И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 52
Текст из файла (страница 52)
о +со 371) вш ах вис 11г вш ух с1х, о а > О, с7 > О, 7 > О, и = спал(сс, 11, 7) вшах вш17х 372) с1х, а > О, > О. х х о +сю сбиох ьбпа.сх оспа„х 373) ... с1т, х х х о Н а>0, ас>0, с=1,2,...,и, а>~~ ас с с1х 374) / (вша.т — в1сс)ух)т —. г о Сабетпеппые пгпегрелм, зеепезщпе от параметра Исслсдоиать раииомериу1о сходимогть отиоситсльио мио- жсстиа Х ссмсйстиа функций /(х, у) ири у — 2 уа. 315) /(х,у) =2' +у, Х = [ — 1,1], у — 10.
г 376) /(х,у) =, Х = (О;+со), у -++со. 212У2 ' г уг 377) /(х,у) = г г Х (1ь Усо), У-1 О+. .2 2 378) /(х,у) = 2 ., Х = (1;+сю) У ++со, !+хгуг' 2 2 379) /(х,у) =,, Х = (1;А), у — > О+. 380) /(* У) 2 У 2 Х (1 + ) у + 381) /(х,у) = . ', Х =(О;тоо), у — 10+.
382) /(ху) = г ' 2, Х = (1Л), у — >+со. 383) /(х,у) =, ",, Х =(1;+ ), у- О+. 384) /(х,у) =1и(1 — у соах), Х = (О; — ), у-+О. '2/' 385) /(х,у) = !и(1+ уг!822), Х = (О; -), у-> О. 386) /(х,у) =1и ! — — сйи х), Х = [О; — ], у — 1+сю. уг )' 387) /(х, у) = у !и(хг + уг), Х = (О; 1), а)у->О; б)У-11. 388) /(х,у) =,, Х .= (1;2), у — >+ 1и(х+ у) !и(21 + У ) 389) /(х., у) = ' —, Х = (О;+со), у а гс!П(ау) у+1 а) у — 2 И+; 6) У вЂ” 1 .~ с 390) /(х,у) =, Х = [1;+со), у(у+1) ' а) у -~ О+; б) у -+ +со.
391) /(х,у) =, Х = (1,+со), я(п(х~ + у~) я а) у — > +со; б) у — ~ О+ . Э92) /(х,у) =, Х = (1;+ ), х +у а) у — ~+со; б) у — > О+. Э93) /(х, у) = — (е*" — 1), Х = (О;+се), 1 а) у -+ О+; б) у -+ 0-; в) у -+ -оо; г) у -+ — 1; д) у -) 394) /(х, у) = 16 †, Х = (О; 1), а) у -> 1+; б) у -~ 2. 2у' 395) /(х,у) = (х — 1)1я —, Х = (О;1), у а) у-+2+; б) у — ~3. Проверить, выполняется или нет равенство 1пп /(х, у) Их = 1пп /(х, у) ах у-~уе у у и-+Юо я а для следующей функции /(х, у). 396) /(х, у) = я~~/ха + уа [а; Ь] = [О; 1], уе = О.
397) /(х,у) = — е т, [а;Ь] = [О;1], уэ —— О. у2 398) /(х,у) =, [а;Ь]= [О;1], уе = О. ( '+ у')' ха 2 399) /(х,у) = — е я, [а;Ь]= [О,"1], уе — — О. 400) /(х,у) =, [а;Ь] = [О;2], уе — — +со. 401) /(х,у) = агс16 —, [сОЬ] = [-1;3], уе = О. 1+ у' Найти следующие пределы. 1/2 403) 1ип / в~сов(ху)4/х. „+е, о 404) 1ип / ~/х2+у24/х. У-40 / -1/2 2/2 /р 406) !ип /' о 4/э+2 Ых 405) !ип / в-)с / 1+ х2+ у2 У 2/2 407) 1ип / 1 — увезп2224/у. / о 1 Г 408) ! зиз — / [Г(1 + у) — Г(1)] й, 2-40 У а где Г(х) непрерывна на [А; В), А < а < х < В.
2 «/2 409) 1ип 41х 410) 1ип / е-е э)е* 4/х Г 1п(х + у) 2-4+с // 1П(Х2 + у2) е-+422 1 а 1 к/2 4/х Г взп" х 411) О / . 4!2) 2 «,со//1+(1, =) --/ 1+ха с а Исследовать на непрерывность функцию /2(у) = /(х, у) 4/х, у е !'. 4И) ~(у) = Г(х,у)4х, Г(х,у) =,' >„"' о У = ( — сю;+оо), 402) Г(х,у) = х 1/ ' ' [а;Ь) = ~0; — ], ус — — +оо.
О, х=0, 1 4!4) Iо(у) =- ~~ Л(у,т)о(л)й. Ъ' = ( — сс;+оо), еде К(у,е) = ' ' ~ ' о(т) Е !!(О; !) 415) 1о(у) =- / аетате — сЫ, У = (у; у > 0). у о 1 4!0) Р(у) = !п(г~+ уо)Не, У = (у: уф 0). о > 417) Р(у) ж / е" Не, У = (у: у ф 0). о 3 а 1 419) !е(у) = / ' ~Ь, ~ Е С(О;1], У = (у; !у! < оо). Г уД*) а 1 зеа 420) 1''(у) = ( ое, У = (у:)у) < ). х+у о 42!) ~(у) = / ., 1'=(у:у>0) Нх ее — к+у а 422) !е(У) = о~(1+х)~ос~х, У = ( — оо;+со).
о п/2 42;!) Цу) = ~ ., 1 = (у:у > О). й. ху — вше+ 1 о ч 424) 1г(у) = ~ х' 1 "1 г(х, у = (у; у > 0). ,/Р Можно или нет вычислить по правилу Лейбница нронз- волную функции Р(у) в точке уо = 07 3 425) Р'(у) = /1и ~/хг+уг 4х. а 1 426) Г(у) = Дх,у) Их, о агейла — — , 0 < х < 1, 0 < у < 1, у ху х к+у' 2' х=О, О<у<1. У(х,у) = »+г 1 427) Г(у) = / 7'(х,у)Их, е хе», О<к<1, 0<у<1, г(х,у) = О, 0<к<1, У=О.
1 х агсьб-, у ф О, 428) Г»(у) = /У(х,у)Их, /(х,у) = „У е 2' Вычислить проиаводную функции гт(у). ь » 429) Р(у) = / е» +" Ых. 430) Р(у) = /(х+ ху)'еИх. » о 2 и' 431) Р(у) =,/хууеньхуйх. 432) Г(у) = е ' Нх. Р' ь+р 433) й'(у) = ~е "Ух. 434) Р(у) = „~ ' 0х. сОЭ в 435) 7а(у) = сов ~/худх. 436) 1а(у) = / 4х. Г )и(1+ ух) 61П в 437) Р(у) = 7(х+ у,х — у) 4х, а Дх, у) с С'(( — оо;+со) х ( — со;+оо)). 1/в 438) Р(у) = ~ Их, у > О. Г !п(1+ ух) 1+у а 430) Р(у) = /,(х / в1п(ха+ ва — уа) 1в. у' 440) Р(у) = ехр( — у(х + у)а) ах.
а 441) г(у) = /~(х)в1кп(в1пух)с1х, у > О, ~ Е С ([О; 1]). а 442)ра'=1(/ "'' ю)~*, у>О. Вычислить аторую производную функции г'(у). У 443) Р(у) = (х+у)е а(х. а 444) г(у) = (я+у)/(х)дх, а где Дх) — дифференцируемая на ( — оо;+со) функция. 446) Р'(у) = ~Их)[ — уМх, а где Дх) — непрерывная на [а; Ь] функция. 446) г"(у) = /,)'(х)(у — х) 4х, а где Дх) — непрерывная на ( — оо;+со) функция. а е 1 447) Г(у) = — / И~ ((у+~+я)~Ь~, о > О, о а где 1(х) — непрерывная на ( — со;+со) функция.
448) Найти Р',"ю если г'(х, у) = / (х — уо)/(л) 4о, Мо где 7'(л) — дифференцируемая функция. 449) Проверить, что функция Е(у) удовлетворяет уравнению Р"(у) = -о(у), уб [О;1], где г"(у) / К(у,х)о(х)<1х; К(у,х) = (У а н «(х) — 'непрерывная на [О; 1] функция. 450) Проверить, что функция и|(г) = е""оо"'Жр удовлеа 1 ю г о творяет уравнению и + — и — п и = О. г 45!) Проверить, что функции у = х" / соо(хсоо1о)опР'1ойр и о и у = соо(про — хо(п1о) 4~р удовлетворяют уравнению а у" + о + ху'+ (х — п~)у = О.
452) !!р<ььь< рич<ь рапса<те ь Р!" 1(х) = (и — 1)1/(х), где гг /'(х) = /(у)(х — у)" ' </у. о 1!рименяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы. г/2 453) / !п(а2 — в1п2 </г) </<а, )а) > 1. о г/2 454) / !и(1 + (гп2 — 1) вьп х) </х, гп > 1. о гг/2 455) / 1п(аг вьп х + Ь сова х) </х, аЬ и 0 о г г/2 Г вгс16(аббх) 456) / !п(1+ 2асовх+ а ) <!х. 457) / $6х о а ~/2 о <г/2 459) 1и —, (а) ( 1. о 460) / е~~~~сов(ав(пх)</х, а > О.
о гг/4 г/2 Г г5п(аобх) 461) аг<<16(а 1 — 162 х) Нх. 462) </х. 16х о а г/2 агс!6(альп х) в(п х а л 1и(1+ Оооо х) 1 0 < а < 1 О л/2 1 (1 + О ) !7~, 0 < < 1. 466) О 466) 1п(1.1. Оо!ах),( 0 < а < 1 О 1п(1+ ах) 467) 1+ г о !(а,Ь) = (а+ух — х ) !Гх принимал наименьшее значение. Выяснить, справедливо или нет равенство л ь ь л л~~Х1*.л!"*=!' л*! у(* о!Ф л а а для следующих интегралов. ! 1 Г у — х 469) / !1х/ Ф.
о о ! 1 470) / !(х/ ~ — — — ~е л Иу. .) ~" Ж о о 1 ! у х 471) „~ е1х~ г г е)у Г соя ху 472) / !(у ~ — Ух. ,/ х.+у о о о о 466) сгъупкцию 1(х) = х па про — омсж тке 11;3] приближенно заменить линейнон функ " ф цией а+ бх так, чтобы интеграл а/о 1 1 1 473) о!у о!х. 474) о!у — агс68 — о!х. о Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить следующий интеграл. 1 Г Ь .а 475)/ о!х, а>0, Ь>0.
!их е 1 6 .а ооо)! ' (ь-)- о*, >о,о>о. х 1пх е 1 1о хь — х' >1 / (о -) о*. . > о, » о. х) 1пх о а/г Г в+Ьвшх 11х 478) / 1п . —., а>Ь>0. в — Ьвопх мпх е 479) „, и Е Ио а) )а) < 1,6) )я) > 1. у (! — 2а сов х+ аз)" ' в +оа Г Нх 480) Показать, что интеграл ) ,/ х'* 1 а) сходи гся равномерно на промежутке 1 < ое < о < +со; 6) сходится неравномерно на промежутке ! < о < +со. 1 Г оох 481) Показать, что интеграл ) — сходится неравномерно на промежутке (О; 1). 5!О 1!Х 482) Показать, что интеграл хО е а) сходится равномерно на промежутке ! < ое < о < +со; б) сходится неравномерно па промежутке 1 < о < +оо.
+ОО 483) Показать, что интеграл ас 4х о а) сходится равномерно на промежутке 0 < а < о < 6, абй,ббпр; б) сходится неравномерно на промежутке 0 < а < 6, 6 Е й. Исследовать равномерную сходимость интеграла на мно- жестве М +ОО Г хО / 1 484) / 1!х, а) М=( — 1;0); б) М= ~ — —;0 ,/ 1+х ' ' ' ! 2' о 4ОО 485) 1+ (х — а)" о а) М = (-со; а), а ) 0;,б) М = (О;+со). +ОО ох 488) з з, М = ( — оо;+ос). 1 -~ хз 4- оз оз — хз 487) / ях, а) М = (-1;1); б) М = 61. (оз -1- хз)з 1 488) 1!х, М вЂ” (О, !]. (.+,„)э 1 Их 480) /, М = (2;+со). 1 ! оз — хз 490) / з з 11)х„М = (О: !). /,Г;(.з.~. хз)1 е 511 501) г с1х, а) М= — 2; —; б) М=( — 1;1) (1 — * ) с, 3,с' е +со Г о о а) М = (О; — ); б) М = (О; а — 1).
503) с(х, а) М = (О,А); б) М = (О;+со), х24 о о +со 504) ~ е *аге16ах~с(х, о а) М = (асс Ьоо), оо > 0; б) М = (О;+оо). +со 505) / е со ~с с)х, а) М = ( — оо;а], а >,О; б) М = [О;+со). о 506) [ с4х, М = [О;+со). о 507) / сге о~с)х, е а) М = [а; Ь], Ь > а > 0; б) М = [О; Ь], Ь > О. 1 508) [ х 'е 'с(х, М = [а;Ь] С (О;+оо), а <1. о 509) хо 'е с4х, М = [а;Ь] С (О;+со). с +со 510) х" е Нх, о а)М=(0;А); б)М=(0;+оэ); н)М=( — 1,А) 513 511) е ' Ь:, о а) М = (ао'+эо), ао > 0; б) М = (О;+со). 512) (!!о+ х)е !1х, а) М =(1;5); б) М =(О;5). о 513) / о е ох, а) М = (1/2;2); б) М = (О;+со). ! 514) ~ !/ае ' Нх, М = (О;+со).
о 515) хе О+" 1!4х, М = (а',Ь) С (О;+со). о 516) ~ ае ~ <'+~ 1 !(х, М = [с; !4) С (О; +со). о 1 517) / <(х, а) М = (-1;0); б) М =(-9/10;0). о 518) / !1х, М = ( — 1;1]. е 1а(1 оохз) l .л=-л о 519) х '! п"' * Их, о а) М = (ао', +со), ао ) 0; б) М = (О;+оо). +оа 520) ( ., Й', а) М = (О;10); б) М = (О;+со). / 1пох / 1+ха ! 514 Г !н(1+ах) 521) ~ Их, ахх~+4 о а) М = (ао; +со), ас > 0; 6) М = (О; +оо). 522) / †, а) М = [1/2; 2/3]; б) М = (О; 1). Их ! +со /х 1 .1- ахх~ 1 524) ~ Их, а) М=(ас,+ос), ао>0; б) М=(0;+со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
