И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ао = оп = 632 Периодическое с периодом л продолжение функции у(х) = л л1 = х сов х с [ — —; — ~ дает функцию /', непрерывно днфферен- 2' 2! цяруемую на всей числовой прямой (проверьте!). Следовательно, равенство 16 ( — 1)" 'и хсоох = — 7 ош2пх л~ 4пз — 1 «=1 имеет место на всем отрезке [ — —; — . 2'21 гг гг Справедливость этого равенства в точках — — и — видна и 2 2 непосредственно,так как в этих точках обе его части обращаются в нуль. Но хотелось обратить внимание на общий принцип исследования поведения тригонометрического ряда Фурье в концевых точках рассматриваемого отрезка. Пример 7. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции /(х) = хегп 2х на отрезке [ — —; — 1.
4' 41 л л1 (л/л) Отрезку [ — —; — 1 соответствует система (1о (х)) = (1, 4' 4( / в1п 4х, сов 4х, в1п 8х, соо 8х,..., о1 и 4пх, сов 4пх,...). В силу четности функции у получаем, что 6„= О, и Е И, и л Периодическое с периодом — продолжение функции 2 7Г и1 /(х) = х яп2х с ( — —; -~ дает функцию /', непрерывную на 4' 41 всей числовой прямой'1, но не дифференцируемую и точках я яя хл = — + —, !с Е л.. Равенства 4 2' / ( — ';+ ~+ й) -/ ("— "+ В л-+о+ !с /(-%+ л) — /(-%) 1(п4 4 = (хяп 2х)'~ .= — 1, л-о+ Ь !лн-е/4 (2 +4+ ) / (2 +4) л-+о- !с 1л=е/4 показывают, что в этих точках условие Дини выполнено.
Итак, равенство о ( — 1)"+' и хя1п2х = — + — У соп4пх я як. 4пх — 1 «н! имеет месте во всех точках отрезка ~ — —;— 4'41 Поскольку аргументы всех функций системы (1о, (х)) кратны аргументу — второй и третьей функции этой системы, то минимальный период 2! функций яп — и гоя — яюгя! ется и минимальным общим периодом всех функций снпгсмы О) (1о; (х)). Поэтому, если функция / имеет период Т = 2! и / Е Я ( — 1,!), то при отсутствии других условий естественно 1О рассматривать разложение / в ряд Фурье по системе (22; (х)) на отрезке ( — 1; !]. Как следует из результата задачи 1О гл. П 3 5 коэффициенты ряда ао у пих пих л сгг(/) = — + ~~~ (а„соя — + о„я1п — ) 2 ( ! " ! ! Н Для непрерывных и четных нв [-1;!) функций зппериодическо* продолжение с ( — 1;1) всегдв непрерывно ив всей числовой примой.
633 не зависят от того, является ли Т = 2! минимальным периодом функции илн нет, т. е. этот ряд есть ряд Фурье функции ! по л!сбой системе ! ~1 ( . ях ях 2ях 2ях (~Р. ) ~ 1, я1п — сов —, я1п, соа —,, тофиг! гп!' т!' гп! ' пз! '' Поэтому, если Т = 21 — минимальный период функции !'е Я~ н в условии задачи не указан отрезок, на котором ищется разложение у в тригонометряческнй ряд Фурье, то это разложение производится по системе (!е, ) на отрезке [-1; !). (11 Если же отрезок [-а;а) (или [О;2а]) указан, то необходимо различать два варианта. Первый -- 2а пе является кратным Т вЂ” в таком случае разложение производится согласно общему правилу по системе (р; ) (см. пример 5 гл, !1 1 1).
Второй вариант — 2а является кратным Т, т. е. 2а = хТ, й б г!. В таком случае, как указано выше, достаточно вычислить коэффициенты Фурье функции !' по системе (!г; ), и полученный ряд будет одновременно н рядом Фурье по системе (~о!'!) = (р( )). Пример О.
Символ (х) обозначает расстояние от числа х до ближайшего целого числа. Найти разложение функции у(х) = (х) в тригонометрический ряд Фурье а) на [О;3/2], б) на [О;8]. Решеиве. Функция ! имеет минимальный период 1 (см. г з~ Рис. 20 и) Поскольку длина отрезка ~0; — ~, заданного в п. а), и! Риа 20 не кратна 1, то производим рюложение по системе (1е,. ) = <зуе1 4нх 4хх 4хпх 4з нх 1 з1п —, соз — ...
з1п 3' 3' ' 3 ' 3 соз — ..., Имеем зуз 4 1 4 3 1 ла — — / /(х) Их = — — = —. 3/ 38 2 о 1 Для упрощения выкладок заметим, что функция у(х) — —, ~ З1 периодически продолженная с интервала ~0; -) с периодом 3 Т вЂ”, дллт щчетную функцию (см. рис. 20, 6, е). Следовнтель- 2 6) в) Рис. 20 635 ыо, а„= О, п б й. Вычисляем коэффициенты 6„; 1/2 1 4 Г, 41гпх 4хпх 6„= — / хап — г/х+ ( (1 — х)згп — ггх+ "-3/ 3 / 3 е 1/2 З/2 4хпх 1 ~ 41гпх~1/2 + (х — 1) згп г/х = — ~ — х соз — ~ + 3 ггп~ 3 1е 1 1/2 4хпх 41гпх Р + сов сгх — (1 — х) соз — ~ 3 3 1/2 а 1 З/2 4хпх 4з'пх 12/2 Г 41гвх — ( сов — с/х — (х-1) сов ~ + ( соз — Их 3 3!,/ 3 1/2 1 1 ( 1 2хп 3, 2лп 1 21гп = — ~ — — соз — + — 81п — + — соз —— хп1 2 3 4хп 3 2 3 3 , 4хп 3 , 2хп 1 — — зги — + — ап — — — сов 21гп + 4хп 3 4хп 3 2 3 3 , 4хп) 3 9 2хп + — згп2хп — — ап — ~ = — — + — ап —. 4хп 4хп 3 ~ 8хп 4хзвз 3 Так как во всех точкак интервала (О; 3/2) функция / удовле- творяет условию признака Дини, то равенство 1 г- 3 / 6 , 2хп'1, 4хпх /(х) = — — у — ( 1 — — з1п — ( згп 4 8хп ( хп 3 / 3 верно для всех х Е (О; 3/2).
В пункте б) формально надо было производить разложение по системе ОО Г, 1гх хх, 1гпх з пх (12 ) = ) 1 зп1 —, соз — ... в1п — соз —,... 4' 4' ' 4 ' 4 ' 3' но так как длина отрезка [О; 8), заданного в этом пункте кратна 1 — минимальному периоду /, то требуемым тригонометрическим рядом будет ряд по системе (1е; ) = (1, ага 2хх, соо 2ях, о1п 42'х, сов 4ях,..., вш 22 их, сов 2хпх); В силу чет- ности функции /(х) получаем, что 6„= О, и Е Й, и 1 ао — — 4 / /(х)г1х = — , 2' о о„= 4 ( /(х) сов 2япхдх = — архип 2япх~ яп [, о о 1 р) — 1 ~ 2 г)= — 2 32п2 о о О, и = 2т, т б И.
2 п=2гп — 1, ггз(2т — 1) 2 Так как функция / 1-периодическоя и в каждой точке числовой оси удовлетворяет условию признака Дини, то равенство 1 2 ~ сое(2т — 1)2хх 4 хз ~г (2т — 1)2 верно на всей числовой оси. Используя связь показательной и тригонометрических функций, можно получить тригонометрический ряд Фурье аналитической относительно совх и гйпх функции / на отрезке [ — я; я), не прибегая к интегральному вычислению козффициентов. Для этого положим 1 = ег~, тогда сов х = 21 С2 — 1 и в)их = .
После разложения функции / в степенной 21 ряд по 2 обратным переходом к функциям сов ох и гйп пх получается тригонометрический ряд по системе (уг;(х)). Из аналитичности фуякции / следует равномерная сходимость этого ряда на [-х; гг) к /, откуда в силу приведенной выше теоремы следует, что полученный тригонометрический ряд есть именно ряд Фурье гг(/) по системе (аког(х)) функции /. 637 Пример 9. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции у(х) = !п(1 — 2ССсоях+ дз) ([е[ < 1). Функция С(х) = 1п(1 — 2дсоях+ СС~) имеет минимальный период Т = 2х. Поскольку в условии не указан отрезок, на котором производится разложение, то, как сказано выше, берем отрезок [ — я; к] и соответствующую систему [~рс(х)).
Полагая!С = ес, получаем, что !п(1 — 21соех+уз) = Сп 1 — 1 С+ — ! +д~ С - ) = С,] С,] =! ((1 — еС) (1 — -)) =! (1 — еС) + !в (! — -) . Так как [С!С[ = [де'*[ = [де с*) = ]-[ = [д[ < 1, то для любого С = е', х Е [ — к; к], имеем равенства; «С« С"С-" ! (1-~С)=-~ — ', ! (1 — -') =-~ 'С о н ««о ««! « !п(1 — Ф)+1п ~1 — т) = — Е ~ (С" +С "). С н ««ч Отсюда следует, что для любого х Е [ — х; и] имеем равенство « Сп(1 — 2д сов х + дз) = — 2 ~~~ — совах ([у) < 1), Ч и ««3 и поскольку этот ряд сходится равномерно на [ — х; к], то он есть тригонометрический ряд Фурье своей суммы.
Таким образом, разложение функции у(х) = !п(1 — 2дсоех+ уз) в тригонометрический ряд Фурье получено. Заметим, что иэ полученного разложения для любого натурального п следует равенство « ЗГИ 1п(1 — 2ясоа х+ уз) соя охах = — — ([е[ < 1). н о Пример 10. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции,1(х) = !и [я!п -~ (х СС 2кй). 2 Функция Дх) = !п ]я!п — ~ имеет минимальный период 2я, 2 следовательно, разложение производится по системе [Сзс(х)) на [ — !г; чг]. В данном случае полученная заменой ! = ег* функ- 1 — 11 ция у (!) = !и — не является аналитической.
Заметив, что 2.! ~ !пп 1и(1 — 2дсоех+ д~) = !п2(1 — соек) = ч~г= !и 4+ 2 !и ~в~п -)[, х ф 2л/г, й Е Х, 2 постараемся найти связь коэффициентов Фурье функций А(х) = 1и(1 — 2дсоех+ д~) и у(х) = 1и [вгп -~. Обозначим 2 для краткости 1и(1 — 2дсовх+д~) = уч(х) и 1п4егн — = уг(х), 2 1 тогда У(х) = — 1и2+ -уг(х). Пусть ач,„— коэффициенты 2 24" Фурье гч(х); как показано в примере 9, ач „-— — —. Функция 1!(х) Е Л [ — !г, чг). Если семейство ~ч(х) сходит- ся при ч -+ 1 — к ~г(х) не только поточечно на ( — гг; л) ! (О), но и в среднем на [ — х; х), то в силу соотношения (1) числа 2 а„= !пп ач „= — — являются соответствующими коэффич +! — ' и циентами Фурье функции уг(х) и, следовательно, ряд ~ сов их и «=! х есть тригонометрический ряд Фурье функции /(х) = !и [в!и 2 по системе (!ег(х)).
В силу 2х-периодичности функции / и ее дифференцируемости для всех х ф 2хй, й Е ,'Е, равенство х! сов их 1п [вги — ~ = — 1и2 — у 2[ «=! справедливо для всех х ~ 2хй, й 6 Ж. Для полноты решения осталось проверить, что семейство (у (х)) сходится при д -+ 1 — к /!(х) в среднем на [-х; х), поскольку зто утверждение не следует иэ поточечной сходи- мости Дч(х) при д -+ 1- к ~г(х) для х ~ 2чгй, 1г Е Ж. Функция 1 — 24 сов х+ Ю(*,4) = [А( ) — Л(*)Г =1 ' 639 неврерывна на (е; х] х [О; 1] при любом 6, 0 < е < х; следова- тельно, !пп (у(х,д)йх= !' !пп р(х,д)Их=0, 0< 6 < х. ч- 1-.! ,/ е-+1- "8 л х 2 3 Если сов — > — и — < д < 1, то 2 3 4 2 > 1 — 2дсовх+ д~ = (1 — дсовх) +д~в!и х > ех лх . хх > 4д вш — сов — > вш 2 2 2' следовательно, !и —;-д-- > !и > — 1п4, 1 1 — 2дсовх+да 2вш 2 4вш г откуда получаем неравенство 0 < !е(х, д) = !и 1 — 2дсовх+ д~ е 1 р < !и е + !и 4 4 2ап~ — * г 3 2! — < ]д! < 1, 0 < ]х! < 2 агссов -) .
4 3) 1 Так как функция !п + !в~4 интегрируема на (О;х] 2в!пе и д в смысле несобственного интеграла, то отсюда следует, что для любого числа е > 0 найдетсл такое Ю, 0 < 6 < х, для 6 е которого неравенство !е(х, д) пх < — верно прн любом д, о 3 3 — < д < 1. Зафнкскруем такое б, найдем такое де > —, что е / ~р(х, д) Пх < —, д б (да; 1). Окончательно, для д б (де, 1) в силу четности функций 1~(х), О < е < 1, н уг(х) ямеем: г г / (А(х) — Л(х))'й =2 р(х,е)4 = % е е е = 2/г г с~*~21 е*,д)~*< — + — = 2 2 е б что и показывает утверждеяяе о сходнмоств в среднем на [-гг; гг) семейства /е(х) к /г(х) при е -г 1-.
Замечание. Равенства 2 Г 2 а„= — / ~г(х)совпхг(хгх 1пп — / Д(х)соепхг(х= 1пп а „, гг е-+г- х.г г-+ге й об И, можно было получать н переходом к пределу под знаком янтеграла, но обоснование законности такого перехода требует рассуждений, схожих с проведенными.
В данном случае хотелось обретать внимание на свазь сходимоств в среднем последовательности функций и сходимосгк соответствующих коэффициентов Фурье. Пусть функции У Е В~( — гг,гг], У(х)ггх = О и г'(х) = с — у($) Й, х Е (-гг; х). Тогда кооффяцяевты а„, Ь„, и Е М, е рада а(7) и козффяцвевты А„, В„, и Е р(, ряда а(Р) связаны равенствамя: Ь„ А„= —, и ае В„= — —. и .г,„~()Ь)+~а~).е .~д ~! (а„сових+Ь„ми ох) ею! Так как в свлУ Равенства ПаРсевалл РлД Ц~! (ае+Ь~ ) сходитсл, сходится к /(х) в среднем на [ — я; я], а ряд Оп — + ~ ~ — сов пх — — я(п пх п уже равномерно на [-к; к] сходится к Р(х).
Таким образом, получаем, что ряд Фурье по системе (р;(х)) независимо от того, сходится он равномерно ыа [-я; я] нли нет, допускает почленное интегрирование. Обратно, если 2я-периодическая функция Р(х) является обобщенной первообразиой функции У(х) Е Й [ — я, я], то ряд Фурье о(~) является почленно продифференцированным рядом Фурье а(Р). Так как коэффициенты Фурье функции / образуют бесконечно малую последовательность, то в этом случае коэффициенты Фурье функ- П'1 ции Р имеют порядок о ~ — ], и -г оо. Продолжая зто рассуждеыие по иыдукции, получаем утверждеыие: Если функция Р Е С '[-я;к], гп Е И, Р1 1 б Й [ — я,я] и РОО( — к) = РОО(я), О ( у ( гп — 1, то коэффициенты ряда /11 Фурье ~т(Р) имеют порядок о [ — ), п -+ со. и РФ Аналогичное утверждение имеет место н для любой системы (р, (х)). Пример 11. Напишем тригонометрический ряд Фурье функции у(х) = х ыа отрезке [-к, х].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
