëþ. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòüþ èñõîäíîé ñèñòåìû. 2Ëåììà 3. Åñëè âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòî-ðîâ, òî êîýôôèöèåíòû ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âåêòîðû a1 , . . . ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû èb = α1 a1 + . . . , + αk ak = β1 a1 + .
. . , + βk ak .Îòñþäà(α1 − β1 )a1 + . . . + (αk − βk )ak = 0Çàäà÷à.Äëÿ êàæäîãî⇒α1 − β1 = . . . = αk − βk = 0.2n íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ ñòîëáöû òðåõäèàãîíàëü-íîé ìàòðèöû1a1A=....a−1ïîðÿäêàn.−1...a 1−1 aëèíåéíî íåçàâèñèìû.Çàäà÷à.Ìàòðèöà ðàçìåðîâÄîêàæèòå, ÷òî ïðè3.5.n=3(n + 1) × nèìååò ýëåìåíòûaij > 0ïðèi = j è aij < 0n = 4?ïðèi 6= j .åå ñòîëáöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âåðíî ëè ýòî ïðèÒðàíçèòèâíîñòü ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèÂàæíîå (õîòÿ è î÷åâèäíîå) ñâîéñòâî: åñëèL(c1 , . . . , cr ) ⊂ L(b1 , .
. . , bm ) è L(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ),òîL(c1 , . . . , cr ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ).3.6Ìîíîòîííîñòü ÷èñëà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâËåììà 4. Ïóñòü êàæäàÿ èç ñèñòåì âåêòîðîâ b1 , . . . , bm è a1 , . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà, è ïðåäïîëîæèì, ÷òîL(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(a1 , . . . , ak ).(∗)Òîãäà m ≤ k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (∗), ñèñòåìàb1 , a1 , . .
. , akëèíåéíî çàâèñèìà.  ñèëó Ëåììû 1 ñóùåñòâóåò âåêòîð, ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïðåäûäóùèõ âåêòîðîâ, ïóñòü ýòî áóäåò âåêòîðak ∈ L(b1 , a1 , . . . , ak−1 ).20Ëåêöèÿ 3Îòñþäà ñëåäóåò,÷òîL(a1 , . . . , ak ) ⊂ L(b1 , a1 , . . . , ak−1 ). ñèëó òðàíçèòèâíîñòè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèL(b1 , . . . , bm ) ⊂ L(b1 , a1 , . . . , ak−1 ),ïîýòîìó ñèñòåìàb2 , b1 , a1 , .
. . , ak−1ëèíåéíî çàâèñèìà.  ñèëó Ëåììû 1 è â ýòîé ñèñòåìå ñóùåñòâóåò âåêòîð, ëèíåéíî âûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå, ïðè÷åì òàêîâûì íå ìîæåò áûòü âåêòîð b1 (âåêòîðûb1 , b2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû êàê ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû (Ëåììà 2)).Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîak−1 ∈ L(b2 , b1 , a1 , . . . , ak−2 ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m > k . Òîãäà, ïðîäîëæàÿ ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ, íà k -îì øàãåïîëó÷àåìL(a1 , . .
. , ak ) ⊂ L(bk , bk−1 , . . . , b1 ).Ñëåäîâàòåëüíî, bk+1 ∈ L(bk , bk−1 , . . . , b1 ), à ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ b1 , . . . , bm . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òîm ≤ k. 23.7Áàçèñ è ðàçìåðíîñòüËèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ b1 , . . . , bm ∈ V = L(a1 , . . . , ak ) íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ëèíåéíîé îáîëî÷êè V , åñëè L(b1 , .
. . , bm ) = V .Òåîðåìà î áàçèñàõ. Ëþáûå áàçèñû ëèíåéíîé îáîëî÷êè V ñîäåðæàò îäíî è òî æå÷èñëî âåêòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü b1 , . . . , bm è c1 , . . . , cr äâà áàçèñà äàííîé ëèíåéíîé îáîëî÷êè. ßñíî, ÷òîL(b1 , . . . , bm ) = L(c1 , . . . , cr ).Ïðèìåíÿÿ Ëåììó 4 äâà ðàçà, ïîëó÷àåì äâà íåðàâåíñòâà: m ≤ r è r ≤ m. Îòñþäà m = r.2Îïðåäåëåíèå. ×èñëî âåêòîðîâ â áàçèñàõ ëèíåéíîé îáîëî÷êè V íàçûâàåòñÿ åå ðàçìåðíîñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ dim V .Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîé îáîëî÷êè: dim L(a1 , . .
. , ak ) ≤ k.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî â êà÷åñòâå áàçèñà ëèíåéíîé îáîëî÷êèçàäàííîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ìîæíî âûáðàòü èõ ìàêñèìàëüíóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþñèñòåìó. 2 êà÷åñòâå áàçèñà â ëèíåéíîé îáîëî÷êå L(a1 , . . . , an ) âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íåêîòîðóþ ïîäñèñòåìó âåêòîðîâ a1 , . . . , an . Ìàêñèìàëüíàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìàíàçûâàåòñÿ áàçîé äàííîé ñèñòåìû.Óòâåðæäåíèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , .
. . , an ÿâëÿëàñü áàçèñîì âL = L(a1 , . . . , an ), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà áàçîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîäñèñòåìó îáðàçóþòïåðâûå k âåêòîðîâ a1 , . . . , ak . Åñëè ýòî áàçà, òî êàæäûé èç âåêòîðîâ ak+1 , . . . , an ëè-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21íåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç a1 , . . . , ak ⇒ L ⊂ L(a1 , . . .
, ak ) ⊂ L ⇒ L = L(a1 , . . . , ak ).Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà a1 , . . . , ak åñòü áàçèñ â L.Åñëè âûáðàííàÿ ïîäñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â L, òî, â ñèëó ïðåäûäóùåãî ðàññóæäåíèÿ è òåîðåìû î áàçèñàõ, íèêàêàÿ áàçà íå ìîæåò èìåòü áîëüøåå ÷èñëî âåêòîðîâ. 2Çàäà÷à.ÂåêòîðûL(a1 , . . . , ak+1 )L(a1 , . . . , ak ).êå3.8a1 , . . . , ak+1ëèíåéíîíåçàâèñèìû.Äîêàçàòü,÷òîâëèíåéíîéîáîëî÷-ñóùåñòâóåò áàçèñ, íå ñîäåðæàùèé íè îäíîãî âåêòîðà èç ëèíåéíîé îáîëî÷êèÄîïîëíåíèå äî áàçèñàËåììà î äîïîëíåíèè äî áàçèñà. Ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâb1 , . . . , bm ∈ L(a1 , . .
. , ak ) ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîé íåêîòîðîãî áàçèñà äàííîé ëèíåéíîéîáîëî÷êè.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà âåêòîðû a1 , . . . , ak ëèíåéíîíåçàâèñèìû. Ñèñòåìà âåêòîðîâ b1 , . . . , bm , a1 , . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìà.  ñèëó Ëåììû1 â íåé ñóùåñòâóåò âåêòîð, ëèíåéíî âûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå. Óáåðåì ýòîòâåêòîð è ðàññìîòðèì îñòàâøóþñÿ ïîäñèñòåìó.
Åñëè îíà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî è ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ëèíåéíîé îáîëî÷êè L(a1 , . . . , ak ). Åñëè íåò, â íåé èìååòñÿ âåêòîð, ëèíåéíîâûðàæàþùèéñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùèå. Èñêëþ÷èì è åãî èç ñèñòåìû, ðàññìîòðèì îñòàâøóþñÿ ïîäñèñòåìó, è òàê äàëåå.  èòîãå ñèñòåìà âåêòîðîâ b1 , . . . , bm áóäåò äîïîëíåíà äîáàçèñà íåêîòîðûìè èç âåêòîðîâ a1 , . .
. , ak . 23.9Ñóùåñòâîâàíèå áàçèñàÄëÿ ëþáîé ëè ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñóùåñòâóåò áàçèñ? Ñîãëàñíî ëåììå î äîïîëíåíèè äîáàçèñà, áàçèñ ñóùåñòâóåò, åñëè â ëèíåéíîé îáîëî÷êå ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿïîäñèñòåìà âåêòîðîâ. Òàê áóäåò, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé âåêòîð.Òàêèì îáðàçîì, áàçèñà íåò òîëüêî â ñëó÷àå íóëåâîé ëèíåéíîé îáîëî÷êè, ñîäåðæàùåé åäèíñòâåííûé âåêòîð íóëåâîé. Ïî îïðåäåëåíèþ, ðàçìåðíîñòü íóëåâîé ëèíåéíîéîáîëî÷êè ðàâíà íóëþ.3.10Ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèéÒåîðåìà 1. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b,ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàA = [a1 , .
. . , ak ],L(a1 , . . . , ak ) = L(a1 , . . . , ak , b).Äîêàçàòåëüñòâî.  ëþáîì ñëó÷àå èìååìL(a1 , . . . , ak ) ⊂ L(a1 , . . . , ak , b).(∗)Åñëè ñèñòåìà ñîâìåñòíà, òî b ∈ L(a1 , . . . , ak ). Ñëåäîâàòåëüíî,L(a1 , . . . , ak , b) ⊂ L(a1 , . . . , ak ).(∗∗)22Ëåêöèÿ 3Âêëþ÷åíèÿ (∗) è (∗∗) äîêàçûâàþò ðàâåíñòâî äâóõ ëèíåéíûõ îáîëî÷åê. Åñëè èìååò ìåñòî(∗∗), òî î÷åâèäíî, ÷òî b ∈ L(a1 , . . . , ak ), à ýòî è îçíà÷àåò ñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû Ax = b.2Òåîðåìà 2. Åñëè n = k , òî â ñëó÷àå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ a1 , . .
. , anñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ax = b ñîâìåñòíà è èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî,a1 , . . . , an ∈ L(e1 , . . . , en ),ãäå e1 , . . . , en ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàçìåðîâ n × n (íà i-ì ìåñòå â âåêòîðå eiíàõîäèòñÿ 1, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû 0).  ñèëó òåîðåìû î äîïîëíåíèè äî áàçèñà ñóùåñòâóåò áàçèñ èç r ≥ n âåêòîðîâ, ñîäåðæàùèé âåêòîðû a1 , . .
. , an .  ñèëó òåîðåìûî ðàçìåðíîñòè ëèíåéíîé îáîëî÷êè r ≤ n. Ïî òîé æå ïðè÷èíå âåêòîðû a1 , . . . , an îáðàçóþò áàçèñ â L(a1 , . . . , ak , b). Ïîýòîìó b ∈ L(a1 , . . . , an ), ÷òî è äîêàçûâàåò ñîâìåñòíîñòüñèñòåìû. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ âûòåêàåò èç Ëåììû 3. 2Çàäà÷à.Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé âèäàa0a1a2èìååò ðåøåíèå, ïðè÷åìa1a0a1 a2x11a1 x2 = 00a0x3x1 6= 0. Äîêàæèòå, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ëåêöèÿ 44.1Èíäèêàòîð ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèÐàññìîòðèì ñèñòåìó âåêòîðîâ a1 , . . .
, an ∈ Rn è ïîïðîáóåì ñêîíñòðóèðîâàòü èíäèêàòîðëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèþ f (a1 , . . . , an ), êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ â ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàííîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f äîëæíà èìåòü êàê ìîæíî áîëååïðîñòîé âèä: ïóñòü f áóäåò ëèíåéíà ïî êàæäîìó àðãóìåíòó ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ îñòàëüíûõ àðãóìåíòîâ.Äàäèì òî÷íóþ ôîðìóëèðîâêó òðåáîâàíèé ê ôóíêöèè f :(A) äëÿ ëþáîãî 1 ≤ i ≤ n ôóíêöèÿ ëèíåéíà ïî i-ìó àðãóìåíòó(ôóíêöèÿ äîëæíà èìåòü ïðîñòîé âèä):f (a1 , . .
. , ai−1 , αa + βb, ai+1 , . . . an ) =α f (a1 , . . . , ai−1 , a, ai+1 , . . . , an ) + β f (a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an )äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a, b ∈ Rn è ÷èñåë α, β ∈ R;(B) åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , . . . , an ëèíåéíî çàâèñèìà, òî f (a1 , . . . , an ) = 0;(C) ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çàäàííîå íåíóëåâîå çíà÷åíèå íà çàäàííîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìå (óñëîâèå íîðìèðîâêè):f (e1 , . . . , en ) = 1,ãäå e1 , . . . , en ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàçìåðîâ n × n.Ôóíêöèþ f ñ óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè áóäåì íàçûâàòü èíäèêàòîðîì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
