И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 13
Текст из файла (страница 13)
17' $4. СОЖПЕННЫВ РЯДЫ. ЫИЛ0ЗИНИЕ ЕИЯЩИИ В СтКПКННОН РНД Определение. Ряд ~ а„(з — ОО)", где (а„) — числовая п«О последовательность, называется степенным рядом с началь- ПОЙ тОЧКОй ОО. ЧИСЛа ап НазЫВаЮтея КОЭффИцИЕНтаМИ дапвого степенного ряда. Линенная замена С = л — ОО переводит степенной ряд с начальной точкой ОО в степенной ряд ~ а„(" с начальной п«О точкой в нуле.
Те свойства степенных рядов, которые не меняются при линейном переносе, удобнее формулировать для рядов вида ~~~ а«Оп. п«О СО Первая теорема Абеля. Если степенной ряд ~~~ аплп п«О сходится в некоторой точке ОО, ~ОО) ф О, то он сходится абсолютно для всех г таких, что )л~ < ~ОО1 Следствие. Каждому степенному ряду ~ а«Оп соответп«О ствует действительное число В > О или символ +со так, что для всех л: ~л~ < Я этот ряд сходится абсолютно и для всех О: (л~ > Я этот ряд расходится (более того, прп этих значениях г члены данного ряда не представляют бесконечно малой последовательности).
Число илн символ Я называется радиусом сходимости данного степенного ряда. Радиус сходнмости является основной характеристикой степенного ряда. Если радиус сходимости ряда ~~~ а«за равен нулю, то мно- ««О жество сходимости этого ряда состоит из единственной точки л = О. Таким образом, этот ряд определяет единственное ЧИСЛО ао СО Если РадиУс сходимостп степенного РЯда ~~~ аплп есть п«О символ +оо (И = +со), то множеством сходимости этого ряда является вся комплексная плоскость. Таким образом, этот РЯД опРеДелЯет фУнкцию 5(л) = ~~~ лизи ДлЯ любого комплексного числа. иие Если радиус сходимостн ряда ~~~ аихи есть число Я > О, ииО то множество сходимости этого ряда представляет собой внутренность круга радиуса Й с центром в нуле, т.
е. множество (г: )х) < 11) с возможным добавлением точек, лежащих на границе этого круга. Как будет показано ниже, множество точек сходимости данного ряда на окружности )х( = Л может быть пустым, может быть правильной частью этой окружности, может полностью совпадать с ней. Таким образом, этот ряд определяет функцию я(г) = ~ пи ли для всех коми=а плексных чясел, удовлетворяющих условию )х! < Н, и, может быть, для некоторых нли всех чисел, удовлетворяющих условию )х) = Й. Если радиус сходимости ряда ~~~ аи(х — го)и есть число иие й > О, то открытый круг (: )х — хе! < Й) называют кругом сходимости этого ряда.
Если радиус сходимости ряда аи(х — хе)и есть символ +оо (Й = +со), то в целях единоие образна формулировок кругом сходимости этого ряда называют всю комплексную плоскость. Еще раз обратим внимание на то, что круг сходимости степенного ряда обязательно входит во множество абсолютной сходимости этого ряда, но не обязательно совпадает с этим множеством и, тем более, со множеством сходимости. радиус сходимости я степенного ряда связан с его коэффициентами формулой Коши-Адамара: 1 — (пп фа„Д.
(1) Если 1пп = А,то А = 1пп фа„), следователь) ч) и-о+оо )аи( ио+оо 101 2о, в таком случае ( ) В= !пп + (ап+,! (2) (п>)2,п л- (2п+ (п2 — 1)21" (>>1) 2 Решение. Имеем: )а„( = . Здесь удобно приме(п2 + 1)п ' 2ить формулу (2), поскольку в выражение (а„) входит и!. Так 2ак )ап( (П2 + 2П + 2)п+> 1пп = 1пп п~оо )ап+>( и-> о (и+ 1)2(из+ 1)п п2+ 2п+ 2 / 2п+ 11" = !пп ~1+ / =е, и->оо (и+ 1)2 ~ п2+ 1 / "о радиус сходимости данного ряда Я = е2.
Для окончатель° ого определения множества сходимости исследуем поведение лого ряда на окружности круга сходимости, т. е. на множе- (П>)2Е2п стае (2) = е . Если )2(= е2, то )апеп) = ' и (п2+ 1)и !ап+>2"+'! (и+1)2(п2+ 1)пе /апеп) (п2+ 2п+ 2)п+' п2.1 2п+2/ 1+ О 2-2+2+о(->2) 102 'Если Л = О, то Н = +со).
Какой формулой — (1) или (2) — пользоваться для вы>веления радиуса сходимости конкретного степенного ряда, >пределяется видом зависимости ап от и. Приведем харакгериые примеры. Пример 1. Найти радиус сходимости и множество схо1имости ряда — 1+Π—, 1+ — +Π—, 4 /11 = 1+ — + О ~ — (, п -+ оо. и 1пэ,1 ' Отсюда следует, что положительная последовательность (а„г" (, (л( = е, по крайней мере, начииая с некоторого номера, возрастает и, тем самым, не является бесконечно малои.
(в!)зл" Следовательно, для любого з, (г( = е~, ряд Ъ в=с расходится в силу необходимого условия сходимости. Таким образом, множество М сходимости данного ряда совпадает с его кругом сходимости: М = (л: (л~ < е ). Пример 2. Найти радиус сходимости и множество схоч (3+ 4()" л" димости ряда ~ 5л Решение. Имеем (а„~ = . Здесь удобно приме- Ю" +1' нить формулу (1). Так как 5 пй +-4- " и 1 то радиус сходимости даииого ряда В = —. Для окоичатель- 5 ного определения множества сходимосги исследуем поведение этого ряда на окружности круга сходимости, т. е. на миоже- 1 1 стве (л( = —.
Если (г(= —, то 5 5' 1 1 1 ~а„з ( — „- — — = — и -+ 00. ф„-Б.1.— 1 „з(1+ ~ )й пз' Отсюда видно, что данный ряд сходится и притом абсолютво 1 во всех точках окружиостя ~л( = —. Таким образом, миоже- 5 ство М сходимосги данного ряда является замыканием его 1\ круга сходямосги: М = л: (з( < — у. 5)' Заметим, что в данном примере можно было вычислить В и по формуле (2), ио зто вычисление технически сложнее.
Пример 3. Найти радиус сходимости н мпоже<тво схо. (1 $)и е димости ряда э х-~ и (3 + ( 1) ) Решении, Имеем: 1а„] =, . Здегь последо- (3+ (-1)") ]а„) вательиость не имеет предела (проверьте!), поэтому )оп+! если в предыдущем примере выбор формулы (1) для вычисления й был сделан иэ соображений удобства, то в данном примере формула (2) про<ого не применима. Так как 2 „~ — 2 — < Я]п„] < — —, то )ш! ~(]п„) = 2 и, следователь- 1 1 но, радиус гходимогти данного ряда Й = —. Если Ц = —,, то 2 2' ) = = -(соя у+ ! е!и э~), у б [0,2я) и 2 (! — ~-'!) (соя!э В !'е!и у!)" (3+ (-1)") [(соя -".- — ! е!и -".;) (соя 1е+ !е!п !д)] и (3+ (-1)") [гол(Ж э) + !яп! (у! зН и (3+ (-1)") и по формуле Муавра получаем, что сое [и (!е — 3)] + ! Б!и [и (1э — -)] п(3+ ( — 1)") Таким образом, исследование сходимости данного ряда на окружности круга сходимости состоит в исследовании сходисов [и (1г — -')] еьа [и (!е — -")] "" " " " -, и (3+ ( 1).
" Е (3+ ( именно, если для !э! б [0,2я) оба эти ряда сходятся, то ряд 1 а„г" сходится при г =- — (соя!е! + зеив !л!), если для уэ 6 2 и=! (0,2я) хотн бы один иэ этих рядов расходится, то ряд 1 а„в" расходится при л = —,(сове!з+ ! в>п !ез). 2 и=! Ряд сов [и (~а — "-)] ~ г !(1 1 ( 1)е) (3) представим как сумму двух рядов 00 О, т=2п — 1, Ьм сов [!и (!в — — )1 Ь1в = 1 т=! 4п! 1 с,„сов [и! (!е — — ) ~, с,„= и! т=! О, т=2п. [/ (2|* — — )] О зя Е [(29 — 1) (У вЂ” ТН < Х сов [т [У вЂ” — 3) ] + в=! «~= ! гвю! в силу признака Днрихле следует сходимость рядов А н В я 4в для 1в ф — и !в ф — (мы рассматриваем только !л б [О, 2х)).
3 3 105 сов [д (2!е — 2з-")] Отсюда видно, что если оба ряда А ~ з и 8!! СЮ % р=! о!в [(24 1) (В! з)] В: ~~! ' з сходятся, то сходится и ряд (3), 2в — 1 в=! если один из этих рядов сходится, а второй расходится,то расходится ряд (3), а если расходятся оба эти ряда, то вопрос о сходимости ряда (3) остается открытым. Из соотношений: х 4я При у! = — и !л = — ряды А н В становятся расходящимися 3 3 рядамн: 4я ! 1 !л= —, А: ~~! —, В: 3' 8' ' 2 — 1' 4 Ч поэтому при этих значеннях у! рассматриваем непосредственно ряд (3).
Если у! = —, то ряд (3) принимает вид 3' 1 и(3+ (-1)") 1 1 и неравенство > — показывает, что этот ряд 4я расходится. Если у! = —, то ряд (3) принимает вид 3 ' Поскольку члены этого ряда стремятся к нулю при и -+ оо, то его сходимость эквивалентна сходимости ряда ~ (2(2 — 1) ! ) 1 1 1 (см. стр. 18). Неравенство — — > — показыва- 2(2и! — 1) 8юи 8и! ет расходимость этого ряда и, следовательно, расходимость ряда (3). (у-зи !! Итак, ряд 1! з сходится при!лб(0,2я), рф —, и (3+ ( — 1)" ) 3' 4я и 4и !о ф —, и расходится при у! = — и у = —. Совершенно ана- 3 ' 3 3 яш [и (!е — -")[ логично доказывается, что ряд у ' сходится и (3+ ( — 1)") гг 4л 4л при р 6 [О, 2гг), чг ф —, ог ф —, в точках же чг = — н оо =.— 3' 3' 3 3 все члены этого ряда равны нулю.
Окончательно получаем, ОЭ 1 что ряд ~ а«х«сходится во всех точках окружности [г] =— 2 1+ ч% -1 — ч/Зг' кроме двух: гг —— 4 н гз = . '1'аким образом, 4 множеством М сходнмости данного ряда является множество М, г: [г[(-, гф 1+,/З' — 1 —,/З' 2' 4 ' 4 , зф !'яд вида ~~г а„[у(г)] называют обобгпенным степенным «=о рядом. Множеством сходимостн такого ряда лвляется множество М = (% /(х) 6 Е», где Е .— множество еходимости ряда ~~г а«!".
=о Пример 4. Найти множество сходимости ряда (х+ г)" [(5 + 6 ( — 1)")" (х — г)]" г+г Решение. Положим ! = — и найдем множество сходи- 2 — г то !ии Ца„[= !ип = 1 «->ег« ~-«+о~ 6+ 5 ( — 1)« 1 и, следовательно, Я= 1. Если ]1]= 1,то [а„1"]= [6 ! 5 ( !)«]« ! и так как 1ип = 1, то последовательность «- +г« [6 + 5 ( — 1)"]" ]а„!"] не является бесконечно малой, Следовательно, в силу необходимого признака ряд ~~г а„!" расходится во всех ««о точках окружности ]1] = 1. Итак, множество Е сходнмо- 107 ОО !и гти ряда 7 — „совпадает с его кругом сходи- (б -1- б ( — !)")" мости: Е = (1: (!) < 1). Множе<твом сходимости ряда (г+ <)" „является множество ,~-~ [(5 ь б ( 1)а) ( )]" т.
е. множество тех комплексных чисел г, для которых расгтоание до точки ! больше расстояния до точки — < (см. рис. 1) Рис. 1 Таким множеством является комплексная полуплоскость, ле>жащая ниже действительной оси: М = (х: э = а+ 6<! а Е !И, Ь Е К, Ь ( О) Вопрос о своиствах суммы <.тепенного ряда имеет смысл, если эта сумма определена более, чем в одной точке. т, е. если радиус сходимости этого ряда не равен нулю, 1-1е углубляясь в теорию дифференцирования н интегрирования функций и<омплексного переменного, эаметим только, что проиэводьчой степенной функции г", и Е И, является функция пэ" ((производная / ("е) функции комплексного переменного у(э) <определяется ках производная функции действительного пе- ременного равенством ( , У(ОО + !1 е) — У(ОО) У (ОО) = !!т Ьа-+О Ье при условии, что этот предел существует), и, соответственно, первообрезной степенной функции г", и Е И, является функ«+! ция .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
