И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 55
Текст из файла (страница 55)
указание к № 157. 159) Сходится. См. указание к № 157. 160) Рагходичся. 161) Сходится. 162) Сходится. 163) Сходится. 164) Сходится. 165) Сходится, если ппп(р, д) < 1 и гпах1р, д) > 1, расходится в противном случае. 166) Сходится. 167) Сходится условно при всех й н а ф О, сходится абсолютно при а =О. 168) Сходитсн условно при всех а > О. 169) Сходится абсолютно при 1 < а < 2, сходится условно при 0 < а ( 1, расходится при а ( 0 или а > 2. 170) Сходится условно при 0 < а < 1, расходится при а < 0 илиа>1.
171) Сходится условно при и ф 0 и 0 < о < 1, сходится абсолютно прн о > 1 и любом а; расходится при а = 0 н любом а и при а < 1 н а = О. 172) Сходится абсолютно. 173) Сходится условно. 174) Сходится абсолютно при а > 2, сходится условно прн 1 < а ( 2. 175) Сходится абсолютно при гпах(р, д) > 2. Сходится углов- но, если 1 < гпах(р,4) ( 2, расходится, егли гпах(р, 4) ( ( 1. 176) Сходится абсолютно, если д > р+ 1 и р > — 2, сходится условно, если р < д < р+ 1, р > — 2; расходится, если р > 4 или р ( — 2 пря любом д. 177) Сходится условно.
178) Сходится абсолютно при и > го+ 1, сходится условно при гп < и < гл + 1, расходится, если гп > и. 179) Сходится абсолютно, если р > — 1 и д > р+ 1, сходится условно, если р > — 1 н р < 4 < р+ 1, рагходнтся, если р > — 1 и р > д или р < — 1 при любом д. 180) Сходится абсолютно, если А < — 1. Сходнчтя условно, если А > — 1. 181) Сходится условно.
182) Сходится угловно. 183) Сходится условно при 0 < и < 1, сходится абсолютно при а > 1; расходится при а < О. 184) Сходится условно. 1 — р 185) Сходится абсолютно при -! — « О, сходится Ч 1-р условно при 0 « 1, расходится при д = 0 и лю- Ч 1 — р бом р илн при — > 1. Я 186) Сходится абсолютно прн р < 1, сходится условно прн 1 ( р < 2. 187) Сходится условно. 188) Сходится условно. 189) Сходится условно.
190) Сходится условно при р < 2; расходится при р > 2. 191) Сходится абсолютно. 192) Сходится условно. 193) Сходится условно. 194) Сходится условно при а > — 1; расходится прн а < — 1. 195) Сходится условно. 196) Сходится условно прн а ф 0; расходится при а = О. 197) Сходится условно при — 1 < р < 1; расходится прн р < — 1 нли р > 2; сходится абсолютно прн ! < р < 2.
198) Сходится условно прн 0 ( р < 1, сходится абсолютно при р> 1. 199) Сходится условно при 0 < р < 2. 200) Сходится условно. 201) Сходится условно при д > 1, расходится при 0 < д < 1. 202) Сходится абсолютно. 203) Сходится условно. 204) Сходится условно. 205) Сходится условно. Указание. См. задачу 48 гл. ! 1 5. 206) Сходится условно.
Указание. См, задачу 48 гл. ! ! 5. 207) Расходится. Указание. Показать, что функция г'1х) = ~еся сбплах удовлетворяет условию С~.г < е ( г 1х) ( Сзх для я > 2х, где 0 < С~ < Ссь 208) Сходится условно. 209) Сходится условно. 210) Сходится условно прн 0 < а ( 1, сходится абсолютно прн а > 1, расходится прн о < О. 211) Сходится условно. Сравните с прсдыдуп1им примером. 212) Расходится.
213) Сходитгя абголютно прн // > а + 1, расходится при //(о+ !. 214) Сходитгя абсолютно при // > 2(о+ !), расходитгя прп // < 2(о+ 1). 215) Сходится углонно. Укаэание. «/2 «/2 < /2 а!п .с НЯ = у2 го«' 2 ИЯ < 2/л — 1,/ ,/ ~/и — ! о о 216) Сходится абсолютно. См. указание к //2 215. 217) Собственный. 218) Сходится. 219) Сходится.
220) Сходится. 221) Расходится при о > !, сходит<я при о < 1. 222) Сходится. 223) Сходится. 224) Сходится. 225) Собственный. '226) Сходится. 227) Собственный. 228) Расходится. 229) Расходится. 230) Сходится. 231) Собственный. 232) Сходитсн. 233) Расходиэтя. 234) Собственный. 235) Сходиэтя.
236) Сходится. 237) Сходится. 238) Рагходитгя. 239) Собственный. 240) Сходится. 241) Сходитгя. 242) Собственный. 243) Расходится. 244) Собственный, 245) Расходится. 246) Сходится. 268) . 269) а~/ 2- ! ' 2/Г:о2' 270) . 271) оД+ о~' еД+ о~ )п(О+ /о2 — 1) 272) при о>1;1прио=!; о~/а2 — 1 аггсо5 о прн 0 < о < 1. „ф 2 273) /я = и/«-ы /« = и! 2н — ! (2п — 1)И 274) /„= — /„ы /„= «/я. Укаэаннг. 11римг- 2«+2 пить ргэультаэ примера 5! гл. ! 1 3. 275)1»= ",7е=-,!ь= — ь и(и — 1)7„ г 1 1 иг ьаз ' и' 1 + аг' (25 — 1)! (1+ агйзг+ аг) ((М вЂ” 1)г+ агг (2/г)! а(а!+ 2г)(аз + 4г)... (аз+ (2!г)г) 276) 1„(гп) = — — 1„(гв — 1), 7„(гп) = + (гв — 1)!(п — 1)! и!, з 277) 7„(пг) = ' , . 278) 7„ = †„ , зьи(п + 1)-. (ги + и — 1)! 2ази! л (и')г 279) 7„= — ~;сов(и+ 1) —.
280) 2г", 22л5 4 (2п+! г 281) ' . 282) (2п — 3)!! лА" ' ( — 1)" 'ьг (2п — 2)!! (АС вЂ” Вг)в+1' 4и 1 "-! ( 1) -!.Ю1 283) ( — 1)" — — + 2 ) \ а аг+ 4гпг / ныл! 284)( !)и~ ' +~,--( „вь-ье.~ 285) )/ 2 1 2, ) (2и+ 1)!! (2п — 1)1! л 286) ( — 1)" и!. 287) (2и) И 2 (и — 1)!! (п — 1) 1ь 288) 1„= гг, и = 2й; 1„=, в = 25 — 1. п1! ' и!! ьь г лг 289) п1~ ~( — 1)"+'С" 1и(/г+ !). 304) —. 305) — —. 306) 1. а 12 6 й=! ,г лг лг лг лг 307) †. 308) †. 309) †. 310) — . 311) — †. 312) — — . 4 6 12 8иг 12 6 ,„г лг ьгг з г 313) — —.
314) — —. 315) —. 316) —. 317) 2 — —. 8 24 4 8 6 318) 1и(1+ Л). 319) — ьг!и2. Указание. вььь~ььь — в!ига = в!!!(ььь — ы) вьи(ььг+ьь), и = в!им. ьг 1 320) — !и 2. Указание. Сделать замену 1и — = л и ироиите- 2 вьп ! срнровять по частим. 551 321) —. Указание. Сделать замену х = я!и ! и проиптсгриро- 2 вать по частям. 322) —.
323) —. 324) —. 325) л+!и л л л ! ) ~/2+11 ~/2 2 ~/2 2,/2 ~ ~/2 — 1 ~ 326) —. Указание. Обозначить соя!о = и и сделать замены 2 -г=* с — е~=~'ь=ее=*) л 327) — сову. Указание. Обозначить соя р = и и сделать заме- 2 г=* (' — *г = ( — 'г' — Е. +ОЭ Г х 1пхг!х 328) О. Указание. В интеграле /! з, сделать замену 1 1 + хз'"че х= 1 у 329) — — 1п2. 330) — — !п2. 2 2 г 331) — — !и 2. Указание. Сделать замену я. — х = у.
2 332) —. Указание. Проинтегрировать по частям. ~/2 3 333) — 1п2. Указание. Сделать замену х = я!и у. 2 л г л 334) — — !п 2. Указание. Сделать замену х = яп у. 335) —, 2 2 336) О. 337) — 2)п2. 338) л!п 2. Указание. Сделать замену х = 18 у. 339) лъ/2. 340) 0 при и нечетном, л при и четном. Указание. Выразить 1 еьп(п — 2) соя х этот интеграл через / дх. япх а 341) 0 при и нечетном; — — при и четном. и 342) — (!Ь| — )а!), Указание. Проинтегрировать по частям и 2 применить результат примера 49 гл. 1 ! 3. 343) ~/л()Ь| — )аО. Указание. Проинч'егрировать по частям и применить результат примера 51 гл. ! 1 3.
344) л()а) — )Ь)). Указание. Проинтегрировать по частям. л 345) —, Указание. Проинтегрировать по частям. 2~/2 346) —, Указание. Проинтегрировать по частям. 2~/2 347) —.-~~(2и+ 1) "— (2и+ 1)(2и — 1) "т ( — 1)"+" х( э 2 '(2,.)!'2 ~ + (2и — 3) " —, в = 2и+ 1, и б й; (2и+ 1) 2и 12 1)~+и+~ 2з" 1(2,и)! (2и)з" !и 2 — 2и(2и — 2)з" !п(2и — 2) + 2и(2и — 1) + (2и — 4)э" 1п(2и — 4) — ., в = 2и, и Е 1Ч. я (2в — 1)0 2 (2в) 1! 349) в" — в(в — 2)" + (в — 4)" в(в — 1) 2" (в — 1)! ~ 1.2 351) !и —. 352) 1и ~1+ -) !и -.
353) — !и -. 354) !п —. Р / 4'! )3 я а Ф а (~ р! а 2 ф а 1 355) — — !и 2. Указание. Рассмотреть тождество 2 1/ х й — — -!= — — (е ~ — е э')+ хэ 1е* — е е 2) 2х 356) )! — я+е1п †. Указание. Иопоиьзовать равенство Я Т- е — е и*+ я(а — ф)е и* Их = хэ е +оэ +со г е — е -я* е е е -й их+ (а — !3) / — ях э х о +со о Г е — е г и преобразовать / Их интегрированием по хз частям.
е 357] О. 356) а1п(а( ) 0 359! а !и ! а ) — а. Указание. Испольэовать равенство Ох соа х — егп Ох = Ох(соэ х — совах) + Ох соаах — э!и Ох. а а4- !3 -4а'-Ж 360) 1п~/ . 361)!и ™Ю~ 362) !пк. 363) а)3!и —. 533 2Ь 2а 364) о!У!и —. 365) 2Ь!и — +2а1п —.
й а+Ь а+Ь 366) Указание. Полагая А„= — А! — Ая — — А„п рассмотреть интегралы А, соя а;х — А< соя а„х о, Их = — А; !и —. х йе а (2п — 1) О !1 367), !и —. Указание. Свести интеграл к интегралу (2п)!! а Фруллаии, заменив я!пз" х на 1 2п(2п — 1)... (и + !) я)п "х —— 2ю ].2,,п 368) 1п —. !7 (2п — 1) О '1 !3 369) 1 — "у! !и —. Указание. Свести интеграл к ин(2п)!! ) о тегрелу Фруллани, заменив соева х на зе ! 2п(2п — 1) ° . ° (и + 1) 2 12...п 370) — при Д < о; — при !7 = а; 0 при ~3 > а. 371) — прн о < )7+ 7; — при а = !7+ 7; 0 при а > !1+ у.
4 ' 8 н я 372) — !7 при !7 < а; — а при !7 > а. ' 2 373) — а~аз...а„.374) — )а — Д. 375) Равномерно. 2 2 376) Неравномерно. 377) Неравномерно. 378) Равномерно. 379) Равномерно. 380) Неравномерно. 381) Неравномерно. 382) Равномерно. 383) Равномерно. 384) Равномерно. 385) Неравномерно. 386) Равномерно. 387) а) Равномерно, б) равномерно. 388) Равномерно. 389) а) Равномерно, б) неравномерно. 390) а) Неравномерно, б) равномерно. 391) а) Неравномерно, 6) равномерно. 392) а) Неравномерно, б) равномерно. 393) а) Неравномерно, б) неравномерно, в) неравномерно, г) равномерно, д) равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
