И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Функция Г(/1,1) = '2~ 1/2 à — в1п — 12х ограничена на [ О; -) х [О; 1]. Итак, интехз х [, '2) л 1/2 Г гвп (х+ —,') грал ) ' л(х как сумма двух равномерно сходящихо ся па [О; 1] интегралов сходится равномерно па [О; 1], +а Г /я1п (2: -1- 3) Интеграл / Их тоже разобьелл на два слага- 1/2 ЕЛ1ЫХ 433 1 .' '/,с' 1 51П .С СОВ— Г / сов х я< и —,' ' </х + ) ' </х 1/2 1/г и будем рассматривать каждое из пих.
Так как 1 соя хяш — /2 1 « — —,, х Е ~ —;+оо, 1 Е [О; 1], г-- 2' ~~ 1 | ~ 2 | ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~1 +ОО 1СОВХВ1П— то в силу признака Вейерштрасса интеграл ) Ох 1/2 сходится равномерно и абсолк1тпо на [О; 1]. В первом слагаемом подьш <егральиую функцию удобно 21п х представить как произведение — 4 <ов — (если же взять х х 1 сов— произведение в<п х — ~, то придется дополнительно провех соя — [ 1 рать монотонность функции — е на ~г;+ос при / Е [О,'1)). х [2' Г гйпх Интеграл ) — !/х сходится и силу признака Лб!еля — Ди- 1/'! рихле, а поскольку подынтегральная функция пе зависит от /, то эта сходимость равномерна па [О;1].
Функция у(х,1) = — 1сов — ограничена на 1-;+ос х [О;1] и монотонна па х [2' +<' ! 1 Г 1 ей и х сов — ' —;+оо) при любом /6 [О; 1). Итак, интеграл [ </х 2' ) 1 сходится равномерно на [О; 1], следовательно, интеграл 1 /в<п (х+ —,') </х гходпчтя равномерно ня [О; 1). 1/2 Объединяя все ньппесказвпное, получаем, что интеграл /вш(х+ 1) </х сходит<я равнолмрно на [О; 1]. е 1(х( х(4п+ 5) 2С , СЕ(0;1], х>, СЕ(0;1], к(4п+ 5) еСп Сх, у(х 1) — н(4п+ 5) х > 1, 1 = О, О, где и = п(1), в Се(п Сх У(х,С) = —.
Тогда получим, что ь 1) гак как функция г'(Ь,С) = Св(пСхдх = совС вЂ” совЬх е ограничена на [С кроо) х [О;С], функция — монотонна па [1;+оо) +аа 1 н — =4 0 прп х -+ +со на'[О; Ц, то интеграл 1(х,С) Нх снох 1 Сравнивая формулировки признаков Абеля — Дирякле для сходимости несобственного интеграла, независящего от параметра, п для равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, видим, что требование локальной монотонности слева в точке и функции у(х) заменено требованием монотонности функцин у(х,1) при фиксированном 1 на всем промежутке [аам).
Есля же функция У(х,1) монотонна па промежутке [Ь(1);м), где а ( Ь(1) < ы, то равномерная сходимость интеграла / 1(х,1) Ых на Т и огранва ченность е(х,1) на [е;ы) х Т не гарантируют равномерную скодимость интеграла у(х,1)у(х,1) ях на Т. Приведем соа ответствующие пример. Пример 46.
Для 1 Е (О; 1] найдем натуральное число п(1) пр) ч-1 С такое, что у — > —. Положим Ч двтся равномерно на [О; Ц; 2) функция у(х, С) непрерывна и огриннчсии на [)орсо)к[0;Ц н прн каждом С Е [О; Ц локально монотонна слева в +гю.
Следовательно, прн каждом фнкснроианиом С Е [О; Ц интеграл /(х, С)у(х, С) Й сходится в силу признака Абеля-./(н- 1 рнкле. Покажем, пользуясь крнтернем Коши, что сходнмость этого интеграла на [О; Ц неравномерная. 2я 2гг(п(С) + 1) Пусть С Е (О; Ц, Ь! — —, Ьз— , тогда 3 )22)С ь, ь, л)г) с . 2 Г Ссбп Сх Г зггг Сх У(,С) (,С),= Г =СЕ Сч ь, м Так как подынтегральная функция неотрнцательна, то С)зь)С 3 з+3 Сг 2 Г сбп Сх Г игп Сх гСх > х,/ х 3 и '".22. С4 Ф В 1 [2я4+ гг/4 2хд+ Зх/41 Так как вгп Сх > — для х б ~ С ,АХЕИ, то Э ~+3 |4 сбп Сх 1 2я4+ Зя/4 1 гСх > — 1и 2 2яд+ я/4 2 4х4+ л/2 104' — >— > —, ~3 ° 4 Е 14.
Объеднняя все полученные неравенства, имеем, что ьз и(г) 1 /(х, С)у(х, С) гСх > — ~ — > —. 10 , 4 10 ь, !С; Игак, для лгобого 0 > 1 возьмем такое)и б (О; Ц, что — - > С, 2гг 2х(п(С) + 1) тогда числа Ьг — — — н Ьз — — удоилстнг1ряигс мериСо Си 1 ш <и"п<у Л < Ь«1<о н / )(г,1о)у(г,го) </о > —, откуда сле- !О' +< Ь, дуст, что )(л.1)ц(г,г) <Гв гходится неравномерно иа [О, 1). < Теорема об интегрировании несобственного инте- грала по параметру. 11усть ссмейгтно функций )'(л,1), х Е [а; о<), 1 б [с; <1) удовлетворяет условиям: 1) /(и,1) Е <,'([а;ь<) х [с; <1[); 2) интеграл 7(1) = //(а, 1)<!л сходится равномерно на [г; <1).
а Тогда справедливо равенство ~Ц<<*, «*)«=1<(1<<<*,««)< . с а а с Заметим, что функция 1(1) в силу теоремы о игор< рынности несобственного интеграла непрерывна и, следовательно, интег и о ема на с р 1у [,1) / агсгя а Пример 47. Вычислить интеграл ~ <)л, цольоуо 3 „агсгн е )' <11 ясь формулой — = 1 =/ 1+,о1о ,а >О. о Решение. Запишем данный интеграл и ниде ! < 1 11окажгм, что функция /(л,1) =, —,, — - удонлетно- (1+ о.о1о) ~Ià — о:о ря< т условном теоремы об интегрировании несобгпкчшого нот<трала цо нараацтру и, глгдона ггльни, ! < 1<""'"""=1<(1<л,,« ° ) <с=1<(1<о.,«< ) «.
о о о о 437 1 огпргрьпньч <ю ! .' ): [ о ',О:1) к[О;1! (!+го!г)ьу!-хг Для ! Е [О;!] их!сом, что ! к/г <!х !' «г (1+хг!г)Л вЂ” хг / 1+!го!игл о а <!и л 1+1г+нг 2Я~!г о ! <1х Таким обраэол<, интеграл схо итгя для (1+ хг!г) ! ха 2 х д д о любого ! б [О; Ц. Поскольку миожестио значений ! есть компакт, функция неотрицат<льна и непргрыи(1+хг!г)!/Г-хг <(х иа на [011) х [О; 1] и функция <(!) = а — непрерывна на [О; 1), то в силу георемы Дини 2х/1+ Р ! интеграл сходится на [О; 1] равномерно. .) «+* ! ) /1: о Итак, ! ! ! /:7-':=~У,,,.;; .)" ! — <!! = —,!п(1+ !<<2). 2Л+ уг 2 о +ы !' я<пах Пример 48. Вычислить пят<трал ~ ' 'с < и,, ) х о а Е В. Решение.
Зепи!нем данный интеграл в виде +оо а ~«~.-'а . ) .. а о 11окажем, что при любых 12 > О и о Е й функция 2 «х,1) = = е» соо$х удовлетворяет условиям теоремы об интегрировании несобственного интеграла по параметру н, следовательно, +СО +со а 1""*,* ' *=]'ДС(*,О ) *= о о а +оо а +со = 1с[1с ![Па)с*) а = Д1с .-'. с*с*) сс о а о о Функция Х[х,1) = е д» соо1х непрерывна на «О;+со) х [О; о), +00 о Е й. Так как для любого Д > 0 интеграл / е»» Йх схоо дится, то неравенство ]у «х,1)] ( е»*, 1 Е «О; а], показывает, что интеграл / е Д»соа1хс1х сходится равномерно на [О;а] о в силу признака Вейерштрасса. Итак, +СО а +со с*=Я.- - с.)а= а о а а =!' ° = С 12 о 2 Ых = ахсМΠ—, Д > О а Е К.
122 + 12 а +оо 1 о!и ох Пример 48. Вычислить интеграл Днрихле ~ 4х, об%. о Решение. Воспользуемся результатом предыдущего при+со „вгп ах а мера: .г'(!) = е ~~ ггх = агой —, ! > О. Интеграл х +оо о „в!и ох е '* — г!х сходится равномерно на мггожестве [О;1] х о в силу признака Лбеля — Дирихле, поскольку интеграл +оа / гйп ах г!х скодитсл равномерно на [О; 1], функция е '~ мое нотоннана [0;+оо) при любом ! Е [О;1] и 0 < е ьг < 1 для всех х 6 [О;+ос), ! Е [О; 1].
Следовательно, в силу теоремы о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, функция +оо Г га вгп вх У(!) = / е г(х непрерывна на [О; 1], откуда получао ем, что +оо вгп ах а и Их =,I(0) = !пп,/(!) = !пп агс1я — = — в!япа.
х г-го+ г-го+ 7 2 о Внимание! В приведенных промерах вычисления несобственнык интегралов проверка выполнения условий теоремы об интегрировании несобственного интеграла по параметру — существенная часть решения. Отсутствяе такой проверки — — грубая ошибка, и формальное вычисление никоим образом не представляет решения.
Приведем пример, показывающий, что условие равномерв ной скодямости интеграла,/(1) = / у(х, !) Нх на [с;гг] суще- а отвеяно для справедливости равенства ь в ь /~да = /(/го,оа) ь. г 2хз1з Пример 50. Функция У(х, !) = ! агсс!и !лов 1 -1-ьзхь опре- Лслепа и и< прсрымпа ня множестве [О; -1 оо) х [О; 1). 1'ак как 2хг1г 'О)=1 лес" = )г а~*'- )( = 1+ Рхг е о )пп Ь1 агсс1к Ь~1 = 0 ь Ллл всех Е Е [О; 1), то /,l(1) г11 = О. Функцвгя е ! 1 2 г1г е ° )=/л.,се=/(~.~б~*'- ) а= 1+1. ) е о 1 3 1' 1 Г 1зхз Г хз1з 2 — агссгя(ГХ )~ + — / З 4 Гй — 2 / Л аГ [е 2/ 1.Ь1зх4 — /1 Ь1зхл е о 1 = — агсс1кх — —,/ ~1— г11 = 2х'/ [, 1+1* У о 1 2 3 .1' 3 = — агсс1их + — агс1к1х ~ — — = 3 2 2хе [о 2хг 3 3 =; агсс1кх — — + — егерях, х ф О, 2 2хз 2хл непрерывна на [О;+оо), если 1л(0) = —, так как /3, 3'1 1пп ~ — агс1кх — — ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
