И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 50
Текст из файла (страница 50)
е. Г(х)Г(1 — х) =, х ф и, и Е 2~. л1п хх /1~ Положив здесь х = —, получим Г ~-) = ~/к. 2' 1,2) (11) +«О +<О ,у* 2 х!-' 1'6 ~') (1+ х)~ .I (1+ )1+« 1,5 5) ах = „( Их = В ~-, -~ —— Применим ФОРмулу превегаипенвв Функции мах бесконечным произведевзмм (ем. е. 22). Имеем -= П(',1- — *) )) оо .-) т«1 Из формул (2), (9) и (11) следует, что Г(х) Г(! — Р) 1/2 = В(х, 1 — х) = (1 ! 2) ' Г(1) я1пя.г а О< х < ! Пример 57.
Определить область существования и вычих'" слить интеграл '."-) 1/х, и >О. а Решение. Введем новую переменную 1, полагая ~-1) = х, тогда — ~-1/ — 1/1 = 1/х, поэтому ь ь +оо ЖЛ2 +со (ь) /~ 1/! = (а+ бхо)Р поР / (1 + 1)Р о о ем +оо ппР / (! ! 1)-"я-'+Р-ил-' а Следовательно, данный интеграл сходится при условии О « р.
Заметим, что подобные преобразования являп1+ 1 ются обратимыми, поэтому из сходимости последнего инте- грала следует сходимость исходного. Таким образом, при решении задач подобного рода можно нс выяснять предварительно сходимость заданного интегра- ла, поскольку она эквивалентна определенности полученных Вета- или Гамма-функций.
Пример 58. Определить область существования и вычио/2 слить / = / 81п Т.соа,с1/х. о Решение. Положим гйпх = 1/1, ! > О. Тогда соях1/х = 1 = — й, 1=- '11- '(1- ) 'а=,' 1!"' '- (1-1)Ч-'- И. 2,/ 2 1 о о Следовательно, данный интеграл сходится при условии го+1 л+1 > О и > О н его значение равно 1 гл+1 л+1 Пример 59. Найти площадь области, ограниченной кри- вой (л' + у ) = я~1г .
Решение. Поскольку х и у входят в данное уравнение в четной степени, то кривая симметрична относительно обеих координатных осей. Следовательно, достаточно найти пло- щадь )Рг) области Рг, ограниченной этой кривой и осями координат и лежащей в области я > О, у > О. Введем поляр- ную систему координат, совмещенную с декартовой систе- мой, и сделаем замену л = г сов ог, у = г от у, тогда уравне- ние кривой в полярной системе, ограничивающей область Ры запишется в виде г = г сов 1о лги уг, т. е. г = сол огвгп ог, гг О ( ог ( —.
Следовательно, 2 «г'2 1 Г 1 гг-"+1 2~+ 1 г )Рг) = — / соя«1«3!Пй ОгИ1Р = — В 2,/ 2 ~ 2 ' 2 ) о ('7 6~ 1 Г (-,') Г Я) 2 (6 6) 2 Г(2) =-Г 1+ — à — = — à — Г и площадь всей области, ограниченной данной кривой, есть гг 2я 4- —, т. е. —. 6' 3 1гг~ х Пример 60. Вычислить 1 = ~ — ггх. -/ 1+. Решение. Полагая х" = 1, получаем, что У 1-з/е!пз! 64,/ 1+ ! а +е» + Г 1-зуе!пз! !1 ' )п2! Интеграл / 1!! равен (,, 1!! и явля!+! ./ (!+ !)-,+(1-1) ется второй производной функции В(р, ! — р), вычисленной в 1 точке р = —. Поэтому 4 1 ! я'2 — ( —,(в(р, ! — р)) =-'( — ( —:"))[...=-'[(-":").) „,= 64 г г» 1 2~2 12 пзьйп — '+2соаз —" яз !+ 1, 2 ) Зл~~/2 64 а!пз —" 64 удал 64 4 ~ 2) Пример 61.
Доказать формулу Лежандра Г(х)Г х+ -) =,Г(2х). Решение. Преобразуем и1ггеграл 1 В(х,х) = /1 '(! — !) ! й е следуя!!цим образом: 1» 1 1/2 2» — 1 »1*,*1=) [- — (- — е) ~ мог) [- — (,— — ~) ~ » о о 1 1 и сделаем в нем замену — — ! == -»/и, тогда получим 2 2 В(х, х) — ~ и ссз(1 — и)' '!си — В~-,х е Выразсак фувкпвю В(х, у) через фувкпвю Г(х), вмеем Г(х) Г(х) 1 Г(1ДГ(х) Г(2х) 2~ ! Г(112+и) откуда получаем векомое еоотвошевве, Прамер б2. Дсаазать, что Г -' Г -' ...à — "' =(2к) 2 л-2, л натуральное. Раве!ив. Обозвачвв даввое провзведавве через Е, расшаотрвм его квадрат Е'=à — à — ...à — à — Г ...Г Так как à — Г— л-! к Ес юп а ° вп 2 а -....
вп (а — 1) В и а а "'.кр Длл аычвелеввк и еш — а р р д с ! с — ! ' !/ кр, 2рк1 ~х — се! — „— 1ап — л ) . =п~ В пределе прв х 1 змеем =П л=П ~1 — ав — — сап— а л )' а ! откуда "'! кр . 2рк! „,"'. рк л=п 11 — ов — — !'вп — ~=2" ' П аш а р ! «-1 тт, рп и 11оэтому П е!и — = — и, значит, и 2"-' р=! (2л) ,/и !'(а) = 1п Г(1 + а) — 1п Г(а) = )п(аГ(а)) — 1и Г(а) = 1п а, откуда !(а) = а(1па — Ц+ С, (13) где С вЂ” константа. а+1 Интеграл / 1пГ(х)!!х стремится к пулю при а + О как 1 непрерывная функция переменной а. Гледоватто!ьпо, для л1о- а+! Пример 63. Вычислить У(а) = 1пГ(х)Нх, а > О.
Решение. Заметим, что функция!п Г(х) непрерывна как функция двух переменных на (х; а) = (О;+со) х (О;+ос). 1Гаа+1 ким образом, при любом а > О интеграл ~ 1п Г(х) Нх есть а собственный интеграл, подынтегральная функцпв в котором непрерывна как функция двух аргументов х, и а, а пределы интегрирования — непрерывные функции параметра а.
1!ре- 1 дельное значение этого иятеграла — интеграл / 1п Г(х) ах— о является уже несобственным интегралом, так как подынтегральная функция 1п Г(х) является неограниченной на (О; 1). Г(х+ 1) ! Из равенства Г(х) = получаем, что Г(х) 1 х -+ О+, откуда из равенства !п Г(х) = 1п хГ(х) + !и —, !леду- 1 1 ет, что 1п Г(х) (п —, л -+ О+, и следовательно, 1п Г(х) Нх сходится. е Дифференцируя данный интеграл по параметру а, имеем бого е > 0 существует б > О, такое что для любого а, удовле- творяющего условию 0 < а < б, а < 1, имеем а+! а г[,! г* — !' ~ г[*!«г а / ~ г[*!« в + о а а а+1 г ! !' в, г(*) а / ! г. е.
а+! !нп 1п Г(х) г!х = / 1п Г(х) г!х. а-+а+ у Для вычисления этого интеграла положим х = 21, тогда «12 1! = !пвгпхИх=2 е «!'4 = — !п 2+ 2 / !п в!о ! 2 а 1пяггг2!гй = о «г'4 !!!+2 / (псов!й. а х Подставляя в последнем интеграле ! = — — и, приведем его 2 Для вычисления интеграла 1 = з/!п Г(х) г!х заметим, что ! а 1 = / !п Г(1 — х) Их. Тогда ! ! 1 Г 1 !' я 1 = — / !п(Г(х)Г(1 — х)) г!х = — / 1п йх = 2,/ 2,/ вгп ггх о о ! ! 1 Г 1 1 У (1пгг — 1пюпггх) !ах = — !пгг — — !пв!п ггх!!х = г,/ 2 2/ о о « гг12 1 1 Г, 1 1 = — !и гг — — ~ 1и в2п х г(х = — ! п « — — / !и вгп х !ух.
2 2л/ 2 гг,/ гГ2 к виду 2 1пя!пиНи, откуда Г1 = — 1п2+ 2)п н значит, 2 «/4 Гг — — — - 1п2. Поэтому 2 1 !Г гг Г = / 1п Г(1 — х) Нх = — 1п я — — ~ — —, 1п 2) = )п ~I2яя. 2 я 2 о Переходя к пределу при а -г О+ в (! 3), имеем 1пп а(!па — 1) + С = 1п~/2я, а-го+ откуда С = 1п ьl2зг, и следовательно,! (а) = 1и ~I2~г+а(1п а-1) . При вычислении многих интегралов большую роль играет так называемая логарифмическая производная функции Г(х) — функция о'!и Г(х) Г'(х) г!х Г(з') ' именно, важны различные ее представления в виде интеграла. Рассмотрим тождественное равенство при х > О, у > О Г(у) — В(х, у) = Г(у)— Г(х)Г(у) Г(х + у) Г(у).у Г(х + у) — Г(х) Г(1 + у) Г(х + у) — Г(х) Г(х + у) у Г(х + у) у Если перейти к пределу при у — г О+ в этом равенстве,то в силу дифференцируемостн функции Г(х) и ее непрерывности получаем, что 1пп (Г(у) — В(х,у)) = —.
Г'(х) я-+о+ Г(х) Г !я Поскольку Г(у) = !я е 'г!1, В(х,у) = / г!1, ,/ (1.!.!)*+я то + оо (У1 е ~ — й= о 1 ')й (1+1)-) Т Г'(я) Г(л) у) се+ (14) Для обоснования законности предельного перехода заметим, что фупкцив 1 )с 1 — е ') «Й сходится. ) '-«Ь+)- ) 1 Из формулы (14) получаем, что (полагая ! = е" — 1) ж =,„„У Г, — 1Ч„,Г с с +со .! оо ='-0'— ''"- 1 '"-")= «о(1+с) +ос с ='-У( — "- '--)" 1 '--.') )о(!+с) У((,у) = (1-У ), (1+1)*+У я+у — 1, !=о, непрерывна как функция двух переменных па множестве +со 1 ~о; ! «о; о ) ,о ) ' «"- ' ( -' — ) с« (1+1)*+"! 1 дится равномерно на (О; — 1, так как при 1 > 1 и у Е '(О; — ~ справедливо неравенство !у-! 1 (1« — 1 1 (1+ 1).+ 1- (1+ 1)* Поскольку для О < е < х -ис Р фе 1 е Р < е-и е-и(ен 1) есс(с-!)(е» 1) (1+я)с-,е' ! е-ис е )п(1 + е) )( 1 е-сс е(1 + е)е-! ч(1 + е)с-! ' !с(с+с) с г е -ис )п(1+е) = е — — +о(е~), е -+ О+, то 1пп ! с(и = О !е(!+с) и, значит, (15) Поскольку = 1+ г+ г +, (г( < 1, то 1 2 1 — г ! ! /' ' 1 — г* с(г = (1 — гс )(1+г+ г + )с)г = 1 — г о о ! — (г — г +* ')!(».
=/ ссре сЧ*! '/ (- Полагал в (14) х = 1, имеем +со — =Г'(1)= е ' —— е Вычитая зто равенство из (14), получим + ОЭ а 1 Введя новую неизвестную — = г, получаем формулу Гаус- 1+1 са ! Гс х е 1 ге 1 — Г'(1)ох ( с(г. Г(х) 1 — г о При любом х > 0 члены ряда, стоящего под знаком интеграла, являются непрерывными и знакопостоянными на [О; 1] функе-1 пнями, причем сумма ряда, равная, непрерывна на 1 — з [О; Ц прн любом х. Следовательно, этот ряд в силу теоремы Дини сходится равномерно на [О; 1] и его можно интегриро- вать почленно. Итак, — * — г[ц= з; ( — — — ).
Г'(х), / 1 1 Г(х) т+ 1 т+ х (16) Отсюда получаем, что Лз !и Г(х) ч 1 ,1хз а (щ з. х)з и вообще ~!» !и Г(х) „1 /х — 1 х+ тЪ !пГ(х) — Г'(1)(х — 1) = ~~~ [ — !и — ) . ~,ж+ 1 т+ 1) Полагая здесь х = 2 и учитывая, что !и Г(2) = О, получаем равенство М г|ц = — з; ( — ', — ь'+",), ~» — О 473 Дифференцировать почленно ряды по х можно, т. к. онн схо- 1 1 дятся равномерно вследствие оненки < —. Инте(уп+ х)» пзи ' грируя почленно ряд (16) по х от 1 до х > 0 (это законно в силу его равномерной сходимости), имеем равенство /1 1+тих Г'(1) = — ~~~ ( — — !и — ) .
(,п1 гп Частичная сумма Я„этого ряда равна 1 1 1 — 1+ — + — + .+ — — !пп 2 3 п Следовательно, в силу равенства 1 1 1пп 1+ — + + — — !па = Сч и-++со ~ 2 и где Со — постоянная Эйлера, получаем, что Г (1) = — Сэ, (Сэ — 0,577) (17) е Пример 64. Вычислить / е * 1п хИх. о Решенне. Полагая х~ = 1, перепишем исходный интеграл +00 в виде 2 / 1 '!ле '!пл1й. Рассмотрим функцию Г(х) = +ОΠ— 'е ' 41. Последовательно имеем о +Со +ОР г(о = 1' ~.и - .- е. г о) = / ~. и -,.- е, о о „/О и следовательно данный интеграл равен 2Г ~-), Значение 1 ~2) Г ~ — ) выводится нл формулы (16): „7'! 1 1,2! ~)л !и Г(х) ~'Г'(х) ~' Г" (х) — (Г'(х))л ~ 1 Нхг ( Г(,) / Гл(х) ~- („ + ,)л 1 При х = — имеем 2 Г (л) Г (2) — (Г (2)) 4 Гл (1) (2п + 1)л' 474 Поскольку по формулам (18) и (17) 1 ! Г (7) Г 1-1-'!' / (! (1) ! - ! 1Л(1+ Ф) = Сэ — 2!и 2, то Г ' ~ -~ = 2/х(Сэ — 2 !и 2) .
, /!'! (,г,( Поскольку п~г и=г то 1 1 (х2 гг'! гг' ~~ (2и — 1)2 2 (, б 12/ 8 и 1) 4 В .Г2 (2) + (Г' (2)) 2 2 2 ( 2 — /х+( /х)2(Сэ — 2 !и 2)2 = гг ( — + (Сэ — 21и 2) Пример 65. Вычислить интеграл 1 1(а г2 7) = =/ (! — х'*)(! — хл)(1 — х") (1 — х) !их ггх, о а > -1, !7 > -1, 7 > -1, а+ !7 > -1, а+ 7 > -1, )7+ 7 > -1, а+ Р+ 7 > — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
