И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Определение. Бесконечное произведение Д р„называют=! ется сходящимся, если последовательность Р„имеет предел, отличный от нуля, в противном случае это произведение называется расходящимся. Если 11ш Р„= О, то говорят, что ОЭ п-~он произведение Д р„расходится к нулю. Если бесконечное и=1 произведение сходится, то число Р = йп Р„называют знае -~сю чением этого произведения и пишут. Р = Ц р„. и-..) Пример 1. Рагсм ггрнм бесконечное произведение й( -„—,„",— „) Так как б (и — 2)(п + 3) п(п + 1) п(п + 1) 1.6 2.7 п(п+ 5) то Р„= — — .
— —, откуда получаем, что 3.4 45 (и+ 2)(п+ 3)' 123 и 67. (и+5) 3 4 5. (и+ 2) 4 5 (и+ 3) ! 2(п+4)(п+ 5) 1 (и+4)(п+5) (и+1)(и+2) 45 10(я+1)(и+2) 1 Иэ полученного равенства видим, что 1пп Р„= —, т е. п- ° со рб данное бесконечное произведение сходится и 4= =й(-,'„,) Для нахождения 1пп Р„поступим следуюьцим образом. Ме- 1-ьоо тодом математической индукции проверяется, что (ги — ц!! гг — т = 2/г, )г ~ И, т!! 2' гйп яь!я = о (т — ц!! т=2я — 1, яЕИ. т!! Из этого равенства и неравенства Пример 2. Рассмотрим бесконечное произведение 4из П, . Имеем: 4из — 1 и=ь 2 (2 4 6 2п)з 1 (2и)!! 1 ! 1 3 3.5 .
(2и — Ц(2п+ Ц ),(2п — Ц1!~ 2п+ 1 .ь., ! .;.'" . ь., ! .;.'.- .ь., . 6 я, о о о получаем следующие соотношения: (2и)!! (2и — ЦВ я (2и — 2)!! .—,« (2 +Ц1! (2и)В '2 (2 — ЦВ' с (2и)и '(з ! я (г (2 )и ') з ! (2п — Ц!! / 2и+ ! 2 (,(2и — Ц!!/ 2и' ~ ~? ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ и (2и)!! ') 1 ( (2и)!! ') ! (2и — ц!!/ 2п ! (2и — ц!1,) 2и + ! 1 ( (2и)!! 1 ! я < —.
2и ~,(2гь — Ц1!/ 2и+ ! 4и ( (2и)!! ьь ! я. Отсюда следует, что 1пп „у! — —, т, е. ь,(г — ц!!) г +! г' 2 — = П ..'!то равенство называется формулойвВал- 2 лл 4гьь — ! « =! лиса. Из формулы Валлиса можно получить следующие равенства: н=ь лэ! 33 (, (2 + !)з / 33 (2н + 1)з 4 ' Действительно, для первого бесконечного произведения имеем: р!1) П 4=т Ли! и, следовательно, 1пп Р!') = 1 2 Для второго бесконечного произведения имеем: 4 2 6.4 ..
(2«+ 2).2п 3 3 5 5. (2п+ 1)(2п+ 1) 2 [4 4 6 6 (2я — 2) 2п 2п] (2п + 2) [35 . (2п+ 1)] 2п+ 2 ( (2п)!! ') 1 2(2п+ 1) (,(2п — 1)!!) 2п+ 1' и, следовательно, 1 . (( (2п))! 1 1 ~ 1г «лоо «2 ил«о ! ') (2п — 1)!!/ 2п+ 1/ 4 Пример 3. Рассмотрим бесконечное произведение П е , . Используя равенство , !+ „-'' 1 1 1 !+ —,+ — + + — =!оп+С +о(1), п-~со, 2 3 п где С, — постоянная Эйлера, получим, что 1+ 1+ +5 Ь п+С,+о!1) Ри — ' — — еС' — (! + о(1)), (и+1)! п+1 и+1 Следовательно, 1пп Ри = ес .
«лоо 61 Отбросив в бесконечном произведении Пр» первые и! чле- »=1 нов, получаем остаточное произведение П р». »=г».~.! Если произведение П р„сходится, то сходится и любое »=!»~ остаточное произведение П р»; обратно, иэ сходнмостн »=~»+! »» любого иэ остаточных произведений П р» и условия рь 110, »=т+1»» 1 < й < и!, следует сходимость произведения П р». Лругими »=! словами, отбрасывание или присоединение в начале бесконечного произведения конечного числа множителей, отличных от нуля, не влияет на его сходимость.
Прежде чем формулировать основные свойства бесконечных произведений, заметим, что из сходимости бесконечного произведения следует, что, начиная с некоторого номера, его сомножители не должны менять знака. Поэтому в дальней- и!ем будем всегда предполагать, что все числа р„положительны. ОО Утиерзкдеиже. Если бесконечное произведение П р„ СЮ »=! сходится, то 1пп П р» = 1.
т-+со »»и+! Следствие. (Необходимое условие сходвмостж бесконечного произведения.) Если бесконечное произведение П р» сходится,то !пп р» = 1. »-»о» »»! Пример 4. Рассмотрим бесконечное произведение П и+1 и+1 . 9+1 , Здесь р» = — и 1пп р» = 1; Р» = П вЂ” = и ' ' ' " и»-~со »»1 ч=! = и+ 1 и 1пп Р» .= +со, т. е. данное бесконечное произведе»-»но ние расходится. Таким образом, условие 1пп р» = 1 является необходи- мым, но не достаточным условием сходимости произведения ФЮ пп Ц рп (сравните с условием ап -! 0 для ряда ~~! ап), п«1 ««! Основным утверждением в теории бесконечных произведений является С« Теорема.
Сходимость бесконечного произведения Ц рп, СЮ ««! рп > О, эквивалентна сходимости ряда ~«!прп. При этом, СЮ 00 »«! если ~~! 1прп = 5, то Ц рп = е ««1 и«! Пример $. Исследовать сходимость бесконечного проиэ- 1 ! ведения Ц ~1+ — ). и*) ««! У 1! ! Решение. Так как 1п ~1+ — ) — при х > О, и -+ оо, и и 1 1 то ряд у !и ~1+ — ), соответствуюп!ий данному произвея*) ««1 дению, сходится при х > 1 и расходится при 0 < х < 1. Если 1 '! же х < О, то рп = 1+ — ) не стремится к 1 при и -+ оо.
Пп) .«я ° д(~-'; — ) д р *~1 пп) ««! и расходятся при х < 1. Пример 6. Исследовать сходимость бесконечного произ- ОЭ ведения Ц(1 + е и). ««О Решение. Если а > О, то рп = 1+е'!" '! не стремится к 1 при а ~ со, следовательно, данное произведение расходится. Пусть а<0. Тогда!п(1+е'и) е !'!",п-~оо,иряд"! е !'!и с««=0 сходится, откуда следует сходимость ряда ~~! !и(1+ е'и) и, п«0 следовательно, сходвмость произведения Ц(1+ е'и). и 0 Как видно нз этих примеров, при исследовании сходи- мости бесконечного произведения П рп удобно представить и=! м о сомножители р„в виде рп = 1 + оп. Тогда произведение и соответствующий ему ряд принимают вид П(! + ап), и пп! ~1п(! + оп) и Условие Є— 1 1, и -1 оо, эквивалентно Уело«=1 вню оп -ч О, и -+ со.
Если оп -+ О, и -+ оо, то )п(1 + ап) = о„ г 2 = о„— —,™ + о(о„"), и -е оо. Применяя основную теорему, получим следующие утверждения: 1. Если рп = ! + ап и последовательность ап локально сохраняет знак, то сходимость произведения П рп зквиваОп пп! ЛЕНтиа СХОДНМОСтн РЯДа ~~! ап. и-1 00 ОЭ 11. Если рп = 1+ ап и оба ряда ~ ап н ~ ~аг сходятся, С Э п«1 п=1 то произведение П р„ сходится. «=1 Заметим, что если ряд ~ ап сходится абсолютно, то ряд СЮ «и! о;, сходится (см.
задачу 25, стр. 317), п«1 1!1. Если один иэ рядов ~ а„и ~ аг сходится, а второй и=! «и! расходится, то произведение П рп расходится. «=! Пример 7. Исследовать сходимость бесконечного уроиэтт пз+4п+ 8 ведения ц „з+! из+ 4п+ 8 4п+7 Решение. Так как О ( — 1 = —, и б 1Ч, и из+1 из+! 4п+7 4 4п+ 7 пз+ ! п2' —, и -+оз,торяд Ъ из+1 сходится и, следова«=1 тт из+ 4«+8 тельно, сходится произведение ! ! аз+ 1 ««1 Пример 9. Исследовать сходвмость бесконечного произ- 1 -- П-,г ,!'и ««1 1 1 1 Решение. Так как сов — — 1 < О, и Е 1Ч, и 1 — савв !/и ' ' 1/й 2« ' 1 и -+ оо, то ряд у ~сов — — 1 расходится и, следователь- 1 но, расходится произведение П сов — . !/й Пример 9.
Исследовать сходимость бесконечного произ--- п ("'"'") и+В!Пи Решение. Здесь последовательность о« = — 1= и в!и и = — не сохраняет локально знака, позтому необходимо п ОО ОЭ . ОО 0« и и 81П П П-и З К-и 81П П рассмотреть оба ряда: ~~! а« = ~ — и ~ а« = ~ "-2 „2 -2 п«1 ««1 п«1 ««1 Так как первый ряд сходится в силу признака Дирихле, а второй — в силу теоремы сравнения, то произведение й("— '")- Пример 10. Исследовать сходимость бесконечного про- / ! 1)«+1 '! изведения П ~1+ ).
1/« п«1 Решение. Так же как н в предыдущем примере, необхо- ( 1)п+1 димо рассмотреть оба ряда: ~~! и ~~! —. Первый ,/й п ««1 ««1 ряд сходится в силу признака Лейбница, а второй — гармонический ряд — расход1ггся. Следовательно, произведение / ! ц«+1 ~! П ~1+ ) расходится. !/й ««1 Првмер 11. Исследовать сходнмость бесконечного про- / [ 1)11«а«п]'1 взведения П ~1+ ). и ««! 2 О!-1 1 2 1 -) —, и 2'"+' 2 п«2 [ 1)1 ох« «! ««2 В силу произвольности т Е И полученное неравенство по- [ 1)11«е! «1 казывает расходимость ряда 7 н, следовательно, и п«1 / [ 1)[1оя «] ! расходимость произведения П ~! + ).
и п«1 Пример 12. Исследовать сходимость бесконечного произведения Ц ап, где ««1 ез -! = 1+ — ), нгм = ~] — — + — ), тбИ. /=)' =~ Л т) Решение. В этом случае 1 а« = ૠ— 1 = т ~/т' и = 2т — 1, тЕИ и = 2т, и оба ряда ~ а« и ~~! аз расходятся, поэтому ни одно из п«1 п«1 вышеприведенных утверждений не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости данного произведения. Рас- Решение. Опять необходимо рассмотреть два ряда; ( 1)[1ох«п] н 7 †.
Второй ряд сходится. Такнл! обраи '-~ «1 ««1 ««1 зом, сходимость данного произведения эквивалентна сходи- [ ! )[1«лд и! мости ряда 7 . Покажем, что он расходится. поль- и п«1 зуясь критерием Коши. Так как ~[обе и] сохраняет знак, если 2~ < и < 2~+', т Е И, то смотрим непосредственно последовательность Р» = Дар. Соотношения ч»! =й( — ',)(--', —,')=й( — „'.,) 1 Р2»+! = Рз» 1 + !/и+ 1/ показывают, что сходимость последовательности Р» эквивалентна сходимости последовательности Р» = ! ! ~1+ — ), - Ц~,л)' 1 т. е. произведения ! ! ~1+ — !.
Так как ряд у тп /т) 3И~/ПЪ 1 '] сходится. то и произведение Д ~1+ — ~1, и, следоваоэ пъ» ! тельно, произведение Д а» сходятся. »»! ОО Теорема. Бесконечное произведение Д р», р» ) О, расхо»»! дится к нулю тогда и только тогда, когда 1пп У 1и р» = — оо. »»! Следствие. Бесконечное произведение Д11+ю»), а» ) — 1. »»! и Е 1!1, расходится к нулю, если 1. 1ппа»=О,— 1<а„<О,пЕИ,вряд~ а»расхо»-»»о »»! дится; 2. ряд ~ а» сходится, а ряд ~~ а» расходится.
ч г »»! »»! Пример 13. Исследовать сходимость бесконечного протт 2п+ 2 изведения ц— л»л 2п+ 3' 2п+ 2 — 1 Решевме. В этом случае а» = — — 1 = — < О, 2п+3 2п+3 67 О«с« 1пп а« = 0 н ряд ~~! а« = — ~з — расходится. Следо- «0« 2п+3 ««! ««! вательно, данное произведение расходится к нулю. Точно так же расходятся к нулю и бесконечные произведения из примеров 8 н 10 (стр.
66). Определение. Бесконечное произведение П р«, р«> О, ОО «=1 сходится абсолютно, если ряд ~~ !пр«сходится абсолютно. «=! Бесконечное произведение П ра, р„ > О, сходится условно, СЮ ««! если ряд ~ 1п р„сходится условно. «=! Критерий абсолзотной сходимостм бесконечного произведения. Бесконечное произведение П р«, р«> О, ««! сходится абсолютно тогда и только тогда, когда абсолютно сходится ряд ~~! (р« — 1). «=! Пример 14.
Исследовать на абсолютную и условную схо- 1 димость бесконечное произведение П ~1+ -- (.+ о о>0. ««1 1 Решение. Так как > 0 для всех п Е !!1, то п«1п(п + 1) сходимость этого произведения может быть только абсолютная. Согласно критерию абсолютной сходимости, рассмо- 1 трим ряд ~ . Так как в силу интегрального прии"!п(п + 1) ««! знака этот ряд сходится (абсолютно) при а > 1 и расходйтся при 0 < о < 1, то и данное бесконечное произведение абсолютно сходится пр!и а > 1 и расходится при 0 < о < 1. Пример 15. Исследовать на абсолютную и условную схо- ( 1)«+! димость бесконечное произведение П ~1+ и !п(и+1)/ Решение. Так как ~ =, то дан(я» !п(п+ 1) и" !п(я+ 1) ' пое произведение сходится абсолютно одновременно с бесконечным произведением, рассмотренным в предыдущем при- ( 1)»+! мере,т.е. при а > 1.
Далее, ряд 7 сходится при я 1п(п+1) »»! 1 всех о > О в силу признакаЛейбница, а ряд 7 „, пг» 1п'(и + 1) ! 1 сходится при а > — и расходится при О < а < — в силу ивте- 2 2 грального признака. Итак, данное произведение абсолютно 1 сходится при о > 1, условно сходится прн — < а < 1 и расхо- 2 1 дится (к нулю) при О < а <;. 2 Рассмотрим некоторые приложения. д(Ф+1) (Ф+ ) !. Докажем, что !пп = О, если » а(о+1) (а+п) Ю+1). (Р+ ) О < Д < о. Действительно, выражение а(а+ !) ..(а+п) можно раг! матривать как частичное произведение Р„е! бестт (Д+ и) Ц+и конечного произведения П .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
