И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поскольку — — 1 = (а+ и) а+и ф — а » <Онряд~ расходится, то произведение а+и а+и »=! тт Ф+и расходится к нулю, а это означает, что о+п »»О и(и+ 1) (Д+ ) »-»»» а(а+1) . (о+и) ( 1)»+!и П. Исследуем поведение ряда 7 . Этот ряд— и!е» »»! знакочередующиися, причем, а»»! ) (и+ 1)»Е! и!е» (1+ -„) а» ~ (и+ 1)3е»+! и» е т.
е. последовательность )а„) монотонна. Следовательно, схо- дзмость этого ряда эквивалентна выполнению равенства «» «» 6»+! 1«п — = О. Введем обозначения: 6» = —, р» = —" и и-!пп «!Е» «!е»' " 6. — -П рассмотрим бесконечное произведение Р = — П р», Так как е ~ п=1 6„+, частичное произведение Р» = — р! рз .
Р» = — = 6 +! то «» " е е6! равенство 1пп — = 1«п 6» = О есть расходимость к нулю и-ппп «)е» и-+»! этого бесконечного произведения, а зта расходимость эквисп валентна условию 1« р„< О, и б Р1, и ряд ~~! 1« р» раскодится. Так как п»1 6»+, («+1)»+' (1+ „-')» (пр» = 1« — = 1« = )п 6» е(«+ 1)«» е 11" то первое из этих условий следует из неравенства (1 + — < е, «Е !"1, а второе -- из соотношения 1п — а — = «1и 1+ — — 1 = ( 1)и+!» Итак, ряд 7 сходится.
«е» и»! Н1. В!лведем важную формулу представления функции гйп л бесконечным произведением. Из формулы Муавра (соег+ !ыпл) = сое«!з+1егв«!л, применяя формулу бинома Ньютона н приравнивая коэффициенты прн мнимой единице в левой и правой частях, получаем равенство 5!и г«1 г«(«! 1)(!«2) и! — д ' 3 = !«сое"' ллшз— 3! соя"' зле!пзл+ Если «! нечетно, то все степени сое з в правой части этого равенства четные, следовательно, я(п(2«+ 1)з = ешл.Р(в1пз г), где Р(у) — многочлен степени п.
Если ашза 7! О, а гйп(2п+1)ле = О, то, как видно из полученного равенства, число р = в(из хе является корнем многочлена Р(у). Непосредственно проверяется, что таким свойством обладают числа ииг у» =вш , и» = 1, 2,..., и, причем все онн различны. 2п+ 1' (:ледовательно, многочлен Р(у) имеет и различных действительных корней, ни один из которых не равен нулю, и, тем самым, представляется в виде произведения Р(р) = 4(у — ул)" (у - ъ) = =В ! — — 1 — — ... 1 —— где В = Р(0). Значение В находится из соотношение Р(0) = Г»йп(2п+ 1)2 = 2 1 -»О ВГН 2 Итак, » ВП» 2 в(п(2п + 1)2 = (2п + 1) в!п х. П ! — 2 я » / ° 2 э!и — „, ! мни = (2п+ !) в(п — П ~1 Пусть я ф яй, й й К.
Фиксируем число 7 такое, что (я( ( (7+ 1)я. Для п > 7 запишем полученное равенство в виде в!ив = ((е("!»е("1, где 2п+ 1, ~ и!пз "~~() 1( ! — И 1 2"+' 9 П 2 ют у»пя+! е!и 2»+1 Для рассматриваемых *, д, и имеем: Уе("! ф 0 и, следовательно, У" = —. („! ашя Ч (((а) ' 7! Так как при этих л и д имеем 1;,„(1!и! и-+оо то существует и предел — !пп !г1"! = —. 9 9 1! Ч Итак, для л ф лй, й Е Ж, и любого 7, удовлетворяющего неравенству (л( < (д+ 1)гг, имеем равенство )) л"4 сии ! Иэ выпуклости вверх функции у = егв л на ~0, — ) следует, 2! 2 / о!ч что †!!г < ми ег дла 1о б ~0, — г1, откУда полУчаем, что я 1 '2)' 4лзпгг ягп — )...
го=4+1, 7+2,, и, 2п + 1 огз(2п + 1)" Х ли так как егпз < , то 2п + 1 (2п + 1)з ' и (-й) "'" ииг+! ! Так как ряд г — при любом л сходится абсолютно, то ~-~ 4пгз ии! бесконечное произведение !г* = П ( ! — — ) сходится и! ил+ ! 72 абсолютно. Так как последовательность Д ~1 — — ~ 4п!з ) нвюя+ ! убывающая, то отсюда получаем неравенство т=д+1 Переходя в нем к пределу при и -! со, получаем, что 1е' < < И < 1. Так как 1пп г" = !пп Ц ~1 — †) = 1, ч .- ч~ Я е+ 4н!з гч+! то, переходя в последнем неравенстве к пределу при 4 -+ оз, получаем, что 1пп $' = 1, и, следовательно, е-+00 ~!Пл 1!!и Уе' !!нп 1е !!щ ю Ц ~ 1 з з) 9-+~'О 9 ~00 Я ФОО хзгп2 н~=! Итак, получаем формулу: СО .2 гТ*=*П ( — —:,) пи=! Заметим, что зто равенство было выведено при условии, что л ф ля, й Е л..
Но если г = яея. !!е Е У., толевая его ча!сгь равна нулю и правая часть также равна нулю, поскольку один из сомножителей в бесконечном произведении обращается в нуль. Таким образом, полученная формула верна для всех л Е Й. й З. фИПСЦИОНАЛЫШЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. РАВНОМЕРШЯ СХОДИМОСТЬ Отметив в предыдущем параграфе взаимосвязь рядов и последовательностей,мы рассматривали только свойства числовых рядов, поскольку соответствующие свойства числовых последовательностей изучаются ранее. В этом же параграфе центральное место занимает новое понятие — равномерная сходимость, и поэтому свойства последовательностей и рядов будут рассл<атриваться параллельно.
Определение. Пусть дана последовательность функций (/„(л)), х с Х. Точка ле б Х называется точкой сходимости этой последовательности, если все функции У„(х) определены в точке ле и числовая последовательность (у„(хе)) сходится. Определение. Пусть дан функциональный ряд ~~< н„(л) «=! Точка ге б Х называется точкой сходимости этого ряда, если все члены ряда. функции не(л) определгны в точке лс и числовой ряд ~~< и„(ле) сходится. «=1 Определение. (,'овокупность всех точек гходимогти последовательности (/„(и)) называется множеством сходимости последовательности (у„(л)). Определение.
<,'овокупность всех точек < ходимо<ти ряда Е- и„(л) называется множеством <'ходимо<тн ряда ~~< и„(л) о=! <=1 Аналогично определяется мно;кества аб< олютной и условной сходимости ряда. На множехггве М сходимости последовательности (ряда) определена функция /(х) = !пп ~„(л) (.5(к) = ~ н„(л)). « -« <=! Фактически мы уже находили множество сходнмости последовательности (ряда), когда исследовали последовательность (ряд), члены которой зависели от некоторого параме- 11\ тра.
Так, множество сходимостя последовательности 11 — ~ (п«) будет множество М = (я: я > 1), множеством сходимостн 1 ряда ~ — „будет множество М = (л: (л( > 1) и т. д. ««1 * Рассмотрим еще два примера. Пример 1. Последовательность (У„(х)), /„(л) = и 1пп, имеет своим множесгвом сходимости множество М = (х: х < 0) — отрицательную полуось — н сходится на М к нулю. ОО Пример 2. Рассмотрим ряд ~ —.
Если )х( < 1, то 1,1, яз« ' ««! !я(«(я( 1пп ~ = !пп = (х(< 1. 'у !+ з« ° ~Г+~я« Если (я( > 1, то 1 „1 1 1пп Г" = !пп —" = — < 1. «-«Ч 1+аз« -«э !х( !+л-з«(я( « Если (л( = 1, то з ~ = —. В силу радикального прязнака 1 .!. яз« ~ Коши и необходимого условия сходимости ряда получаем, что множеством сходимости (абсолютной) данного ряда является множество М = (х, (х( ф 1) — числовая ось с выколотыми точками 1 и -1. Пусть М есть множество сходимости последовательности (ряда) и Е С М, тогда будем говорить, что последовательность (ряд) сходится поточечно или, короче, сходится на Е. Опредпввжие.
Пусть последовательность (Д„(х) ) сходится на множестве Е и у(я) = !пп у„(я), х б Е. Последователь« -«с« ность (Д„(л)) называется равномерно сходящейся на множестве Е, если для любого положительного л можно указать такой номер Л/, что условие (/„(я) — /(х)( < я выполнено для всех я Е Е и всех и > Л/. В этом случае употребляются также выражения: "последовательность (Д„(я)) равномерно сходится на Е к /(х)", «сходимость последовательности (7«(х)) к у(л) на Е равномерна" .
Если последовательность (у„(х)) сходится на множестве Е, ио не удовлетворяет приведенному выше определению, то говорят, что эта последовательность сходится неравномерно ка Е. Выражение "последовательность (у„(х)) не является равномерно сходящейся на множестве Е" принято употреблять тогда, когда последовательность или сходится неравномерно на Е, или расходится хотя бы в одной точке множества Е. Равномерная сходимость последовательности (/„(х)) к у(х) на множестве Е обозначается: ~„(х):$ /(я) на Е.
Приведем формальную запись этого определения. (Уе(х):$ /(я) на Е) с Ус > 0 ЛФ(е): Чп е И, и > Л', Чх е Е ==Ф ~Д(х) — у(х)) ( е. Опредеиежже. Ряд ~ и„(х) называется равномерно схое=! дящвмся на множестве Е, если последовательность 5„(я) его частичных сумм равномерно сходится на Е. Другими словами, ряд ~ ~и„(г) является равномерно схо«=! дящимсл на множестве Е, если последовательность его остатков (гь(л)), гь = ~~~ и„(л), сходится к нулю равномерно на Е. л=ь+! Так же, как и длв последовательности, для ряда используются термины: 'ряд сходится равномерно на Е", "сходимость рида на Е равномерна", 'ряд сходится неравномерно на множестве Е" и "ряд не является равномерно сходящимся на множестве Е".
Приведем формальную запись равном! рпой сходимости ряда ~~! и„(л) на Е е=! с К .(*! ~
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
