Главная » Просмотр файлов » И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье

И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 7

Файл №1111811 И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье) 7 страницаИ.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811) страница 72019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если «»1 1нп а« = О,то, пользуясь формулой Тейлора, можно полу«-т»т чить представление а«в виде суммы: С1 «С2,п Сь,» а = — '+ — '+ . + — '+т'»,, и» и»т и»т усьж1 / 1 где или гь „= и !1 — '), или г» „= О ~ — ~, и -т оо, н и« -- ~--"(' от < аз « ... оь < аь+1. Главная трудность здесь — исследование ряда ~ гь „. Практически примеяяется два способа: «»1 ('1 1. Если аь+1 > 1, то представление гь „= О ~— ! и«»+! т ' и -+ со, показывает, что ряд ~~т ть „сходятся абсолютно.

п«1 2. Если последовательность (са «) положительна, то ряд ~ ( — '+ге«) = ~~т ( — '+о( — ')) является рядом с «»1 пп! неотрицательными членами н, следовательно, сходится или ч ск,» расходится одновременно г рядом 1 и" ««! (-т!" \ Пример чб. Рассмотрим ряд ~~! 1/и (1 — е е ), д > О. «и! 1-1!" ! ! 1 Так как ~ /и (1 — е т ) ~, и -+ оо, то данный ряд и 2 1 1 расходится при а < —, поскольку не выполнено необходимое 2' 3 условие сходимости, и абсолютно сходится при а > — в силу 2 признака сравнения.

Используя формулу Тейлора, получаем, что 4 > О, п -+ со. ( — 1)" +' 1 Ряд Ъ, 4 > —, сходится в силу признака Лейбница. в-$ в=! 1 / 1 3 Ряд ! ~, +о1 — ! 1, и-+со, сходится при д >— ~ Ь- -' ~" -!П' 4 3 и расходится при 4 < — в силу признака сравнения. Объ- 4 единяя все сказанное, получаем, что данный ряд расходится 3 3 3. при О < д < —, сходится условно при — < 4 < — и сходится 4' 4 2 3 абсолютно при 4 > —. 2 в!и и Пример 47.

Рассмотрим ряд у ., д > О. Про2пв + в!и и ' «=! сйпп ! 1 стейшая оценка - . ~ <, показывает, что при 2о'! + в!и и ~ 2пв — 1 д > 1 данный ряд сходится абсолютно в силу признака сравнения. Для д Е (О, 1] начнем с исследования сходимости. Используя формулу Тейлора, получаем, что -! в!Пп в!пи ( в!Пп1 — 1+— 2пв + в!в и 2нв 1, 2яв / — 1 — — +о 3 ьйпп сйп и /в!и я'! — — — +о1 — „!, и -! ос.

2пч 4пзв 1, пзв ое— е- в!о и Ряд у —, д > О, сходится в силу признака Дирихле. Ряд ~-~ 2нв ' и=! Е~ /в!п~ п /в!и' и '! '! + о ~ — ! !, и — ! оо, сходится или расходится 1,4язв ), язв (/ «п! в!и п 1 !а«~ ~> (1 — сое 2п) 2ие -! сйп и 4пе -! 2е!и и так же, как и выше, получим, что ряд ) (а„) расходится «=1 при О < д < 1. Объединяя все сказанное, получаем, что дап- 1 ный ряд расходится при О < 4 < .—, сходится условно при 1 2' 2 — < 4 < 1 и сходится абсолютно при д > 1 / ( !)«ч!'! Пример 48. Рассмотрим ряд ~~! в!и и 1п ( 1+ ) . «=1 Простейшая оценка вши 1п 1+ —.) ~ < — не дает / (-1)" +' 1 -ф"--....-".....

~ .... „( ° ) ~. «=! Используя формулу Тейлора, получаем, что — — +Π—, и-+со. а« =в!пп.!п 1+ /(-!)«+1 = в!пи.1 ,/й ( — 1)"+' в!п п Так как (-1)" ьйп и = ьйп(1+я)п, то оба ряда ~ ,/й ч сдп п,, сбп и ! одновременно с рядом ~ . Так как 4пзе 4изч 3тР> ««1 сов 2п сое 2п и ряд ~ — при 4 > О сходится в силу признака Визе яизе ««! 1 Дврнхле, а ряд У вЂ” сходится тогда л только тогда, когда ~-~ 8пзе «=! 1 /в!и п /ы!и и'!'~ д > —,топ ряд 1 ! +о —,, п-+оо,сходитгя 2' ~-~ ~, 4изе (, иее )) ««! 1 1 при у > — и расходится при О < 4 < —.

Используя соотноше. 2 2 и!пи и ху — сходятся в силУ признака Дирихле. Ряд ~ би, где 2п ии! ии1 /1( !!и = О ( — ) сходится в силу призхака сравнения. Следова) я!в и( тельно, данный ряд сходится. Далее, (аи ), и -+ оо, и ~/и ) аш и) я1пз и 1 сол'2п х сое 2п — Ъ = = —, — '!'ак как ряд ~ схоии1 и ! дится в силу признака Дирихле, а ряд ~~ ( — расходится в ~; г„н! силу признака сравнения, то ряд ~ ~(а„) расходится.

Итак, ии! данный ряд сходится условно. ( !)! /(() Пример 49. Рас! мотрим ряд 7 — — !1о< кольку и'! и и! ( 1)!'=) пе пе то данный ряд сходится абсолютно при !( > ! в силу признака сравнения и расходится при 4 < О,тик как пе выполнено необходимое условие сходимости. 1!усгь 5 б ((1, !]. Члены ( 1)(Л последовательности (аи), аи =, меняют знак тогда, когда номер и переходит от значения т — 1 к значез нию п1~, пз б 1'(. Отсюда можно вывести, что последователь- и ность В„= ~ ( — !)1"и") неограничена. по поскольку зтот пз=! факт ничего не дает в решении вопроса о сходимости данного ряда, не будем проводить его доказательство.

Воспользуемся следствием 2 утверждения о группировке членов ряда (см. стр. 16). Если (я+1!'-! ( Ь/Ч (л+!Р-1 ииьи ииы 53 то в силу этого следствия ряд ~~р А» сходится или расходится »«1 одновременно с данным рядом. Из неравенств (»+1) Р-1 2й+1 2 )Р 1 [ < = — +О~ — у), я-+со, (й2 ! /,)2 й22-1 ~ /,22( ' 2 )Р1 следует, что А» = ( — 1) — +[р», где Ь» = О ( — ~, й -» оо. йэд-1 [ й"! «р, р рР(Р.-)РА2 А Р '*А '2) »=1 скольку не выполнено необходимое условие сходимости. Если /! ! же д б ( -, 1~, то ряд у 6» сходится в силу следствия 1 из ),2' ~' »=1 рр 9 » теоремы сравнения, а ряд 2 ( — !) — „— сходится в силу при)р22-1 »«1 /! знака Лейбница.

Итак, ряд 2 А» сходится при р) к ~-,1 н 1р=! !1 расходится при р) б О, -~. Объединяя все сказанное, полу- '4 ( 1)[« 1 чаем, что ряд 2 расходится при ) < —, сходится пч 2' ««1 /1 условно прн е б ~ —,, 1 и сходится абсолютно при д > 1. ;Заметим, что нэ полученного вывода о поведении ряда " ( !)[л 5 следует, что последовательность В„=~~р (- !)!'УР«З пч «=1 р« — 1 неограничена, нбо в противном Амучас в силу признака Дирнхле этот ряд сходился бы при р) ) О. Произведение рядов Пусть даны два ряда ~~! а„и ~ 6 . Рассмотрим все та! возможные пары произведений (аа Ь ), и б !"'!, и! б !"!, т. е.

бесконечную матрицу: а!Ь! азб! азЬ! ' ' ' ааЬ! а!Ьз азбз азЬз " аабз а,Ь„, азб,„ азб,„ .. а„Ь,„ Занумеровать члены этой матрицы можно многими способами; таким образом получим множество рядов, составленных вэ этих чисел, например: А!! а!Ь|+азб|+азбз+а!Ьз+азб!+азбз+азбз+азбз+а!Ьз+. нлн А! . 'а!Ь! + а!ба + азб! + азЬ! + азбз + а!Ьз+ Каждый такой ряд называется произведением рядов ~! а„и Ь т=! Если один из рядов А!, Аз,... сходится абсолютно, то н все остальные также сходятся абсолютно и суммы всех таких рядов равны. Таким образом, в случае абсолютной сходимости полученного ряда значение произведения рядов ~~! а„и СО па! у 6 определено однозначно, хотя представляется зто проа!а! изведение различными рядами. <Ю О! Теорема Коши.

Если каждый из рядов ~~! а„и ~ б аа! а!а! сходится абсоюотно к А и В соответственно, то произведение этих рядов сходится абсолютно к АВ. Если члены матрицы (3] н< обраэукю абголкп но сходящегося ряда, то и сходимость, н величина н<и<ученного из нее рида зависят от способа нумерации этих членов. Одним из распространенных методов рассмотрения произв<!денни ря. дов является его пр<дставление в форме Коши. СЮ « Опредсшеиие.

Пусть даны два ряда ) а„и ~~< 6„,. Ряд < Э «=! «<=1 Е г„, где с„= а<6„+ аз6„. ! +... + а„Ь! называется произ«=! ведением этих рядов в форме Коши. В < илу теоремы Коши иэ абсолютной < ходимостн двух рядов следует и сходимость их произведения в форме Коши.

Как. показывает гледуюгцая теорема, произведение в форме Коши сходится и при более < лабых условиях на сомножители. Теорема Мертепса. Е<ли нз двух сходящихся рядов Е- а„и ~ 6 хотя бы один сходится абсолютно, то их прои=! п<= ! изведение в форме Коши сходится н <ч о сумма равна произведению сумм сомножителей. ! с--' и< Пример. Оба рида ~ н ~ — сходятся абсо, н(п + 1), 2™' лютно, первый -- к 1, второй — к 2 (< м. стр. 8).

Следовательно, их произведение абсолютно сходится к 2. Записывая это произведение в форме Коши, получаем равенство оо « и — <1 Е Е,(,„)2.-ч Пример. Оба ряда < — < ( ) 1 < < () (2" .< —,) расходятся. В то же время ряд ~~< с„сходится абсолютно, пп! так как г„= — 2" '+— яе-2 а 2+ — 2 — — 1+- — + — ( Таким образом, теорема Коши дает только достаточное, но не необходимое условие абсолютной сходимостн произведения рядов в форме Коши. Точно так же и теорема Мертенса дает только достаточное, но не необходимое условие сходимостя произведения рядов в форме Коши даже при условия сходимостя каждого яэ сомножителей. Пример.

Рассмотрим произведение неабсолютно сходя- ( 1) е+! щегося ряда Ъ на себя. В этом случае ,/й а=1 1 1 1 и „вЂ” —.— [ ц.. % -~-.- ~ мых в сумме равно п, то )с„) > 1 и, следовательно, ряд ~ с„ л=! расходится. Пример. Рассмотрим произведение иеабсолютно сходя- Р ( 1) щегося ряда ~ на себя.

В этом случае в е=1 57 1 1 1 11 .=(-!)и' - +, + + + +-1= е 1.п 2(п — 1) е(п. !1+1) и) ', (, д = (- ! —,', ~и -' = л«! ( 1)и+! (" умма ряда 7 равна 1п 2 (< м. стр. 22) Теорема я «=1 Мертенса не применима к произведению !) + . х ( '1) + и ~-' и ««! «=! Равенство ~~! с« = 1п 2, где си = з и«1 навлнвается следующей теоремой: 2 ( — 1)и ~ —, уста- п+! ~1 !«1 си ряда ~ аи «=! Коши ~~ си ~«! н ~~~ е,«схо.

Теорема Абеля. Если оба ио«! и их произведение в форме 00 дятся сходится, то си аи. ~~~ Ь и. «=! ««1 = ( — 1)и — (!пи+(;, +о(1)) . 2 и+1 Полученное соотношение показывает. что !!нп )с«) = О. и.«с« 2 ! / 2 Так как )си( ) и )си+!) = (с«) + ( — )с«) и+1 и+2 и+2 то последовательность )с„) монотонна. Таким образом, в силу признака .Лейбница ряд ~~! си, т. е. произведенн«ряда Е ( 1)и+! на себя в форме Коши, сходится. и и«! 5 3. ВКСКОНЕЧНЫЕ ПРОКВКДКНИЯ Определение. Пусть дана числовая последовательность (р„). Символ р~ рэ рз ... р„... называют бесконечным про- ОЭ и изведением и обозначают Д р„. Число Р„= Яре называе=! ч=~ ется и-ым частичным произведением.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее