Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Âîåâîäèíà Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, Íàóêà, 1980.1112Ëåêöèÿ 2ýëåìåíò y = f (x) ìíîæåñòâà Y . Çàäàíèå ïðàâèëà ðàâíîñèëüíî âûáîðó ïîäìíîæåñòâàΓ = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y,íàçûâàåìîãî ãðàôèêîì îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè, îïåðàòîðà) f .Ýëåìåíò y = f (x) íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ýëåìåíòà x, à x ïðîîáðàçîì ýëåìåíòà y ïðèîòîáðàæåíèè f . ×òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî f äåéñòâóåò èç X â Y , ïèøóò òàê: f : X → Y .Ìíîæåñòâî f (X) ≡ {y : y = f (x) äëÿ íåêîòîðîãî x ∈ X} íàçûâàåòñÿ îáðàçîì(ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé) îòîáðàæåíèÿ f .Åñëè M ⊂ Y , òî ìíîæåñòâî f −1 (M ) ≡ {x : f (x) ∈ M } íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà M .
Åñëè M = {y}, òî ïèøóò òàêèì îáðàçîì: f −1 (y) = f −1 (M ).Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèåg : Y → X òàêîå, ÷òî f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y è g(f (x)) = x ∀ x ∈ X . Ïðè ýòîì g íàçûâàþòîáðàòíûì îòîáðàæåíèåì äëÿ f è ïèøóò g = f −1 .Îòîáðàæåíèå f íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì, åñëè äëÿ ëþáîãî y ∈ Y ïîëíûéïðîîáðàç f −1 (y) ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîãî ýëåìåíòà. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îáðàòèìîñòüðàâíîñèëüíà âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè.2.3Àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèèÎòîáðàæåíèå f : X × X → X íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íà X .
Ïóñòü äëÿîáîçíà÷åíèÿ òàêîé îïåðàöèè èñïîëüçóòñÿ ñèìâîë ∗. Òîãäà çàïèñü c = a ∗ b îçíà÷àåò, ÷òî(a, b) ∈ X × X è c = f ((a, b)).Åñëè çàäàíî îòîáðàæåíèå f : M → X íà íåïóñòîì ïîäìíîæåñòâå M ⊂ X × X , òî fíàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íà X . Òàêîâîé, â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿåòñÿîïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèö íà ìíîæåñòâå âñåõ ìàòðèö.Cèìâîë ∗ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ, ïðè ýòîì ïèøóò ab = a ∗ b, íàçûâàþò îïåðàöèþ óìíîæåíèåì, à ýëåìåíò ab (åñëè îí ñóùåñòâóåò) ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâ a è b.2.4Àññîöèàòèâíîñòü è ñêîáêè×àñòè÷íàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ íà X íàçûâàåòñÿ àññîöèàòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõa, b, c ∈ X èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèé ab è bc âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâåäåíèéa(bc), (ab)c è ðàâåíñòâîa(bc) = (ab)c. ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî óáðàòü ñêîáêè è ïèñàòü abc ≡ a(bc) = (ab)c.Òåîðåìà. Ïóñòü íà X çàäàíà àññîöèàòèâíàÿ ÷àñòè÷íàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ èx1 , .
. . , xn ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç X , äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ïðîèçâåäåíèÿx1 x2 , x2 x3 , . . ., xn−1 xn . Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàññòàíîâêà ñêîáîê, îïðåäåëÿþùàÿ ýëåìåíòx = x1 x2 . . . xn ,ïðè ýòîì ëþáàÿ ðàññòàíîâêà ñêîáîê äàåò îäèí è òîò æå ýëåìåíò x.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî n. Äîêàæåì ñíà÷àëà ñóùåñòâîâàíèå íåêî-òîðîé ðàññòàíîâêè ñêîáîê, îïðåäåëÿþùåé x. Ñîãëàñíî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ,ñóùåñòâóåò ïðîèçâåäåíèå (x1 ... xn−2 )xn−1 . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ñóùåñòâóåò òàêæå ïðîèçâåäåíèå xn−1 xn .
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïðèìåíèòü îïðåäåëåíèå àññîöèàòèâíîñòè ïîîòíîøåíèþ ê ýëåìåíòàì a = x1 . . . xn−2 , b = xn−1 , c = xn .Å. Å. Òûðòûøíèêîâ13Ïóñòü ýëåìåíòû a è b ïîëó÷àþòñÿ ïðè ðàçíûõ ðàññòàíîâêàõ ñêîáîê.  ëþáîì ñëó÷àåèìååìb = (x1 . . . xm )(xm+1 . . . xn ).a = (x1 . . . xk )(xk+1 . . . xn ),Ïóñòü k < m. Òîãäà, â ñèëó àññîöèàòèâíîñòè,a = (x1 . . . xk )((xk+1 . . . xm )(xm+1 . .
. xn )) =((x1 . . . xk )(xk+1 . . . xm ))(xm+1 . . . xn ) = (x1 . . . xm ))(xm+1 . . . xn ) = b. 22.5Àññîöèàòèâíîñòü ïðè óìíîæåíèè ìàòðèöÏóñòü íóæíî âû÷èñëèòü ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðîâ 1×n, n×1è 1 × n: c11A = BCD = [b11 . . . b1n ] . . . [d11 . . .
d1n ].cn1 äàííîì ñëó÷àå åñòü äâà âàðèàíòà ðàññòàíîâêè ñêîáîê:A = B(CD) = [b11c11 d11 . . . c11 d1n...... ,. . . b1n ] . . .cn1 d11 . . . cn1 d1nA = (BC)D = [(b11 c11 + . . . + b1n cn1 )] [d11 . . . d1n ].(1)(2)Âàðèàíòû (1) è (2) ïðèâîäÿò ê äâóì ðàçíûì àëãîðèòìàì âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû A. ñèëó àññîöèàòèâíîñòè ðåçóëüòàòû äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè. Íî àðèôìåòè÷åñêàÿðàáîòà áóäåò ðàçíàÿ! Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî ñòðîêà íà ñòîëáåö, ïîëó÷àåì 2n2 óìíîæåíèéâ ñëó÷àå (1) è âñåãî 2n óìíîæåíèé â ñëó÷àå (2).2.6ÃðóïïûÍåïóñòîå ìíîæåñòâî G ñ àññîöèàòèâíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé,åñëè:(1) ñóùåñòâóåò ýëåìåíò e ∈ G òàêîé, ÷òî ae = ea = a äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G;(2) äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ G ñóùåñòâóåò ýëåìåíò b ∈ G òàêîé, ÷òî ab = ba = e.Ýëåìåíò e îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì (1) îäíîçíà÷íî: åñëè e1 è e2 äâà òàêèõ ýëåìåíòà,òî e1 = e1 e2 = e2 .
Îí íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.Ýëåìåíò b èç ñâîéñòâà (2) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî a: åñëè b1 è b2 äâà òàêèõ ýëåìåíòà, òî b1 = b1 (ab2 ) = (b1 a)b2 = b2 . Ýëåìåíò b íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì äëÿ a.Îáîçíà÷åíèå: b = a−1 .Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ a, b ∈ G ìîæíî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèÿ ax = b (îòíîñèòåëüíî x) è ya = b (îòíîñèòåëüíî y ). Îáà óðàâíåíèÿ îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû: x = a−1 bè y = ba−1 .Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ àáåëåâîé (êîììóòàòèâíîé), åñëè ab = ba äëÿ âñåõ a, b ∈ G.14Ëåêöèÿ 22.7Ïðèìåðû àáåëåâûõ ãðóïï1.
G = R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ ñëîæåíèå ÷èñåë. Ðîëü åäè-íè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 0.2. G = R\{0} ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ óìíîæåíèå÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 1.3. G = Q ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ ñëîæåíèå ÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 0.4. G = Q\{0} ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, îïåðàöèÿ óìíîæåíèå÷èñåë. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ÷èñëî 1.√5. G ìíîæåñòâî íåíóëåâûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âèäà a+b 2, ãäå a, b ðàöèîíàëüíûå÷èñëà.
Îïåðàöèÿ óìíîæåíèå ÷èñåë.Ïðåæäå âñåãî, äîêàæåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë èç G ïðèíàäëåæèò G:√√√(a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2,èç ðàöèîíàëüíîñòè ÷èñåë a, b, c, d âûòåêàåò ðàöèîíàëüíîñòü√ ÷èñåë ac + 2bd è ad + bc.Äàëåå,åäèíè÷íûìýëåìåíòîìÿâëÿåòñÿ÷èñëî1=1+0·2. Îáðàòíûé ýëåìåíò äëÿ√a + b 2, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, èìååò âèä √a−b+2.a2 − 2b2a2 − 2b2Çàäà÷à.GÏóñòüG ãðóïïà ñ åäèíèöåée.Äîêàæèòå, ÷òî åñëèa2 = eäëÿ ëþáîãîa ∈ G,òî ãðóïïààáåëåâà.2.8Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèöÌàòðèöà A = [aij ] ðàçìåðîâ n × n íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé, åñëè aij = 0 ïðè i 6= j .Äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè aii 6= 0 ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ n.Ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ n × n-ìàòðèö ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè è îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé. Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò ìàòðèöà1I=....1Îíà íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé.Çàäà÷à.A ïîðÿäêà n êîììóòèðóåò ñî âñåìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n: AB = BA äëÿ âñåõn.
Äîêàæèòå, ÷òî A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ðàâíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.2ÌàòðèöàìàòðèöB2.9Ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèöïîðÿäêàÌàòðèöà A = [aij ] ðàçìåðîâ n × n íàçûâåòñÿ íèæíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0 ïðèi < j , è âåðõíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0 ïðè i > j . Òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿíåâûðîæäåííîé, åñëè aii 6= 0 ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ n.Ìíîæåñòâî íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ ìàòðèö ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè è îïåðàöèåé óìíîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé (íåêîììóòàòèâíîé).Äîêàçàòåëüñòâî ñîñòîèò èç òðåõ ýòàïîâ:2 Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿñêàëÿðíûìè.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ15• ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ òàêæå íèæíåé (âåðõíåé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé;• ïðîâåðèòü, ÷òî ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà èãðàåò åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà I ;• ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íåâûðîæäåííîé íèæíåé (âåðõíåé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöû Aðàçðåøèìû óðàâíåíèÿ AX = I è Y A = I , ïðè ýòîì îáå ìàòðèöû X è Y ÿâëÿþòñÿíèæíèìè (âåðõíèìè) òðåóãîëüíûìè.
Ïîñëå ýòîãî ðàâåíñòâî X = Y ÿâëÿåòñÿ óæåî÷åâèäíûì.2.10ÏîäãðóïïûÏîäìíîæåñòâî H ⊂ G íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû G, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîéîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè, äåéñòâóþùåé â G. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû• ab ∈ H äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ H ;• a−1 ∈ H äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ H .Íàïðèìåð, ãðóïïà íåâûðîæäåííûõ äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîéãðóïïû íåâûðîæäåííûõ íèæíèõ (âåðõíèõ) òðåóãîëüíûõ n × n-ìàòðèö.2.11Ñòåïåíè ýëåìåíòàÇàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò a â ãðóïïå G è ðàññìîòðèì ìèíèìàëüíóþ ñîäåðæàùóþ a ïîäãðóïïó H(a) ⊂ G.
Ìèíèìàëüíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî H(a) ⊂ H äëÿ ëþáîéïîäãðóïïû H , ñîäåðæàùåé a. Ëåãêî âèäåòü, ÷òîH(a) = {ak : k öåëîå ÷èñëî}.Ïî îïðåäåëåíèþ, a0 = e, ak = a . . . a (a ïîâòîðÿåòñÿ k ðàç) ïðè öåëîì ïîëîæèòåëüíîì k ,a−k = (a−1 )k . Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òîak+m = ak am2.12äëÿ ëþáûõ öåëûõ k , m.Öèêëè÷åñêèå ãðóïïûÃðóïïà H(a) íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ýëåìåíòîì a. Ìèíèìàëüíîå öåëîå k > 0 òàêîå, ÷òî ak = e, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ýëåìåíòà a. Åñëè ak 6= e ïðèâñåõ k > 0, òî a íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì áåñêîíå÷íîãî ïîðÿäêà.Òåîðåìà. Ëþáàÿ ïîäãðóïïà öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîäãðóïïà H ⊂ H(a) ñîñòîèò èç êàêèõ-òî ñòåïåíåé ýëåìåíòà a:H = {ai1 , ai2 , . . . }.Ïóñòü m íàèìåíüøåå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ñðåäè i1 , i2 , . . . . Òîãäà ÿñíî, ÷òî Hñîäåðæèò âñå ýëåìåíòû âèäà amk . Äîêàæåì, ÷òî â H íå ìîæåò áûòü äðóãèõ ñòåïåíåéýëåìåíòà a. Ïóñòü an ∈ H . Ðàçäåëèì n ñ îñòàòêîì íà m:n = qm + r,q, r öåëûå,0 ≤ r ≤ m − 1.Òîãäà ar = an a−qm ∈ H .
 ñëó÷àå r > 0 ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ìèíèìàëüíîñòüþ m.Ïîýòîìó r = 0. 2Çàäà÷à.Íàéòè âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû öåëûõ ÷èñåëZîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÷èñåë.16Ëåêöèÿ 2Ëåêöèÿ 33.1Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÑèñòåìà óðàâíåíèé âèäà a11 x1 + . . . + a1k xkan1 x1 + .
. . + ank xk=...=b1 ,(1)bnîòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí x1 , . . . , xk íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèé åå ìîæíîçàïèñàòü â âèäåa11 . . . a1kx1b1Ax = b,A = ...
... ... , x = ... , b = ... .an1 . . . ankxkbnÌíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðîâ n × k ñ ýëåìåíòàìè aij ∈ R, ãäå R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îáîçíà÷èì Rn×k .  ñîãëàñèè ñ ýòèì îáîçíà÷åíèåì Rn×1 è Rk×1 ìíîæåñòâà ìàòðèö-ñòîëáöîâ, èìåþùèõ, ñîîòâåòñòâåííî, n è k ýëåìåíòîâ. Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü Rn = Rn×1 è Rk = Rk×1 è íàçûâàòü ìàòðèöû-ñòîëáöû âåêòîðàìè.Ìàòðèöà A ∈ Rn×k íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ, âåêòîð b ∈ Rn ïðàâîé÷àñòüþ, à âåêòîð x ∈ Rk ðåøåíèåì ñèñòåìû (1).3.2Ëèíåéíûå êîìáèíàöèèÄëÿ ïîíèìàíèÿ ñóòè äåëà èñêëþ÷èòåëüíî ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñèñòåìû(1).
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî, åñëè α ∈ R, òî"#"#αb1...bn≡αb1...αbn.Ïóñòü a1 , . . . , ak ñòîëáöû ìàòðèöû A:a1 , . . . , ak ∈ Rn .A = [a1 , . . . , ak ],Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (1) ðàâíîñèëüíû ðàâåíñòâó ìåæäó âåêòîðàìèx1 a1 + . . . + xk ak = b.(2)Âûðàæåíèå x1 a1 + . . . + xk ak íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , . . . , ak ,à ÷èñëà x1 , . .
. , xk êîýôôèöèåíòàìè ëèíåéíîé êîìáèíàöèè. Ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ a1 , . . . , akL(a1 , . . . , ak ) = {α1 a1 + . . . + αk ak : α1 , . . . , αk ∈ R}1718Ëåêöèÿ 3íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , . . . , ak .Òàêèì îáðàçîì, ðàâåíñòâî (2) îçíà÷àåò, ÷òîb ∈ L(a1 , . .
. , ak ).(3)Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèñòåìà (1) èìååò ðåøåíèå (ñîâìåñòíà) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü b ïðèíàäëåæèò ëèíåéíîé îáîëî÷êå (ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé)ñòîëáöîâ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ.3.3Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòüÂåêòîðû, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ ðàâíû íóëþ, íàçûâàþò íóëåâûìè âåêòîðàìè, à èíîãäàïðîñòî íóëÿìè. Ëþáîé íóëåâîé âåêòîð áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì 0.Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîé, åñëè õîòÿ áû îäèí èç ååêîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ.
Ñèñòåìà (äðóãèìè ñëîâàìè, íåïóñòàÿ óïîðÿäî÷åííàÿñîâîêóïíîñòü êîíå÷íîãî ÷èñëà) âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé, åñëè äëÿ íèõñóùåñòâóåò íåòðèâàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ íóëåâîìó âåêòîðó.Ëåììà 1. Åñëè a1 , . . . , ak ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà k > 1 íåíóëåâûõ âåêòîðîâ,òî â íåé ñóùåñòâóåò âåêòîð am , m > 1, ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïðåäûäóùèõ âåêòîðîâ:am ∈ L(a1 , . . . , am−1 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàâíóþ íóëþ íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþα1 a1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
