И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 71
Текст из файла (страница 71)
12. а) Ь„=О,аз»=0,пЕИ;б) Ь„=О,аз» ~ — — О,пЕИ. 13. Указание. Продлить функцию у с отрезка (О;и] или [О; я/2] на ] — я; я] таким образом, чтобы в ряде ~т(/) коэффициенты прн функциях, не входящих в рассматриваемые системы, равнялись нулю (ср. с задачей 12), н использовать полноту системы (уЧ) на ( — л; а]. 14. Указание. В ннтеграле, определяющем а„н Ь„, сделать замену 1 = х + —. и 15. Указание. Проверить, что неравенство Ь. С вЂ”,',/~~(*+ — '„")-~(* "„ыг)~ * справедливо для любого Ь Е Х, и сложить эти неравенства для Ь = 1, 2..., 2п. То же самое рассуждение проводится для Ь„. 16.
Решение. Пр любом в Е И функция Ф»(л) нечетная, поэтому достаточно доказать ограниченность в совакупности семейства Ф„(л) иа (О;и], Для * Е (О; я] положим (11 п, = ~ — ~. Если и < п„то » а)п йа~ ]Ф»(х)] = ~~ — ~ < пл < п и < 1. е»! Если и > п, то представим Ф„(х) в виде л»~ е»» ш Первое слагаемое, как и выше, по абсолютной величине не превосходит 1.
Второе слагаемое преобразуем: » »-1 е»» +~ л»» +~ сов — — сов (3п + -) х гДе Ви = ~~4 в1п хх = (пРовеРьте). Сле2в1п — ' Ь=1 2 довательно, и Й и, + 1 вп1 — х(п, + 1) и окончательно, (Ф„(х)! < 1+ 2я. 17. Указание. Получить равенство и Вт ПЗХ Щх, и) = 2вш пх "3 гп и«=1 18. Указание.
К сумме членов !2(х, Я) с положительными коэффициентами н к сумме членов с отрицательными коэффициентами (если онн присутствуют) применить преобрвзо- Ф 1 ванне Абеля и оценку ~~~ совах~ ( (см. решение ~ в!п х/2( 1 задачи Х 16). 19. Указание. Показать, что ряд, полученный раскрытием 1 скобок в ряде ~4 — 2((/ (х)), есть 43(/) и зтот ряд при х = 0 «ии! не удовлетворяет критерию Коши. 21. Указание. При ш = 4" „и Е И, имеем: « «/2 'в«и = — /(х) в1п 4" х 4«х = — ~ 3« / в1п4" хвш4" х 4/х+ в «/2« «/2" ' «/2 2и-1 43" / 4 4"*4*4 С 3" / ~ 4"* ' 4*4*4 «/2" йии+1 «/23 4 с 3" / «4"* 4 4 *4*).
в=2« / 3 Показать, что первое и третье слагаемые равны нулю, четвертое является бесконечно малым, а второе — бесконечно большим прн и -+ +оо. вш пх 22. Решение. Ряд ~ — сходится равномерно на ка,(й ждом нз отрезков [2lгя+ с;2(1+ 1)!г — е], )с Е Ж, при любом и соа пх е Е (О;гг). Ряд у сходится равномерно на %, слеп !/и пп1 00 соя пх довательно, функция х'(х) = — ~ — непрерывна на Й п«1 и и Р'(х) = у(х) для всех х ф 2хй, Й Е К. Тогда ~/(х)с1х = с = Р(я) — Р(е) для ля!бого е Е (О; сг), и в силу непрерывности Р и существует 1пп / у(х) с1х = х'(я) — Р(е). Так как функция у с-се+ / с нечетна, то отсюда следует, что г Е Л( — х,гг). Поскольч сое пх кУ РЯД вЂ” сэ — скоДитса РавномеРно,то этот РЯД есть П 1/й о(Р). Из равенства Г'(х) = у(х), х ф 2я й, следует, что если сп 2 яш пх 2 Е Л ( — Я-,Я), то РЯД У г есть сг(У), что пРотивоРечит %АЙ / 1 1 равенству Парсеваля, так как ряд ~ ~~ — ) расходится. ~-; ~,/й) вш пх 23.
Решение. Ряд 2 — сходится равномерно на ка1п и ««2 ждом из отрезков [2я!с+ с; 2я(с! + 1) — е] при любом е Е (О; х). и сов пх Ряд ~ — также сходится равномерно на каждом таи 1п н п«2 сп ч соа пх ком отрезке. Следовательно, функция Р'(х) = — ~ в!по «=2 на каждом интервале (2я)с;2(й + 1)л), я Е К, является пер- П вЂ” с 6П1 ПХ вообраэной функции У.
Ряд — у — сходится равномерп21пв п=2 но на И, следовательно, его сумма Ф(х) непрерывна на Й н этот ряд есть а(Ф). Функция Р непрерывна на множестве М = ( — л;з] '1 (О), и Ф'(х) = Р(х) для всех х с М. Предположим, что 1пп Р(х) = А.
Так как функция Р четна, о -+О+ то в таком случае 1пп Р(х) = А, функция Р ограничена на о-се- СОО ПХ [ — к;л) и ряд — у есть сг(Р). В таком случае в силу п!пп о ос Л теоремы Фейера последовательностыго = ~ Я,о, где оъ и+1 Я = г —, должна сходится к — А, атак как Ът Я й 1п Ь ' ос-соо лог — + оо, то и 1пп гг„= +ос. Полученное противоречие о-++со покаэывает, что функция Р не имеет предела при х — г О+, а так как / Дх) с1х = Г(я) — Р(е) для любого с Е (О; я), то г интеграл ~ Дх) с(х расходится.
В силу нечетности 7 отсюда О следует, что у Е Й( — гг,гг). 24. Решение. Пусть и ЯО(Х) = —, Яо(Х) = — + ~с (ОгоСОЕГПХ+Ь,ое1ППГХ) 2' 2 ос=! сг„(х) = ~ Я (х). 1 т=е В силу теоремы Фейера 1пп гг„(х) = у(х) для всех хЕ ( — гг; гг). л-+со Так как из равенства 1пп Яо(х) = у(х), х Е ( — гг; гг), следует, о-+оо что ! пп сг„(х) = у(х), а Е ( — я; гг), то /(х) = у(х) на ( — гг; гг). о-соо 2Ь. Решение. Пусть о аа ОО ЯО(х) = —, оо(х) = — + ~(а совгпх+ ь Огптх) 2' " 2 ос о! 710 ви(х) = ~~с Ь' (х).
ис=е В силу теорслгы Фейера !пп си(х) = Г'(х) длн всех л'Е (-гг; гг), и сии Из Равенства о',с(х) — сги(х) = — ю гн(а сов псх+Ьси вгп псх) и+1 1 получаем, что 0 ~~ фи(х) — сги(х)! ( — ~ гп[!а»с(+!Ьи!] н+1 откуда в силу условия а,„= о 1 — (с Ьси = и ~ — ), гп — г оо. 1,п» /с 1 пс) следует, что !пп (Яи(х) — о(х)) = 0. Отсюда получаем, что и-ссю !пп Я„(х) = 1пп ои(х) = ~(х) для нсех х Е (-сг; гг). и-ссю и-+сю ОГЛАВЛЕНИЕ в рады.
Раавомераая схо- а степенной рад гв н ряды. Равномерная 369 402 407 477 545 569 586 Предисловие Глава 1. Раме в бескояеюаю праюаедеюю 9 1. Чвсловые ряды ! 2. бесконечные провзаедеюю ! 3. Фувкпвовальпые последовательноств днмость ! 4. Степеваые рады. Разлопеняе фунююя 1 5. Поатораые а двойвые рады ! 6. Упрапвеваа 1 Числовые рады 2 Бесконечные пронзаеленпх 3. Фуахпаовальные последовательное сходнмость 4.
Степенные рюзы 5, 22аобяью Ралы Отеети к гласе! ! 7. Теоретвческие идачв Ответы, Рекгелкл, улозаикл Глана П. Нылбспмюяю автегрве ° интегралы с аараметрем ! 1. Несобствеввыб интеграл ! 2. Собственный ввтеграл, зааясюдвй от параметра ! 3. Несобственный юпеграл, заавсхювб от параметра 1 4. Упранвевах Отлеты к главе Н ! 5 Теоретвчсскве задача Отлеты, реюелкл, указоиел Глава П1. Рады Фурье. Преобраюаиюе Фурье $1.
Рады Фурье ! 2. Суммаровавве тригонометрических редон с помоюью чесхвх фупюый юмпзексного переменного ! 3. Иатеграл Фурье в преобразование Фурье ! 4. Упранаеюм Отлети к главе ГН 9 5 Теорегнческае задача Ответи, реюеиил, указание 4 59 74 100 164 191 191 219 223 243 265 268 312 338 615 аналптн- 648 652 670 684 697 703 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
