И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда, используя неравенство Бернулли' >, получаем, что (1 — о(У))2!г+е (2У+ 4)о(У) "л'+1(~л() 1 ог(У) -, 2(У) 1 1 Отсюда видно, что если а(У) =, то гл~~((х) > —, что +1 2' и требовалось доказать. '(Если а > — 1, то Ллл любого натурального «имеем, что (1 + а)" > ) 1+ «а. 77 ( — 1)" + 1х Пример 5. Рассмотрим ряд 2 на интерваи и lвг+ Хг п«1 ( 1)п+1 ле (0,1). Для каждого хо б (0,1) ряд ~ ~зна«=1 + о хо кочередующийся н последовательность монотонно /пг 1, х2Й стремится к нулю при п -+ со. Следовательно, в силу теоре( — 1)п 'хо мы Лейбница, для любого х б (О, 1) ряд у сходит- 2 /„2+ .г ся и его остаток г„(хо) удовлетворяет неравенству )и (хо)! < хо и„,р ° ° *р !ро ° р а .р 1!' ь* х 1 . р---- ~..!*о « .
- Ур, ! р ~!'р*' учесть соотношение !пп = О, следует, что данный ряд р«я+1 равномерно сходится на интервале (О, 1). Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Для того чтобы последовательность (2„(х)) равномерно сходилась на множестве Е, необходимо и достаточно выполнение условяя: для любого положительного числа е можно найти такой номер Л1, что неравенство !2«(Х) — У„, (Х)) < Е СПРаВЕДЛИВО ДЛЯ ВСЕХ ТОЧЕК Х МНОжЕСтВа Е и любой пары натуральных чисел и и т при условии н > Ф, рн > ЛГ. Приведем формальную запись критерия Коши равномерной сходнмостя последовательности: (гирр(х):$ ги(х) на Е) с р Че > 0 ЗФ(е): Фп, те)ч, п>ЛГ(с), т>Лр'(е), УхбЕ:=г )у„(х) — у (х)) < е. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Для того чтобы ряд 2 ип(х) равномерно сходился на мнорр«1 гнестве Е, необходимо н достаточно выполнение условия: для любого положительного числа е можно найти такой номер Ф, «+р что неравенство ~«иь(х) < е справедливо для всех точек х «=« множества Е и любой пары натуральных чисел и и р при условни и > Л!.
Приведем формаяьную запись критерия Коши равномерной сходимости ряда; К .(*! «Р!*! «) «О ЗЛ'!.): ««! «+г УхбЕ, УрбИ, ЧибИ, и>Л/(с)«~ ~~' иь(х) <е. Необходимое условие равномерной сходвмостж ряда. Если ряд ~ и„(х) сходится равномерно на множестве Е, ««! то последовательность (и„(х)) сходится к нулю равномерно на Е.
Как и для числовых рядов, зто условие не является достаточным даже для того, чтобы множество Е входило в множество сходимости ряда ~~! и„(х), как показывает следующий пример. ««! 1 Пример 6. Рассмотрим ряд ~~! на интервале (О, 1).
х+и ««1 1 1 Неравенство О < < —, х б (О, !), и б И, показывает, х+и и что последовательность сходится к нулю равномер- ! х+и! но на (О, 1), но в то же время для любого значения хе б (О, !) 1 ряд ~~' — расходится ««1 ха+ и ч 1 Пример 7. Рассмотрим ряд у — на интервале (1,2). и* «=1 1 1 С одной стороны, неравенство О « — —, х б (1,2), и б И, и«и' (1) зоказывает, что последовательность с — ) сходится к ну( и*) лю равномерно на (1,2). С другой стороны, применяя инч 1 тегральную оценку остатка ряда ~ — при фиксированном и' в=1 1' й 1 с (1,2), певуча~и, что г (х) > / в+з 1 Для произвольного Ф положим /с = Л/+ 1 н ху = 1+ —, Л~ ! 1 тогда гулаг(ху) », —, т, с, ряд 2 — сходится (Лг' -~- 3) к' 4 ' п~ неравномерно на (1,2). На практике удобно пользоваться следующим критерием -- фактически переформулировкой определения равномерной сходнмостн последовательности. Последовательность (Д„(х)) равномерно сходится на Г к у(х) тогда н только тогда, когда Йш вор !Х„(х) — г"(х)( = О, х е Е.
и-+ х Пример 8. Рассмотрим последовательногть (Д,(х)), Д(х) = хагсгйггх. Если х > О, то !пп Г'„(х) = ™; если -+ " 2' х < О, то )пп ув(х) = — —, г„(0) = О длл всех и. Следова- 2 ' тельно, множеством сходимости последовательности (у„(х)) л является вся числовая ось 1к н Дх) = 1пп /„(х) = — (х(. 2 л Оценим вцр! — )х( — хагссйггх(, х 6 !ц В <илу четносги 2 л л функций у = х агс18 пх, у = — )х( и неравенств ) агс18 ггх! < —, 2 2 ( агс18 а( < (о( имеем, что внр 1-!х! — х агс18 пх~ = вцр х 1 — — агсг8 пх) = гея12 ,>и ~2 1 1 = вцр(х агссгх их) = внрхагс18 — < —.
>>о с>о пх п Отсюда получаем, что 1пп вцр (у„(х) — У(х)( = О и, следовай ~о> гвЯ тельно, последовательность Ц„(я)), /„(л) = я агс!8пя, равномерно сходится на Й к —,~л< 2 Пример 9. Рассмотрим последовательность Ц„(я)), у„(л) = агс!кпя. Как и в предыдущем примере, получаем, что эта последовательность сходится на всей числовой оси 1й и 1(л) = !пп агс!8!!я = — е!япл. Так как и-+ао 2 ецр )агс!8 пя — — ягйп я) = епр 1 - — агс!8 пя) > ели ~ 2 ! >а!2 3г г 11 гг л я ) — — агс!8 ~п — ! = — — — = —, 2 (, и) 2 4 4' то послеДовательносгь (1е(Я)) неРавномеРно схоДитсЯ к — е!8п я на Ж.
2 Обратим внимание на то, что равномерная сходимость последовательности (ряда) на множестве Е является глобальным свойством, характеризующим поведение последовательности на множестве "в целом", т. е. множество рассматривается как единый объект. Поэтому недопустима формулировка локального типа: "последовательносгь (ряд) равномерно сходится в точках множества Ь"' или "последовательность (ряд) сходится неравномерно в точках множества Е". В то же время определение равномерной сходимости имеет смысл и для множества Е, состоящего из одной точки: Е = (ле), и эквивалентно в этом случае сходимости последовательности (ряда) в точке яе. Если мы хотим говорить о равномернон сходимости в таком случае, то формулировка должна быть следующей: последовательность (ряд) сходнтся равномерно на множестве Е = (яе) (т.
е, не в точке яе, а на множестве, состоящем из одной точки яе). Следующие утверждения немедленно следуют из определения равномерной сходимости. 1. Если последовательности (ряды) Ц„(я)) и (у„(я)) < ~',„(,) ~',„ь)) „„.~,. д ° е, и — 1 $$= 1 то любая их линейная комбинация (ггуе(я) + ФУа(я)) 81 ! < у'.« .!.! ° «;,!.<!), =1 <ходится на Е. 2. Если последовательность (ряд) сходится равномерно на множестве Е, то гходимогть будет равномерной и на любом множегтве Е! С Е 3.
На всяком конечном подмножестве множества гходимо- гти <югледовательности (ряда) зта последовательность (ряд) гходится равномерно. !. Если последовательность (ряд) равномерно гходится на каждом из множеств Е! и Еы то на множестве Е = Е! 0 Ег зта последовательность (ряд) сходится равномерно. Внимание! Это утверждение не переносится на бесконеч- ное объединение множеств, как показывает следующий при- мер. Пример 10. Рассмотрим последовательность (Д„(я) ), ~„(я) = агс1йих, на множестве Ем = ~ —, +со при фикси~п< рованном и< Е <ч.
Так как для х б Е имеем (пп /„(х) = —, и« " 2 !я ! <Г и и яцр ~- — агсСй пл~ = — — агс1д — -! О, и -ч оо, то на Е„, ,еп„2 2 <и последовательность (агс$б пх ) сходится равномерно. Но, как было показано в предыдущем примере, лцр ~ — — агсСб г<л~ > —, .>о !2 4' т. е. на множестве (О, +со) = ( ) Е,„зта по<ледонательность сходится неравномерно. 5.
Понятие равномерной сходимости на множегтвс предполагает, что рассматриваемая функциональная последовательность (функциональный ряд) опргделена на данном множестве. Иногда удобно ра<>гматрнвать числовую последовательность (чнслоной ряд) как погледова! ельность (ряд) функций, каждая иэ которых есть константа на данном множестве Сходимость такой по<.ледовательности (ряда) на любом множестве равномерна. Как и в случае поточечной сходимостн, при исследовании равномерной сходимости ряда непосредственный анализ по- ««1 хЕ О,— „ хŠ—, 1, п>2. ! « — ып 2"хх и„(х) = О, 81 ведения последовательности (Я«(х)) нли (г„(х)) в подавляющем большинстве заменяется косвенным — применением признаков равномерной сходимости, выраженных через свойства членов ряда.
Признак Вейерштрасса (мажорвнтный признак). Если для функционального ряда ~ е«(х) существует схо«о ««1 дящийся числовой ряд ~ а„ такой, что !и«(х)~ < а„ для ««1 00 всех х Е Е и и Е 1«' (мажорантный ряд), то ряд ~~! и„(х) сходится абсолютно и равномерно на Е. «=! Область применения признака Вейерштрасса — исследование абсолютно сходящихся, в частности, знакопостоянных рядов. Но множество. функциональных рядов, для которых на множестве Е существует сходящийся мажорантный числовой ряд, уже множества рядов, абсолютно и равномерно сходящихся на Е.
Дело в том, что при применении признака Венерштрасса остаток гь(х) = ~ и„(х) ряда ~~! и„(х) ««я+! ««! оценивается неравенством еор !гь(х)~ < ) евр !н«(хЦ, а «ея ««ь+!~ен такая оценка может оказаться слишком завышенной, т. е. последовательность (гь), гь = ~~~ епр !и„(х)~ может не стре««л+!«ел миться к нулю, в то время как последовательность (гь(х)) равномерно сходится к нулю на Е. Приведем соответствующий пример. ОР Пример 11. Рассмотрим ряд ~ и„(х)„где В кеждои точке ие Е [О, 1] все члены ряда, кроме, может быть, 1 одного, обращаются в нуль (в точках яь = ь все члены ряда 2" равны нулю). Отсюда получаем, что ОР !'я(я) = ~~! ип(л) = п«Ь+! О, яЕ р1 1 а — я!и 2«ия, я Е ~ —, —, п > й+ 1, ]2« ' 2«-1 ] ' следовательно, 1 апр ]ге(*)] = —, 1пп апр [гь(я)[ = О, пе10,1] ~ + 1 ь +'и «Е1е,11 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
