И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если «»1 1нп а« = О,то, пользуясь формулой Тейлора, можно полу«-т»т чить представление а«в виде суммы: С1 «С2,п Сь,» а = — '+ — '+ . + — '+т'»,, и» и»т и»т усьж1 / 1 где или гь „= и !1 — '), или г» „= О ~ — ~, и -т оо, н и« -- ~--"(' от < аз « ... оь < аь+1. Главная трудность здесь — исследование ряда ~ гь „. Практически примеяяется два способа: «»1 ('1 1. Если аь+1 > 1, то представление гь „= О ~— ! и«»+! т ' и -+ со, показывает, что ряд ~~т ть „сходятся абсолютно.
п«1 2. Если последовательность (са «) положительна, то ряд ~ ( — '+ге«) = ~~т ( — '+о( — ')) является рядом с «»1 пп! неотрицательными членами н, следовательно, сходится или ч ск,» расходится одновременно г рядом 1 и" ««! (-т!" \ Пример чб. Рассмотрим ряд ~~! 1/и (1 — е е ), д > О. «и! 1-1!" ! ! 1 Так как ~ /и (1 — е т ) ~, и -+ оо, то данный ряд и 2 1 1 расходится при а < —, поскольку не выполнено необходимое 2' 3 условие сходимости, и абсолютно сходится при а > — в силу 2 признака сравнения.
Используя формулу Тейлора, получаем, что 4 > О, п -+ со. ( — 1)" +' 1 Ряд Ъ, 4 > —, сходится в силу признака Лейбница. в-$ в=! 1 / 1 3 Ряд ! ~, +о1 — ! 1, и-+со, сходится при д >— ~ Ь- -' ~" -!П' 4 3 и расходится при 4 < — в силу признака сравнения. Объ- 4 единяя все сказанное, получаем, что данный ряд расходится 3 3 3. при О < д < —, сходится условно при — < 4 < — и сходится 4' 4 2 3 абсолютно при 4 > —. 2 в!и и Пример 47.
Рассмотрим ряд у ., д > О. Про2пв + в!и и ' «=! сйпп ! 1 стейшая оценка - . ~ <, показывает, что при 2о'! + в!и и ~ 2пв — 1 д > 1 данный ряд сходится абсолютно в силу признака сравнения. Для д Е (О, 1] начнем с исследования сходимости. Используя формулу Тейлора, получаем, что -! в!Пп в!пи ( в!Пп1 — 1+— 2пв + в!в и 2нв 1, 2яв / — 1 — — +о 3 ьйпп сйп и /в!и я'! — — — +о1 — „!, и -! ос.
2пч 4пзв 1, пзв ое— е- в!о и Ряд у —, д > О, сходится в силу признака Дирихле. Ряд ~-~ 2нв ' и=! Е~ /в!п~ п /в!и' и '! '! + о ~ — ! !, и — ! оо, сходится или расходится 1,4язв ), язв (/ «п! в!и п 1 !а«~ ~> (1 — сое 2п) 2ие -! сйп и 4пе -! 2е!и и так же, как и выше, получим, что ряд ) (а„) расходится «=1 при О < д < 1. Объединяя все сказанное, получаем, что дап- 1 ный ряд расходится при О < 4 < .—, сходится условно при 1 2' 2 — < 4 < 1 и сходится абсолютно при д > 1 / ( !)«ч!'! Пример 48. Рассмотрим ряд ~~! в!и и 1п ( 1+ ) . «=1 Простейшая оценка вши 1п 1+ —.) ~ < — не дает / (-1)" +' 1 -ф"--....-".....
~ .... „( ° ) ~. «=! Используя формулу Тейлора, получаем, что — — +Π—, и-+со. а« =в!пп.!п 1+ /(-!)«+1 = в!пи.1 ,/й ( — 1)"+' в!п п Так как (-1)" ьйп и = ьйп(1+я)п, то оба ряда ~ ,/й ч сдп п,, сбп и ! одновременно с рядом ~ . Так как 4пзе 4изч 3тР> ««1 сов 2п сое 2п и ряд ~ — при 4 > О сходится в силу признака Визе яизе ««! 1 Дврнхле, а ряд У вЂ” сходится тогда л только тогда, когда ~-~ 8пзе «=! 1 /в!и п /ы!и и'!'~ д > —,топ ряд 1 ! +о —,, п-+оо,сходитгя 2' ~-~ ~, 4изе (, иее )) ««! 1 1 при у > — и расходится при О < 4 < —.
Используя соотноше. 2 2 и!пи и ху — сходятся в силУ признака Дирихле. Ряд ~ би, где 2п ии! ии1 /1( !!и = О ( — ) сходится в силу призхака сравнения. Следова) я!в и( тельно, данный ряд сходится. Далее, (аи ), и -+ оо, и ~/и ) аш и) я1пз и 1 сол'2п х сое 2п — Ъ = = —, — '!'ак как ряд ~ схоии1 и ! дится в силу признака Дирихле, а ряд ~~ ( — расходится в ~; г„н! силу признака сравнения, то ряд ~ ~(а„) расходится.
Итак, ии! данный ряд сходится условно. ( !)! /(() Пример 49. Рас! мотрим ряд 7 — — !1о< кольку и'! и и! ( 1)!'=) пе пе то данный ряд сходится абсолютно при !( > ! в силу признака сравнения и расходится при 4 < О,тик как пе выполнено необходимое условие сходимости. 1!усгь 5 б ((1, !]. Члены ( 1)(Л последовательности (аи), аи =, меняют знак тогда, когда номер и переходит от значения т — 1 к значез нию п1~, пз б 1'(. Отсюда можно вывести, что последователь- и ность В„= ~ ( — !)1"и") неограничена. по поскольку зтот пз=! факт ничего не дает в решении вопроса о сходимости данного ряда, не будем проводить его доказательство.
Воспользуемся следствием 2 утверждения о группировке членов ряда (см. стр. 16). Если (я+1!'-! ( Ь/Ч (л+!Р-1 ииьи ииы 53 то в силу этого следствия ряд ~~р А» сходится или расходится »«1 одновременно с данным рядом. Из неравенств (»+1) Р-1 2й+1 2 )Р 1 [ < = — +О~ — у), я-+со, (й2 ! /,)2 й22-1 ~ /,22( ' 2 )Р1 следует, что А» = ( — 1) — +[р», где Ь» = О ( — ~, й -» оо. йэд-1 [ й"! «р, р рР(Р.-)РА2 А Р '*А '2) »=1 скольку не выполнено необходимое условие сходимости. Если /! ! же д б ( -, 1~, то ряд у 6» сходится в силу следствия 1 из ),2' ~' »=1 рр 9 » теоремы сравнения, а ряд 2 ( — !) — „— сходится в силу при)р22-1 »«1 /! знака Лейбница.
Итак, ряд 2 А» сходится при р) к ~-,1 н 1р=! !1 расходится при р) б О, -~. Объединяя все сказанное, полу- '4 ( 1)[« 1 чаем, что ряд 2 расходится при ) < —, сходится пч 2' ««1 /1 условно прн е б ~ —,, 1 и сходится абсолютно при д > 1. ;Заметим, что нэ полученного вывода о поведении ряда " ( !)[л 5 следует, что последовательность В„=~~р (- !)!'УР«З пч «=1 р« — 1 неограничена, нбо в противном Амучас в силу признака Дирнхле этот ряд сходился бы при р) ) О. Произведение рядов Пусть даны два ряда ~~! а„и ~ 6 . Рассмотрим все та! возможные пары произведений (аа Ь ), и б !"'!, и! б !"!, т. е.
бесконечную матрицу: а!Ь! азб! азЬ! ' ' ' ааЬ! а!Ьз азбз азЬз " аабз а,Ь„, азб,„ азб,„ .. а„Ь,„ Занумеровать члены этой матрицы можно многими способами; таким образом получим множество рядов, составленных вэ этих чисел, например: А!! а!Ь|+азб|+азбз+а!Ьз+азб!+азбз+азбз+азбз+а!Ьз+. нлн А! . 'а!Ь! + а!ба + азб! + азЬ! + азбз + а!Ьз+ Каждый такой ряд называется произведением рядов ~! а„и Ь т=! Если один из рядов А!, Аз,... сходится абсолютно, то н все остальные также сходятся абсолютно и суммы всех таких рядов равны. Таким образом, в случае абсолютной сходимости полученного ряда значение произведения рядов ~~! а„и СО па! у 6 определено однозначно, хотя представляется зто проа!а! изведение различными рядами. <Ю О! Теорема Коши.
Если каждый из рядов ~~! а„и ~ б аа! а!а! сходится абсоюотно к А и В соответственно, то произведение этих рядов сходится абсолютно к АВ. Если члены матрицы (3] н< обраэукю абголкп но сходящегося ряда, то и сходимость, н величина н<и<ученного из нее рида зависят от способа нумерации этих членов. Одним из распространенных методов рассмотрения произв<!денни ря. дов является его пр<дставление в форме Коши. СЮ « Опредсшеиие.
Пусть даны два ряда ) а„и ~~< 6„,. Ряд < Э «=! «<=1 Е г„, где с„= а<6„+ аз6„. ! +... + а„Ь! называется произ«=! ведением этих рядов в форме Коши. В < илу теоремы Коши иэ абсолютной < ходимостн двух рядов следует и сходимость их произведения в форме Коши.
Как. показывает гледуюгцая теорема, произведение в форме Коши сходится и при более < лабых условиях на сомножители. Теорема Мертепса. Е<ли нз двух сходящихся рядов Е- а„и ~ 6 хотя бы один сходится абсолютно, то их прои=! п<= ! изведение в форме Коши сходится н <ч о сумма равна произведению сумм сомножителей. ! с--' и< Пример. Оба рида ~ н ~ — сходятся абсо, н(п + 1), 2™' лютно, первый -- к 1, второй — к 2 (< м. стр. 8).
Следовательно, их произведение абсолютно сходится к 2. Записывая это произведение в форме Коши, получаем равенство оо « и — <1 Е Е,(,„)2.-ч Пример. Оба ряда < — < ( ) 1 < < () (2" .< —,) расходятся. В то же время ряд ~~< с„сходится абсолютно, пп! так как г„= — 2" '+— яе-2 а 2+ — 2 — — 1+- — + — ( Таким образом, теорема Коши дает только достаточное, но не необходимое условие абсолютной сходимостн произведения рядов в форме Коши. Точно так же и теорема Мертенса дает только достаточное, но не необходимое условие сходимостя произведения рядов в форме Коши даже при условия сходимостя каждого яэ сомножителей. Пример.
Рассмотрим произведение неабсолютно сходя- ( 1) е+! щегося ряда Ъ на себя. В этом случае ,/й а=1 1 1 1 и „вЂ” —.— [ ц.. % -~-.- ~ мых в сумме равно п, то )с„) > 1 и, следовательно, ряд ~ с„ л=! расходится. Пример. Рассмотрим произведение иеабсолютно сходя- Р ( 1) щегося ряда ~ на себя.
В этом случае в е=1 57 1 1 1 11 .=(-!)и' - +, + + + +-1= е 1.п 2(п — 1) е(п. !1+1) и) ', (, д = (- ! —,', ~и -' = л«! ( 1)и+! (" умма ряда 7 равна 1п 2 (< м. стр. 22) Теорема я «=1 Мертенса не применима к произведению !) + . х ( '1) + и ~-' и ««! «=! Равенство ~~! с« = 1п 2, где си = з и«1 навлнвается следующей теоремой: 2 ( — 1)и ~ —, уста- п+! ~1 !«1 си ряда ~ аи «=! Коши ~~ си ~«! н ~~~ е,«схо.
Теорема Абеля. Если оба ио«! и их произведение в форме 00 дятся сходится, то си аи. ~~~ Ь и. «=! ««1 = ( — 1)и — (!пи+(;, +о(1)) . 2 и+1 Полученное соотношение показывает. что !!нп )с«) = О. и.«с« 2 ! / 2 Так как )си( ) и )си+!) = (с«) + ( — )с«) и+1 и+2 и+2 то последовательность )с„) монотонна. Таким образом, в силу признака .Лейбница ряд ~~! си, т. е. произведенн«ряда Е ( 1)и+! на себя в форме Коши, сходится. и и«! 5 3. ВКСКОНЕЧНЫЕ ПРОКВКДКНИЯ Определение. Пусть дана числовая последовательность (р„). Символ р~ рэ рз ... р„... называют бесконечным про- ОЭ и изведением и обозначают Д р„. Число Р„= Яре называе=! ч=~ ется и-ым частичным произведением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
