И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Итак, вс< условия теоремы о дифференцировании по параметру выпол+со невы, следовательно, функция,/(1) = / с '~ сое!х~1х, а > О, о непрерывно дифференцируема на любом отрезке [с; ~) С Е, т. е. /(1) Е С (К) и длв любого 1 б й — *3 У(1) = — / хе '* в)п1х<1х. е Р Первообразная функции хс '~ яш1х относительно*, если ни а, нн 1 не равны нулю, не выражается в элементарных функциях, но из равенства -<л< 1, ° ~+ ° — хе <л а1п1хйх = — е ' а1п1х~ 2а с е +оо +00 — — / е '* соа1х«х = — — / е ' соя1хох 2а,/ 2а,/ следует, что функция <(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1'(1) = — — У(1). Из зтого уравнения и началь2а 1 Я 1 Гк ного условия з(0) = -~1 — получаем, что з(1) = — ~)< — е <..
2у'а 2 и Если аналитическое выражение функции Дхд) илн Д,'(хд) не определено при некоторых значениях х б [а;м), но зти функции могут быть доопределены так, чтобы получнлнсь функции, непрерывные на [а<ы) х [с; И) (или [а;ь<)'% [с; <1)), то такое доопределение всегда подразумевается.
При вычислении конкретного интеграла в таком случае проверка возможности доопределенил функции "по непрерывности" — облзательпая часть решения. + 2 э г г. -аа — с — Ь< Пример 54. Вычислить интеграл / Нх, О ( а ( Ь. с — ы — ое е ' — е Решенно. !'яггкн~трнк1 функцшо Дх,!) =— хз 1 Е !Н, !й янялнтнческо< нглряжоног нг имеет смьюля нрн х = О. ('лгдовачтльно, необходимо проверить возможность онргдгок пня значений )(0,1) так, чтобы функции 1(л:,1) стола непрерывной на [О;+ос) х И.
Соотношение — ьг — ок о е — с !нп =6 — 1 с-чог хз показывает, что, наложив у(0,1) = Ь вЂ” 1, получим функцию, непрерывную на [О;+со) х К. Итак, возможногть доонределения "но непрерывности" функции 1(х,1) на [О;+оо) х ЬЬ нронгреиа. Далее, непрерывность функции 1,'(х,1) = е следует из ег аналитического выражении, "!ак как а > О, +00 то интеграл / г '~ Их сходится.
Отгюда н нз неравенства о 2 з 0 ( е ' < е о*, 1 Е [а;Ь], в силу признака Вейгрштраг+со га следует равномерная сходимость интеграла / г ' дх = о +сю +с" о о гсы — еь. — / Я(х,1)~(х на [а;Ь]. Иаконец, / дх = 0 хз о о нри 1 = Ь. Итак, все условия теоремы о дифференцировании по наралчстру выполнены длн семейства 1(х,1), х Е [О;+со), -о* г — ое 2 е — с 1 Е [а; 6], где функция,/(х,1) =,, х ф О, н доонрсг делена "но цепрсрынности" на множсстнг [О; +со) х [а; 6].
Сле+го к Г с — 1х — г — Ьл донятельно, функция,7(1) = / Их непрерывно хз о днффгргнцнруелоа на [а; 6] и удовлетворяет равенствам: ,/(6) .— О +оэ Г „! 1' „1 1к У(1)= — ~ г 'г Нх= — — ~ г "Йг= — — ~(— ,л l 453 (см. пример 01). Остюда получаем по.)()] = л/л6 — л/х) Окончательно, +сю Е-юю -ью с)х = )(а) = л/я(сЛ вЂ” с/сас) (О < а < 6). о +с сов ах Пример 55. Вычислить интеграл Ланласа / —.
с)х. / 1+ г о сов)х, — хлйн)х Решение. Функции Дх,1) = — и /",(х,)) =— 1 -1-хг ' ' 1 -1- хг сов)х ) 1 непрерывны на [О;+со)х Й. Неравенство — 1 < н 1+ .21 - 1+хо +сю Йх сходнмость интеграла /, показывают, что и силу нрн- / 1)х2 о +сю +сю Г сов1х знака Вейерцгграсса интеграл )(х,)) с)х = / с)х = / 1+; о о сходится равномерно на 1в. Нри люболл в> 0 функцнв Уг(Ь,)) = ь в)н Ы айн)х ь)х = — ограничена на [О;+со) х [в, +со); функ- 1 о ция у(х,1) = — ие зависит от 1, монотонна на [1;+со) и 1+хо 1пн у(х, 1) = О. Следовательно, в силу признака Абеля — Див-с+сю +сю рихле интеграл / в(н)х.
с)х сходится ранноме)эно на 1+г2 1 [в;+ос) при любом в > О. Применяя критерий Коан, видим, что равномерная сходимость интеграла — —, вьн )х с)х /'1+в' ! на [в;+со) зквиналснтна равномерной сходимостн ннтвграла +сю х сов)х ип )х с)х на [г;+со). итак, сслк йсгчсо /(л., l ) —.— 1+х- 1+ х'-" о х Е [О;+ос), 1 б [О;+ос), удоолстноряст истлс услонпнм слсд- стеня теоремы о дифференцировании несобственного инте- грала по параметру, следовагельно, функция непрерывна на (О;+со), дифференцируема на (О;+оо) и +со ,У'(1) = — . ссх о для 1 > О. При любом 1 б % интеграл +со +со 1(-'")' =1" " а е хв!п1х расходится, поэтому семейство д(х,1) = не удовлетво- 1+ хз ряет условиям теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру.
Используем равенство и Г 8!п1х — — с1х, 1>0 2 у х е (см. пример 40). Складывая его с равенством +се х У в(п1х получаем, что У(1) + — = ( с(х для 1 > О. Ана- 2 / х(1+ хз) е еш 1х литнческое выражение з не имеет смысла при х = О, х(1+ ') е(п1х но соотношение 1пп = 1 показывает, что функция -+о+ х(1+ хз) е1п1х ( 1) — доопяеделяеття "по непрерывности' на х(1 -ь хз) 455 [О;+со) х [О;+оо) рангпгтном аа(0, !) = !.
Функция са',(х,!) = гов Ух непрерывна па [О;+ос) х [О;+ос), интеграл 1 +,сз айп! х !а(х У) Их = У з г!х ,/ х(1 + хз) сов Ух 1 сходитгя прп ! = О, псравгнгтво < . и гхо1+х' !+х' + а Нх димость интеграла уУ, показываю>т. пто и силу при/ !+.з а + С.О +О:Э Г сов!х знака Нгйершграгса интеграл У! р[(х,!) сУх =- У, йх /!+' й а сходится равнолеерно на [О;+оо). Итак, ссл~ейство !а(х,!), х Е [О;+со), ! Е [О;+оо), удовлетворяст всем угловням те- оремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру, следовательно, Л (1) ( У (!) + 2 ) Г У[ (х !) сУх У сУх У(!) для ! > О. Итак, функция .У(!) удовлетворяет следующим угловнялп 1),У(!) — четная непрерывная функция па К; 2) Уа(!) = У(!) для ! > 0; Их в- 4) [,У(!) [ ( /, = — для нсгх ! Е Р.
„У 1+ха 2 а Из дифференциального уравнения .7" (1)=7(г) (условие 2) следует, что У(г) = С, е'+ Ст е ' для с> О. Из ограниченности ./(1) на Я (условие 4) следует, что С,=О. Из непрерывности У(г) л на йч' н равенства 1(0) = . (условна 1 и 3) следует, что 2 л С2 2 Из честности У(О (усдовяе 1) следует, что УО)= о ', 1е 2 Следовательно, ча солка л - - ~Ь=.7(а)=- е ~~, оп 1+к2 2 о Заметим, что функции л л.
~ кипи Г(1) = — — Е ' ИВП1= ~ -- — Нх 2 ~ 1+.. о дифференцируема при всех 1 > О, хотя интеграл + о +а ххсолгх хини о о расходитса. Этот факт показывает, что теорема о двфференцнровании несобственного интеграла по параметру дает только достаточное, но не необходимое условие дифференцируемости функции. Внимание! При вычислении несобственного интеграла с помощью дифференцирования нли интегрирования по параметру проверка выполнения достаточных условвй соотвествующих равенств является существенной частью решения. Отсутствие нлн неполнота такой проверки грубая ошибка.
Формальное вычисление в таком случае не представляет решеинв. 457 ЭИЛИ ОВЫ ИнткГРАЛЫ (БЕТА- И ГАММА-ФУНКЦИИ) 1. Бета-функция. Так называется интеграл ',)йлера первого рода В(х,у) = /1~ (1 — 1)" п1, +СО е-1 о (2) Непосредственно иэ определения Бета-функции следует (еслн положить 1 = 1 — г), что В(х, у) = В(у, х), а с помощью формулы интегрирования по частям получаем, что В(х+ 1, у) = В(х, у), х+у (3) В(х,у+1) = В(х,у). х+ у Если у есть натуральное число, то, последовательно применяя формулу (3), получим равенство В(х, и) =.....
В(х, 1), я+и †1х+и в х+1 и поскольку 1 1 В(х, 1) = з~1 ' й = —, о о где х > О, у > О. Данный интеграл равномерно сходится по х и у на множестве х > ха > О, у > уе > О соответственно. В области х > О, у > О функция В(х. У) непрерывна и бесконечно дифференцируема. Делая в интеграле (1) замену — —, получаем другое аналитическое выражение функ1+г ции В(х, у): то 126. ( -!) В(н, х) = В(х, и) =— х(х + !)..
(х + и — 1) Полагая в формуле (2) у = 1 — х, О < х < 1, имеем +оз г В(х, 1 — х) = ( — Иг. 1+с е 2. Гамма-функция. Так называется интеграл Эйлера второго рода Г(х) = / ! 1е 'с!!. о (5) Данный интеграл сходится равномерно в области х > хе > О. В области х > О функция Г(х) непрерывна и бесконечно днф- ференцируема, причем Г1"!(х) = / 1п" 51~ е 'Й.
е Положив в (5) ! = !и —, получаем другое аналитическое вы- ражение функции Г(х): 1 Г(х) = 1п — Нж о (6) Г(х) = )нп и* ' /(1 — х ° )~ Их. и-~се о 1 А х Поскольку !и — = 1пп п(1 — х ) и выражение п(1 — г ° ) при возрастании и стремится к своему пределу, нозрэстая (раса смотрите производную функции по о), то аналогично о утверждению задачи 1Р 51 гл. ! $5 нз (6) следует, что Полаган з = 1", иллеелл Г(х) = 11»з п~ 1" '(! — 1)™ Й.
о Применяя формулы (1) и (1), получаем Со-3(1 1)*-1 Л! — В(п,х)— 1 2 3 (и — 1) .е(х + 1) (х + и — 1) е Следовательно, !ГАЗ" ( — Ц Г(х) = !и» и~. — х(х + 1) .(х + и — 1) Из этого равенства следует, что Г(х + 1) пх !и» =х Г(х) о-ооо х + ! + и откуда получаем формулу приведения Г(х+ 1) = хГ(х), х > О. (7) Из этой формулы, в частности, следует, что Г(и+1)=и!, иЕИ, (8) так как Г(1) = е *Ох=1. о Г(х)Г(у) Г(х + у) (9) 1 " (1+-„')' Рассмотрим функцию С(х) = — П ",, х ф О, х Ф х, х 1+и пол и л -- целое отрицательное число. Для любых х > О и у > О справедлива формула, устянавлнваюнлая связь между эйлсровыми интегралами Г-функцией и В-функцией: По< кольку г ,..( —.)~1+ ) « — 1+х!п 1+ — + +о — х 1+х — — — + — +о — х — + — »+<» — = !+» +<» то бе< конечное произведение сходится абсолютно для любого х ф О.
Так как и-ое частичное произведение есть 1 (1+1)'(1+-,')'" (1+ „-')' ( +1) х (! + х) (1 + »)''.(! + -) х(1 + х). .(1 + ;<) и+!<! н<т<г и»< х(х+ 1)(х+ 2) (х+ и) ' то и!и Гг(х) = 1нп = Г(х), х > О. и-< х(х+ 1)(е+ 2) (х+ и) Итак, функция С(х) совпадает с функцией Г(х) для х > О, и, <ледовательно, получено разложение функции Г(х) в бесконечно< произведение =-,П „"., >О (1+ <) (10) — + « '!'ак как:»то произведение сходится для всех отрицательных нгц<лых х, то можно принять равенство (10) за определение функции Г(х) для таких значений х.
Используя связь Г(х) и С(х), можно непосредственно проверить, что для отрицательных нецелык х справедливо равенство хГ(х) = Г(х+ !). График функции у = Г(х) приведен на рис. 13. Рис. 13 Пример % . Вычислить / пх. фх / (1+ х)~ а Решение. Использув представление +оо +оо (1.~ х)2 / (1 Ч. )$~1 о е получаем, что Полагая здесь хх вместо х,получаем '""х="х П ~1- — ) )*~< -) т=з Поскольку ««и Г(х+1) = хГ(х), Г(1 — х) = — хГ(-х) = П "(!+ )" «=) то Г()Г( -*) =-'й"')."Ц (1+;*) ( — -.*) Значит, 1 1 -й— х 1 — "' «=! « Г(х)Г(1 — х) = х81п кх т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
