И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Решение. Равенство 1 1 — ое = Р(о)[!па[+ ~ Г(*)[!ах[~И, 0 < о ( 1, Р(*) а а показывает, что требуемое утверждение эквнвалентыо выполыеыыю условия !пп Р(а))!па[ = О. Для любого е > 0 а-+О+ 1 Г Р(е) в силу сходимосты интеграла ~ — Их найдется такое Ь, ь О Г Р(в) 0 < Ь < 1, что 0 ( ~ — 1!в < — для всех и, 0 < и < Л, а в сия 2 ч яу вепрерывносты Р' ыа [О; 1] найдется такое 8, 0 < О < 1, что Р(х)[1пЬ[< — для всех е, 0(х(Б.
Если 0<а<аз = поп(Ь,6), 2 то в салу монотонности Р на [О; 1[ ымеем л е Г Р(я) — > ~ — Ия > Р(а)(1п Л вЂ” 1п о) = 2 я а = Р(о)[!па[ — Р(а)[!пЛ[ > Р(а)[1па[ — —. 2' Отсюда следует, что 0 ( Р(а)[ !па) < е для всех а, 0 < а < ое, т. е. !пп Р(о)[1по[= О. а-+ О+ 29. Решение. Покажем сначала, что если р > 1 и у = —, Р р-1' Е ЬО то для любых а > О, Л > 0 имеем неравенство ай < — + —. Р 9 Действительыо, функции О = и1' ' ы и = Ое ' взаимно обратны; площадь фигуры, ограниченной осью Ои, кривой О = и" дг в прямой и = а, равна —, площадь фигуры, ограыиченыой Р ья осью Ое, кривой и = еЯ ' и прямой е = Ь, равна —, сумма Ф зтих площадей не меньше площади прямоугольника [О;а! х [О;Ь! (см. рис.
1б). ряс. 16 Положим а- [У( )! [У(хН lь ,Ь— ~1я-11й и(*)! * ~п(*)[=" *) Ь Ю ая ЬФ~ Иэ неравенства аЬ ( — + — (е — 1) получаем, что Ф ь ь [У(х) у(х)! = аЬ [у(х)[яЫх [д(х))яхтах < я 4 <1 !У(х)[,(,) !.(х)!- [ )у(х)[янх ) [д(х)[яьгах Ь О ь ь н В <1'~л*н ь)' </ньн"- н*~ ' Ь О Это неравенство показывает, что Щх)у(х)) Е»ь(а; 6). Инте- грируя по промежутку (а; 6), получаем: ь ь / ь у ДДхНь»1х Яр(х) Я Их» )Пх)у(хП«х ~ — ' + И- 1); а Я(х))ь»1х / )у(х))»- ех ь ь ~~ю*п"*Д~ы л - »*~ 4 й ь ~ь ~ ь 1 ° ( г » Р,ч, »».е » Ф 30.
Решение. Возьмем число е > 0 и найдем такое Л, ч 0 < Л < 1, что / )7(х))ч»1х < еч для всех»1, 0 <»1 < Л. Если о 0 < х < Л, то применяя неравенство Гальдера (см. задачу 29), »' 1 .. - 1' лм < ()'~яе~»*)' * » '* о е Такам образом, !пп х»1т ~(1)»11 = О. ' с-+е+ о 31. Указание. Провести рассуждение, аналогичное решению задачи 30. 32. Решение. Возьмем число е > 0 и найдем такое Л, 0 < Л < 1, что х/~(х) <1х < е~ для всех»1, О <»1 < Л.
Если е 0 < х < Л, то, применяя неравенство Гальдера (см. задачу 29), получаем иеравенсгво 1 1 л $О еа) »»$ » $ ~ е »» »»$ » 1 †' ' '» »» » Ф ь Ф л л <к+(/с'фа) (1 — ) <к;,Яььд. Ф с 1 1 Таким образом, 1пп ( у(1) Й = О. '-" Лм~ 33. Решение. Так как г'(х) Е С[О; +ос), то вз неравенства *' '(х) О < г з(х) <, х > 1, следует сходимость интеграла +оо хз г"з(х) ях. Отсюда следует, что Бщ хг'з(х) = О (срана-++со о вите с задачей 2).
Обозначим через (аь) такую монотонно ясюрастаюп1ую неограниченную последовательность, что аь г ~(ее) -е О, х -+ оо. Из равенства ав аа /' г" (х) Йх = хР (х)~ — 2 / Р(х)/(х)хях о е получаем, что аь ав О < / Г~(х) Их < ееРз(аь) + 2 / Р(х) ~~(х) ~х <1х. е е Применяя неравенство Гельдера (см. задачу 29), получаем отсюда, что аф аа йй ~гчею*<~к*(~~+и(~*'гч*и*) (~у'ын*) . о о о и, переходя к пределу при й -+ со, получаем требуемое неравенство. +со 11 34. Указание. Представить / х — — ) <Ь в ваде е +СО И --')' 1'(.--')" 1 я в первом слагаемом сделать замену х = —. 35. Указание.
В обоих интегралах сделать замену х = ае'. 36. Решение. Так как функции у(х ) четная, то 1= -' 1 У(.*),Ь. 2,/ ОО Ь Сделав в игом интеграле замену х = ай — —, получаем Ф' +ОО Ь вЂ” ~ а~--' о+-', О= е =-а / аЬ вЂ” — й+-Ь ~ аФ вЂ”вЂ” е е Ь Сделав ео втором ввтеграие замену Ф = — —, получим аи ~=-'%((О--) ) О+-',~У((„— -') ) г = е — ОО = -а / ах — — Их и в силу четности подывтегральной функции имеем требуе- +ОО з — — = И(--;))' — ОО ОО Ы 37. Указание.
Представать Г в виде 1' у (ох+ -) Ых+ +ОО Ы + у ах+ -) ~Ьх,гдехе — точкамввимумафувкцвнах+-, х) х ОО Ь в в кладом вз слагаемых сделать замену ах+ — = ~/Р + 4аЬ. 38. Уквзанв. Представить луч (О;+со) в ваде (О;1) 0 О (1;+со) в в витеграле по промемутку (О; 1) сделать замену 1 Ф=-. 39. Решенне. Представвм ввтеграл / в вяде «/2 / /(х)о)ах о «и 9(оп+1) ~( / Л*)«*г / )))в*и) 1(2а-1) «и «/2 )ге + /(х) мв х =/ о «/2 +Е/')-о"[ ' + ' ]г)*)~*г.. о К) Так как функцнл Дх)анх ограввчева ва [О;-~, то рлд Й)-1)" [, + 1 ]))*) ' * вю! скодвтсл равномерно ва [О; -], следовательно, «/2 п / (-1)в ~ — + — у(х) ип х )/х = х+ я'В х — я'и! вв1 «/2 1 1 = ( ~~) (-1)п ~ + — 1 у(х) юа х Их, ),х+ къ х — кп,/ о в в салу равенства в — =-+Е(- ).
1 ~+ 1,.~0, О)ВХ Х 1х+ оп х — гга1 «в) получаем «/2 «/2 =4 *~-+ В-» [ — ~ — ))) '=/1)*) * х ~х+)гн * — ггп гу о пв1 о 601 40. Указание. Показать, что Я(л) Е Ща; 6) а у Я Е Й(а; 6), ь ь //еел*>~-~/а(е»и*/ » с»! 41. Рмпевие. Пусть А ) 0 и [ — А;А] С (а — ае,6 — ка). ь В салу условии 1) весобстаенвый аптеграл / /(1) р» (1 — ла) Л1 а Ь-»» определев дал любого аз Е (а;а) я равен /(1+за)р»(1) Й, »»» ь В салу абсолютпой сходимосги ввтеграла /(л) Ил а услоа ава 2) имеем -л ь ! 1 ли*)».сО»/<» 1»Фл/ВОР*= (с.
се[ — м-л1 »-»» и-~ оо, ь-»» /(Ю + ае)1»»(1) И1 = о(1), в -+ оо. Саедоаателыю, достаточно доказать, что Вю ~/(1+во)р„(1) В=/(*„). -л л Из услоавв 3) получаем, что ~ р„(1) й = 1+е„, где е» -> О, о -+ оо. Следовательво, /(1 + ле)~ъв(1) А1 — /(ае) = / (/(1 + ае) — /(ле))у (С) й1 — с /(ле). Воэъмем чвсло е > О.
В салу непрерывности у в точке хо б пайдетсл такое 6, О ( Ю < А, чго 1/(а + хо) — Дхо)1 <— л 4М для всех М, Щ ( 6, где М = овр /1оаа(х)1Ых (см. условве 4)). и Отсюда получаем: ! /яи ка*о — л*,оа(оа/ а -о а~~л+*о-л*.е в+ -л л ,~~со,*о-л*.о «).~. + /1У(~+ хо) — У(хоН~.И) ~ < ь ( 4 опр 1у„(Ф)1 (у(х)14х+ —. [-л;лИ-оя а В салу усаовпя 2) в усаоввя е„-+ О, и -+ оо, поедем такое Ф 6 Й, что 1еау(хо)1 < —, и > М, в овр 1в (Ф)1 <, в > Ф. (-л;л)и-о;о) Для и > М получаем оковчвтеаъпо ! Х(1+хо)~ра(~)й — У(хо) < — + — + — =е, 4 2 4 чем в завершается докаэателъство. 42. Не выполыево требование ограниченности фуикцяи 43.
Не выполнено требование мовотониоств ~, Указание. «и+$ Рассмотреть у(х) сое х 1(х, и с 1'(, и вспользонать резуль«»- у тат задача 11. 44. Решенве. В силу монотоыностя у, не ограничивал общвостя, момно считать, что у(х) > О, х > а. Если не выполнено условие !пп 1(х) = О, то найдутсл такве числа «-а+а» с > О в С > а, что /(х) > с, х > С. Если 2лх > С, то 2й«+« 2й« у(х) е1п ха(х > 2с. Отсюда н салу критерия Коши следу+а» ет расходвмость интеграла у(х) аш х Нх.
Полученное прои твворечяе показывает, что 1пп у(х) = О. «-++оп 45. Решеыве. Из результата задачи 44 следует, что !пп )(х) = О. Не ограничивая общности, можно считать, «-а+а» что у(х) ) О, х > а. Так как в салу признака Дирихле +по интеграл 7(х)сое2хЫх сходится, то соотпошеяяе Ях) ) О Дх) /(х) соа 2х > )у(х)а1пх) > 1(х)вш х = — — показывает, +по +оп +а» что интегралы ~ (/(х))а(х = ~ у(х)1(х в / )/(х)е1пг)д« а о а одыонремеыво сходятсл влв расходятся. « С(х) = у(() Й.
е 1ап(п+1) ы ~ у(х)1(х. «п(и — 1) «п(п+1) Указание. Рассмотреть ~(х)у(х) ах «п(п — 1) 46. Например, и, х=2гги, иЕЙ, 1 11 О, хГ Ц ~2!ги — —;2гги+ — !, из из игш 1 лныейна ва отрезках 2ки — —; 2ки из' с 11 2аи;2гги+ — ~, и б Й. из1 Лх) = 47. Решение. Если у(х) Их = О, то функция С(х) = с О +со ~ я(Г) й ограыггчеыа на [е;+оо) н интеграл / /(х)у(х) !Гх а о+Т д сходится в салу признака Дирихле. Если у(х) !гх = А ф О, то рааеыство +оо +оо +~о А Г А! У(х)у(х)Ах = — / 7(х)Ых+ 1 у(х) [л(х) — — ~ Их т/ т') ° Ях)) Их = сов(их)) йх+ (. 1)хга / 1( е) +СО +во показмвает, что интеграл м ~ /(х)у(х) Ых я ~ у(х) ех одво- О Ь временно сходятся илы расходятся. 48. Решевяе.
Из условия следует существование такого хе ) а, что функция у строго возрастает на [хе, +оо) н !ип 7(х) = +со. Пусть х(1) — функция, обратная к 7 ыа й.++00 [У(хе);+оо), тогда х(1) монотонно возрастает вв [у(хе);+со), !ип х(1) =+оо и х, монотонно стремится к нулю при М -++со г-++с ыа [у(хе);+со). Делая замену х = х(1), получаем, что оа юп(/(х)) Нх = в(а(у(х)) Их + (еш()х', а((, о о 1(ое) откуда в силу признака Дирвхле следует сходимость этих интегралов. Так как +оо х,'а((= )нп х(а) — хе=+ос 1-е+оо /( е) то, применил результат задача 46, получаем, что +ао + «оо / ) сое(/(х))) Их = +со в ) е|п(у(х)) ~ ох = +со. о О 60. Указание.
Показать, что выполнены все условия теоремы о переходе к пределу под знаком несобственного интеграла. +ао 61. Указание. Проверить, что интеграл у(х, у) ох сходится равномерно. О 62. Следует вз результата задача 60. 63. Указание. Доказательство данного равенства аналогично доказательству в решенвв задачи 41. 64. Ренмвве. Пункт 1. Ивтегрирул по частям, получаем, +ао +ао е 1а = е оо сохлых=е ао вшх~ +Ь ( ох ~е '* е!пхйх.
о е е ь ) Функции у(х) = ех ) е ' неотрвцательва на поломительиой полуоси, и длл любого а > 0 суп(ествует такое х, > О, что у монотонно возрастает ва [О; х,) и монотонно убывает на (хе, +ос). В салу второй теоремы о среднем а о ь-)— ехь 'е ешли= у(х)ешха(х = /(ха) ешха(х, е е Еа б1 Е (О;*,) +со +со Ез ь-ь— ох 'е а1пхйх = 1(х)ешхйх = Дх ) е)ох~Ъ, х х а„ 6 Е (ха~+со). Отсюда получаем, что =2ЬаЬ(оЬх,)~ 'е 1' ) < 2ЬоЬК, Ь где постонвнан К = шах$~ ~е ' пе заавсвт от а.
Полученное в>е неравенство показывает, что Бш 1, = О. Репювве а пункте 2 а-+Ф+ проаодвтсн гочво так ие. ь 55. Указание. Показать, что интеграл / 7(х, 9)у(х) Их сзодвтсл равномерно. Ю 58. Указание. Применить метод математической ввдук- ввп. 59. Указание. Показать, что выполнены асе услоавл те- оремы о дифференцировании несобственного шггеграла по параметру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
