И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если же в основе сходи- мости ряда ) )6„ или ограниченности последовательности « ««1 В„= ~ Ьь лежит интерференция положительных и отрица- 8«! тельных членов последовательности (6„), то именно признаки Абеля и Дирихле позволяют установить сходямость соответствующих рядов, чаще всего условную. На практике в признаках Абеля и Дирихле в качестве последовательности (Ь„) чаще всегоберется илн последовательность ((-1)"1" 1), или одна из последовательностей (сов па) и « (.' (. о р ° ° л " 1~,(-~(«") е«1 при данной функции р(и) устанавливается непосредственно.
Рассмотрим последовательностя В„= сов а + сов 2а + . + сов па = ~~( сов ва В„= 81па+8(п2а+ . +8(пиа = ~ 8(пса. 8«1 Так как а 1 !'. За а1 1 / . 5а , За ! 8(П вЂ” В« = ~81П 81П ) + ~81П 81П ) + 2 " 21, 2 2) 2(, 2 2) 1 /. 2и+1, 2п — 1 + + — ~81п — а — 81п — а) = 21 2 2 1 !', 2и+ 1, а'! = — ~81п — а — 8(п- ! = сов(п+ 1)а 81пиа, 21, 2 2) то для любого а ф 2яй, Ь б Х, получаем, что 1сов(и+ 1)а.в)п иа1 1 « !< 8(п — в(п 2« 43 Точно так же получаем, что )В„! = 1 < —, а гЬ 2лй, й Е Х. в!п(п+ 1)а в!ппа) 1 в'и г !в!и г ~ Итак, установлено, что последовательности В„и В„огранячены прн любом а ф 2лй, й Е л,.
Поэтому, если прн исследовании рядов вида ~~~ г(п) сов па илн ) г(п) в!и па про«=! «=! стейшая оценка ) сов па) < 1, ) в!и па! < 1 не дает возможности сделать вывод об абсолютной сходимости, то обычно проще начать исследование сходимости, а уже потом перейти к нсследованню абсолютной сходнмости. х сова Пример 42. Рассмотрим ряд г —. Простейшая оцен,/й «-! ! < — не дает информации о поведения ряда ка Покажем, что данный ряд сходится.
Положим ««! ! л 1 Ь„= сова н а„= —, тогда (В„! = аг совй < /и' вгп — ' ««! г (11 а последовательность ~ — г монотонно стремится к нулю ~ г/и) при и -+ со. В силу признака Дирнхле данный ряд сходится. Для исследования абсолютной сходнмости этого ряда удобно воспользоваться оценкой ) сов и) > совг и. Имесов и ) совг и 1 сов 2п ч сов 2п ем: — 1 > — = — + —.
Ряд г так г/и 1 г/й 2~Я 2!/й, 2г/й же, как н исходный ряд, сходится в силу признака Дирихле, т" 1 а ряд г — расходится. Следовательно, расходится ряд , 2~/и сов и ~сов и ,/и ~ ' —, а в силу теоремы сравнения н ряд 5 — . Итак, , 1,/п сов и ряд ~ л..(,/; СО ! сов и агссгж— Пример 43. Рассмотрим ряд ~ " . Простей««! ОЭЕП аГсСОЕ - ~ я ! шая оценка " < — не дает информации о по!сол и агссов — „ ведении ряда ~ ~ " . Покажем, что данный ряд ««! сов« 1 сходится. Положим Ь« = — н а„= агссов —. Условная схо!/и и сое и димосгь ряда 1! Е« = гу« — установлена в предыдущем ,/ГП! ««1 ««1 1) примере.
Так как последовательность агссов — ~ монотони) 1 !г на и ограничена, 0 < агссов — < —, то в силу признака Абеля и 2' СО ) сов и. агссов — „ ! данный ряд сходится. Расходимосгь ряда у ,/й «=1 следует ю неравенства ! соеп вгссое-„) )сова) 1 "1 > —.агссов — (и > 2) СО 00 ! )соеп) сое и агссов — „ н расходимости ряда ~ ~ — 1. Итак, ряд 2 ««1 ««1 сходится условно.
ОР « — «сова агссое— ! Заметим, что сходимость ряда ~ " можно ,/п ««1 было обосновать и признаком Дирихле. Но если выполнение « условнй ограниченности последовательности В„= ~ сов й и ! е ! агссов „- стремления " к нулю при и -+ со видим непосредственаГссов— но, то проверка монотонности последовательности !/й достаточно Громоздка. В данном случае проверка выполнения условий прюнака Абеля существенно проще. в(п п(1 — вш и) Прямер 44. Рассмотрим ряд и ««1 е!п п(1 — и1п и) ! Простейшая оценка < — не дает информаи и ! аш п(1 — е1п и) пни о поведении ряда ~ Представление п ии1 ип п(1 — е!и и) в виде произведения пиЬи, где аи = з!пт! и и ! — сйп и Ьи = также не дает информация о сходимости этого и и ряда, поскольку хотя последовательность (Аи), А„ = ~ аю еи1 ограничена и !пп Ьи = О, но последовательность (Ьи) нс моппао нотонна; таким образом, условия признака Дирихле не выполнены. Покажем, что этот ряд расходится.
Действительч' 51П П но, ряд пу — сходится в силу признака Дирихле. Так как и ии1 а1п и 1 ссм2п т соя 2п — —, ряд иэ сходится в силу прин 2п 2п ' л-; 2п ч 1 З1П П знака Дирихле, а ряд ~ — расходится, то и ряд иу ~ 2п и ип! ии1 расходится, откуда следует расходимость и данного ряда, повглп(1 — е1пп) а!пп а!п и 2 скольку и и и сое,/ио Пример 45. Рассмотрим ряд ~ . Последоваи ии! тельность аи = соа ~/йо не является бесконечно малой (достаточно рассмотреть подпоследовательность аи!), откуда следует, что данный ряд расходится при 4 < О и любом а.
При любом он у > !данный ряд сходнтся абсолютно. Если а = О, то данныи ряд расходится и при О < !! < 1. Итак, осталось исх соя !/йо следовать поведение ряда ~ при офОиО<!!< !. п9 пи! Имея в виду формулу Тейлора Ф(п+ 1)-Ф(п) = Ф'(и) + Фи(п+1!п), О < йп < 1, / сов~Да рассмотрим функцию Ф(х) = ! й, производная ко!е 1 сов ~/йа торой при х = «равна —.
Приведенная выше формула пв О: Тейлора показывает, что если ряд ~ Ф' (и+с!«) сходится, то ««1 сходимость рассматриваемого ряда эквивалентна существованию предела Ф(п) при и -+ оо. Начнем с оценки Ф«(п+ 9„). Из равенства -а вш ь/ха в сов ~~ха 2хв+ 4 хе+' получаем, что ~Ф (х) ~ < —, где й зависит только от в и а. в хе+ 1 /1 ! Следовательно, для в Е ~-,1~ ряд ~Ф"(«+ 6„) абсолютно ««1 сходится.
Покажем, пользуясь критерием Коши, что для этих значений в существует и 1пп Ф(х). Действительно, пусть с > О. в-«+о« Интегрируя по частям, получаем !Ф(х+6 — Ф(*П = 2в!и ~да 2 1 в)п с/!а ! 2 2( 11Г й 8 < + — + — д — — — < а(х+г)в-! ахв-Ф а ~ 2/ 3 !в+') ахв-') ' х откуда и следует существование 1пп Ф(х). Итак, данный в.«+о« 1 ряд сходится для а в! О и - < в < 1. 2 1 Пусть теперь а ~ О и О < в < —. В таком случае при- 2 веденные выше рассуждения не позволяют утверждать, что 47 ряд ~~~ Ф"(и+ Э„) сходится.
Напишем для функции Ф(х) и гм формулу Тейлора второго порядка Ф(п+ 1) — Ф(п) = сы ~/йа а е!п ~/па д сов ~/па пе 2пе+ з пе+' 0<9„<1. Из равенства (~+ -') аш,й + а + 2хе+ х 1) сов,/ха я+г — а савла г Ф/и( 4хч+1 адв!п,/ха у(д+ + з + 2хе+ з получаем, что )Ф (х)) < †,, где й зависит только от о н д, сч следонательно, ряд ~ Ф~~~(п+сэ„) абсолютно сходится. Замелп1 Е Г 51п ь/!а ннв функцию Ф(х) на функцию Ф(х) = ! й, такими !е 1 ОО а в( п,/па же как выше рассуждениями получим, что ряд у 2пе+ 1 сходится. Таким образом, сходимость рассматриваемого ря! да при а ф О и О < 4 <; эквивалентна существованию пре- 2 дела Ф(п) при п -+ оо.
Интегрируя по частям, получаем ра- венство п 2, 2 . (4--,) Ге!п,!а Ф(п) = — пт еьйп ~/па — — в|па+ у Щ, а 2а,) 1ч+ 5 1 / лп1 ~/!а 1 !.'уществование предела )пп ! й, О < у < й-++со !9+ ) 1 устанавливается точно так же, как и существование предела /1 1!ш Ф(х) при д Е ( —,1 . Поскольку а !1 О, то последовае-~+со (,г' тельность Ьи = а!и ~/по не имеет предела (достаточно рассмотреть подпоследовательность Ь„~ прн а ф хй, !Ц Е Р1, и подпоследовательность Ь„э+„при и = хй, !Ц Е !'!), то и последовательность Ф(н) не имеет предела. Итак, данный ряд 1 при а ф О и О < д < — расходится.
2 1 Для исследования абсолютной сходимости прн - < 9 < 1 2 воспользуемся стандартной методикой — используем неравенство ~ сое !/йа~ совз /йа 1 сов 2ч!йа ) = — + пе нч 2нч и'! 1 ! Так как ряд Ъ вЂ”, — < 9 < 1, расходится, то нз этого нера- ~- 2пч' 2 ч соаз ~/йа 1 венства следУет Расходимость РЯда из, —, < 9 < 1, нч 'г ии! ч-и ~ соя ~/!!о~ 1 и тем самым расходнмость ряда у, — < 9 < 1.
нч '2 ии! Сведем вместе все полученные выводы. Данный ряд сходится абсолютно при 9 ) 1 н любом и; сходится условно при 1 2 — < 9 < 1 н а 9е О; расходится при всех остальных комбинациях значении 9 и а. Гораздо чаще, чем для рядов с неотрицательными членами, прн исследовании рядов, члены которых меняют знак, используется рж!ложение членов аи ряда у а„в сумму: ии! ои =с!!!+с<'1+.
+с!ь!. Это связано с тем, что оценка скорости стремления последовательностей (си!!!), 1 < ! < Ь, к нулю обычно ничем не легче, чем последовательности (аи), а янтерференция положительных н отрицательных членов в каждой нз последовательностей (с!!!), 1 < ! < Ь, может быть существенно более простой, чем в последовательности (аи). Напомним, что определенный ответ о сходимости ряда ~~! аи прн таком разложе- ии! 49 нхи возможно дать только тогда, когда среди рядов ) с!„'1, »-1 1 < 1 < й, расходится не более чем один. Будем считать, что а« достаточно гладко завясит от и. Если последовательность (а«) не является бесконечно малой, то в сялу необходимого условия ряд у а« расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
