И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 68
Текст из файла (страница 68)
8. Если у(х) б С (-оо,+со) и 0'Дх) Е 11'( — оо,+со) при любом 1, то Рф'1] Е Я'(-оо, +оо) при любом 1, причем [Р[ур>][ убывает при [Л[ -+ +со быстрее 1 любой степени †, й Е И. [Л[» ' 9. Пусть у(х) н ху(х) абсолютно интегрируемы на ( — со;+оо). Тогда Р[Я б С ( — оо,+оо), 1пп [(РЩ)'[ = О, Я-+оо причем (Р[Л)', = Ч[-**И И 10. Пусть х~у(х) Е В'( — со,+со) при 1 = 0,1,2,...,Л. Тогда Р[/] б С" ( — оо,+оо), 1пп [0'Р[Я = О, 1 = 0,1,2,...,й, )Ц-+сю причем (Р[Я)61 = Р[( — 1х)'/(х)], 1 = О, 1,2,..., й. Разложить функцию 7(х) и тригонометрический ряд Фу- рье на заданном отрезке. В примерах 3, 8, 9, 10, 11, 28, 29, 32, 34 указать функцию у(х), к которой сходится полученный Ряд 1) 7(х) = хвгпх на [ — н; х]. 2) /(х) = хсова на [ — х; я].
3)Дх)= ' ' на[ — и;и]. х, 0<х<-, 4) 7'(х) = и 2 на [О;я]. х — а — <х<х 7) 7(х) =хэ на [ — х;х]. 8) Дх) = хэ на [О;2в]. 9) /(х) = хэ на [О; в). Гхэ, 0<я<в, 10) 7(х) = ~ ' на [ — х;х). ГО, — в<я<О, 11) /(х) = ~ ' ' ' на [-х;х). '1хэ, 0<я<в, 12) ~(х) = ~ ' ' на [-х;х]. 1 а, ]х[ < Л, 10, Л<[х[<х, 13) /(х) = ~ ' ' на [0„2я). (а, 0<х<Л, Гсов —, [х] < Л, и 14) /(х) = 2Л' ' Л ф —, и Е 74, на [ — хх].
О, Л < ]х] < х, 1в(п —, 0<х<Л, х 18) 7(х) = Л ' Л ф —, и Е1Ч, на [О;2х]. О, Л<х<2х, 16) 7(х) = вг8п(в(п х) на [ — х; в). 670 17) /(х) =, ' ' нв [-л„з]. 1 1 в)п -х, О < х < в, 16) /(х) = на [О;2л]. 1+сов-х, гг < х < 2л, О, — <[х[<л, 19),/(х) = 2,г на [ — л;гг]. сова, [х[ < —, 20) /(х) = ' ' на [-л;л]. — -гг<х<0, 21) /(х) = з на [ — л;л]. — 0<в<в, гг 22) /(х) = в)п~ а на [ — гг; л], 23) /(х) = сов~ х на [ — л; гг]. 24) /(х) = агсвгп(сова) на [-1Ол; 10л].
26) /(х) = агсвгн(вгп х) на [бгг; 20л], 26) /(х) = сЬх на [-в;гг]. 27) /(х) = вЬх на [ — л; гг]. 28) /(х) = в1пх на ~--; — ]. 2'2> ' л лв 29) /(х) = сов х на [--; -~ . 2'2 ЗО) /(х) = сов х на [О; л]. 1-1, -с<в<0, 31) /(х) = ~ ' ' на[ — с;с]. ( 1, 0<в<с, 32)/(*)= 1' Ос,х „' "'[-"] ЗЗ) /(х) = х на [-с; с].
34) /(х) = ' ~ ' на [-с;с]. 35) /(х) = [х] на [-с;с]. 671 36! /(х) = х — [х] на [О; 3]. 37) /(х) = х~ на [ — 1; !]. 38! /(х) = х~ на [О; 2]. 39) /(х) = с~ — х~ на [ — с; с]. 40) /(х) =х(с — х~) на [ — с; с]. 41) /(х) = (с — х~) на [ — с; с].
х сов х, х Е ~0;— 42) /(х) = — совх хЕ ( —;гг ~2' на [О;х]. 43) /(х) = е'*, а ф О, на [ — гг; в]. 44) /(х) = совах, а — не целое, на [ — л; х]. 45) /(х) = в~сова на [О; — 1. '2! Разложить функцию /(х) и ряд Фурье на заданном отрезке по косинусам кратных дуг. 46) /(х) = вгп х на [О; гг]. 47) /(х) = х сов х на [О; л]. О, 0<х<-, на [О;1!.
2х — 1 — <х<1, 48) /(х) = х !! — —, 0<а <2И, 49) /(х) = ( 25 ' на [О; в]. О, 25<х<х, 50) /(х) = е»» на [О; гг]. 51) /(х) = в!пах на [О; гг). 52) /(х) = сЬ ах на [О; гг]. 672 Разложить функцню /(х) и ряд Фурье на заданном отрез- ке по синусам кратных дуг. 53) /(х) = совх на [О; гг]. 54) /(х) = хе!ох на [О; гг].
дх 0<х<с, 55) /(х) = 1, с 0 < с < 1, на [О;1]. — (1 — х), с<в<1, ! — с 56) /(х) = с»» на [О; гг]. 57) /(х) = в!и ах, а — не целое, на [О; гг]. 58) /(х) = вЬах на [О; гг]. Пользуясь формулами соех= -(е!*-1е "), е!пх= —.(е!* — е !*), разложить в тригонометрический ряд Фурье следующую функцию 59) у = сое! х, и! 6 1!).
60) у=, )9)<1. 1 — 29 сое х + дз ' г 61) у=, И(<1. 1 — 2дсоех+ 4з' 62) у= ~ „)4!<1 1 — 2д сов х + 4! ' Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующую неограниченную периодическую функцию 63) у = 1п ~сое — ~. 64) у = 1п сааб — ~. 66)у= 1п~ 16 — й, — х<х<!г, 2~ о 66) Как следует продолжить заданную в интервале (О; -11 не- '2/ прерывную функцию у(х) в интервал ( — х; х), чтобы ее раз- ложение в ряд Фурье имело вид у(х) = ~~! а„сое(2п — 1)х, -х < х < !г. п=! 67) Как следует продолжить заданную в интервале (О; -) не- прерывную функцию Дх) в интервал (-х; я), чтобы ее раз- ложение в ряд Фурье имело вид Дх) = ~~! й„е!п(2п — 1)х, — з < х < з. а=! 68) Пользуясь разложением функции у = е)6пх, — х < х < и, в тригонометрический ряд Фурье, найти сумму ряда 1 ~( 1)а-! п=! 673 и результатов, изложеянык в примере 11, почленным интегрированием получить разложение в тригонометрический ряд Фурье на интервале ( — з-, х) функции а) х! 4-2х; б) ха 4- хз; и) х4 74) Доказать справедливость равенства с (2й — 1)х 1 2 )( г+2, 2,!), (6.,) (2й — 1)" 96 75) Используя разложение функций у = х н у = хз в ряд Фурье по косинусам кратных дуг, получить формулу Зхз — 6хх + 2хз ч соа пх 12 ~ „з ~ хб(0;2х).
«=! х — х гйп пх 76) Исходя из разложения —,0<х<2гг, 2 и «=! получить формулу для — оо < х < +со х — Е(х), х — нецелое, 1 В 2' х — целое, 1 1 ---Е 2 в' ««1 675 где Е(а) — целая часть числа х. 77) Исходя из разложения функции у = савах в ряд Фурье (см. задачу 44), получить формулу 1 ч агг (-1)" а) —, = — + 2 у з, а не целое; а!и агг агг ~ (агг)з — (хп)з «=! — '1 б) — = — + ~ ~( — 1)" ~ — +, г ф ай, Й б Х; а!в х х ~х — ая х+ вп1' ««! 1 1 1 в) сей г = — + ~ ~ — +, х ~ хй, Й с Х. ~х — ггп г+ ггп1' ««! 78) Исходя из разложений функций у = сЬ ах и у = аЬах в ряд Фурье (см.
задачи 26 и 27), получить формулу +~(1) з+ зз' ««! 5) с!йв =-+~ 1 2г г хв + ггвив ' вы! 79) Доказать форлгуяы: гфхй,йЕУ.. сов 5х сов 7х сов 11х а) совх 5 Т 11 + + ''' 4ъГЗ' Мз' вш 5х вш Тх в!п 11х б) вшх + л + Тл 11л х 0<х< —, 3' Мз ' Ол/3 — (х — х), 2Я х 2х — <х< —, 3 3' 2 3 — < х < х. 1, я (-1)" в) -в!пх+ у — в)пих = вшх !п2сов —, )х) < и. 4 2~и' — 1 2' п=2 1 1 л-~ ( — 1)" и х с) — — — сов х+ ~ сових = сов х !п 2 сов —, )х( < х. 2 4 ~ ив — ! 2' Найти сумму ряда. сов х сов 2х сов иа ВО) а) !+ — + — +" + +", 1 12 12...и вгп х в)п 2х вгп их 1 12 12...и глаз' 4лг'3 О, х 0<я<-, в х= —, 3 х 2х — <х< —, 3 3' 2х х= —, 3' 2в — < х < х.
3 з1пх вгпЗх вгп5х лх з + з + з + (л х), 0<х<л. 1з 94) Ч~ вгп(2п+ 2)ьг п(п+ 1) = вш 2р — (гг — 2вг) в1пз ьь— — вш ~р сов ьь 1п(4 в(пз ьь), 0 < х < гг. 95) ~~г = 2(л — 2ьв) вгпгр+ сов(2п + 1) ьь пз(п+ 1)з г лз + ~ — — 2л1р+ 2Ььз — 3 совр, 0 < х < л. (,3 сов Зх сов 5х сов 7х л з 1 96) — — — + — — совзх--совх, 0<в<в. 135 357 579 8 3 совах 1 сова в — х, 97) ~ — = — + — — — в1п*, 0 < х < 2л.
пз — 1 2 4 2 в=2 ОО вгппх, г 1 98) ~ — = вгп х ~- — 1п ~2 в)п -)), 0 < х < 2гг. пз — 1 ь4 ~ 2Ц' «=з вгпох 1 99) ~~г = — [гг — х — ггсЬ ах+ ггсьЬаз.вЬах], п(пз + аз) 2аз 0 < х < л. (-1)" вгп пх 1 ( в вЬ ах 1оо) Ъ ( — л < х < гг.
п(пз+ аз) аз 1,2вЬля 2/ ' (-1)" сових 1 ~ гг сов(х~/2) л сЬ(х~/2)1 и — 4 8 ~ ~/2 вш(л~2) ~/2 аЬ(л~(2) ~ — гг < х < л. Разложив функцию у'(х) в ряд Фурье, вычислить интеграл ь у(х) Нх. Использовать следующие ргюложеиия: СО 1 — асов5х =1+ "~ а" совпЬх, )а(< 1; 1 — 2асов5х+ аз вжг Найти интеграл Фурье Р(х) функции /(х). Построить график функции г(х). 126) У(х) = ' ' !27) Дх) = (О, (х( > 1. ' ( О, )х! > 1. 128) Дх) = /х~ 1 О, ф>а, 1 х 130) Дх) = 2, а > О.
131) У(х) =, а > О. а +х а2+ х2' в(пх, )х(< к, ('-*, »*)<-;, 132) 1(х) = 133) У(х) = ( О, /х( > и. 2 134) Дх) = в01п(х — а) — в1кп(х — Ь), Ь > а. 135) Дх) = 2вп А вшах, (х( < —, и ЕИ. 2хп О, (х)> —, 136)Дх)=е «~ ~, а>0. е ' х>0, 137) у(х) = О, х=О, а> О.
е««в<0, 138) дх) = е «04 сов,дх, а > О. 139) 1(х) = е «~~~ ейп11х, а > О. 140) 7(х) = е 141) /(х) = хе * . Найти преобразование Фурье функции 2'(х). 142) Дх) = (.О, (х) > 1. )'1, 0<в<1, 143) У(х» ) Π— « О и 1 « + 169) У(х) = глл 1 171) /(х) = 1 зЬ хх )/(х)=пгик((2х — х ), 0) 174) Лх) О, х>и 175) /(х) = (1+ ')' 177) Х(х) = г 1 (.г4 6г) 179) У(х) х аг4 хг 1 /(х) = г+5г)г ии х 180)Л )= Найти косинус-преобразопяпне Фурье функции /(х). О < х < 3/2, х > 3/2.
<х< к, > з. 11>0. 187) /(х) =е *. 189) /(х) = — „. 1 191) /(х) = —. 190) /(х) = 1 192) /(х) = 181) /(х) = 182)/()= 0 183) /(х) 184) /(х) = 2 *. 1 — е е* 186) /(х) = 188) /(х) = е 170) /(х)= 1 1 е'/гллл — 1 л/2хх 1 1 172) /(х) = 185)/(х)=х, 0<о<1. ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ П1 ( 1)гг 1) 1 — — совх — 2 г сових. 2 с~п2 »=2 1 - (-1)".и 2) -- вгп х+ 2 ~ вгп пх. 2 2 пг «=2 гг 2 ~~- сов(2п+1)х ~ ( — !)" ' в4п пх 4 гг (2п+1)в, п Ьх, — гг<х<0, ах, 0<в<в, а — 6 — л, х =~л.
2 л 2,~-с сов(4п+ 2)х 4 гг ~-' (2п+ 1)в 4 — гг 2 ~ сов(2п+ 1)х в ( — 1)" г вгппх 5) — + — ! 4 гг х-~ (2п 1- !)в ~-( п ! Г !+8(-!)"+г 6) -+-7 вгп ггпх. 2 в~ и наг СО 7) — — 4 ) ( — 1)" в=1 4л 'совах з вгпох г 8) — + 4 3 пв и ) х, хб(0;2л), )2лв х=О, х=2л.
в хг 9) — + г ),я(х) = з и ) -гг, х=О, х=гг. п=1 2 10) 2гг~ ( — 1)"+гвгппх 8 ~ вгп(2п+1)х п (2п.!. !)в х й (О;л), у(х) = — хв, х с (-л, 0), О, х = «г, х = О, х = -гг. Е гс *+ п=! 0, 4 л в!п(2п+ 1)х 2 ( — 1)' ' с4п п:г л Е и ««1 — л<в<0, 0<в<в, аЬ 2а 12) — + ~~! — егп пЬ сових. !г лп «=1 аЬ а 13) — + ~~! — [(1 — сое пЬ) в!и пх + в!и и Ь сов пх]. 2л лп ««1 2Л сов «Ь 14) — 2+4Ь~~~ 2 2 г совпх. гг2 4!г2Ь2 — 2.2 ««1 Ь l Лвш«Ь, Ь(1+совпЬ) 1г! — +~( « *+ г [, ° — Ь !12 — Ьепв «=1 4 ~ вш(2п — 1)х !гх 2п — 1 пп! 1 1, 2 17) — + — в!и х — 2 сов 2пх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
