И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 54
Текст из файла (страница 54)
г-~0+ Пусть ы — - особая точка функции 7 н ы Е (а;6). Тогда 535 если он существует, называетсл главным значением ннтегра- ла /(х)Ах в смысле Коши и обозначается ч.р, /(х)Их. а а +00 Главным значением в смысле Коши интеграла / /(х) нх, если / Е А[ — А;А] длв любого А Е й, называетсл 1пп 1 /(х) Нх л-~+сю у -А и обозначается ч.р. / /(х) Их. Найти ч.р. ~ /(х) ~1х для следующих интегралов.
7' Нх 728) / —, а < с < Ь. / х — с е/2 730) / .,0<Ь<1. ,/ й — а(ну' о 732) / хз — Зх+ 2 е 734) 1/з +оо 736) / агс18 х ~(х. +00 738) / е1п х Их. 729 Их а<с<Ь, (х — с)за+1 ' и б Й. а с «-1 731) / ~1х, а >О. о +00 7 ~(х 733) / е +00 735) Их. |зт) 1 '-*;,~" **, 739) сов х с(х. 760) в(п" х 1п сов х Нх, и > — 1. о «/3 76\) в(п" х1пв1пхИх, и> — 1. о 1 762) / 1п Г(х) в1пих их. о 1 763) / 1п Г(х) сов 2пнхдх, пай.
а Определить область существования и выразить через интегралы Эйлера следующие интегралы. Г 764) / 4х, п>0. / 11х» о г 66) / (1 1 х)п о Г х Нх 767) /, а>0, Ь>0, п>0. ,/ (а+ Ь ")в о 1 768) /1 ха о 1 769) хг- (1 х )ч-~Их, пз > О. о 1 ( ха-1(1 х)в-1 770) 1, 1, > 0, 17 > 0, 7 > 0, 1 ( в+ 11(1 — х)+71'+' о 53$ 776) 2/ Их, а ) О.
Г 1п(1+ ах) о 1 8/Х 771) 8/ ( о ь 772) ) ( Ых, 0<а<Ь, с)0. ,/ (Х+Е) +аЬ2 а 1 (1 + )2«8-1(1 )2«-1 (] 2)«ьп — 1 агс18 х 774) о 775) аесс28 х о «/2 «/2 777) а) ~ о!а~ х1/х, б) // гоо" хнах. о о «/2 778) / 18~ хИХ. о п — 1 779) Ых, 0 < )Ь( < 1. ,/ (1+ басова)" о СОЯ Х + О1П Х -«/« «-! 0 < /8 < 1. 881! / ( о +«о 1 Р 782) / х е ах.
783) 1л — ах. о о +со ! 1+я О О +со / х !их! 733 / ! ! х2 О +со / хо!п х 787) ( 1+ 2 О 1 ! х Р 733) Проверив, что / О (В( .) В(! р е)) вычислнгь зсот интеграл' с!се+ +со с 739) Используя равенство В(х ) ) ! !.1- 1 Осп хх О + -1 2-1 / хР— х / с(х равен пРовеРить, что Х = / (! + ) !п х О 2 172 /Н(х 1 — х)с!х (0<Р<1, О<7< '). 1/2 Найти величину интеграла 1. Вычислить. +со Г сЬрх О О Доказать. +со 792) 1пп / е с(х = 1. О Г' 1 793) !пп и 1 — е ' с!х = — Г (1).
о-Ф+сю О Проверить равенства. 1 с!х / х2 с(х ),! Я вЂ” хе .Р' ~Г-х1 4 л/в ~Гв1п 2х Нх— 193, — — рв ~ 2 о о 1 Г х" вх 1 1 в-в 2л л Г х ~ о48 п>2. 797) ( Гг и ' Г ~~ хв п(п — 2) 1 1 798) / Л вЂ” *" "*' / х о о Я' св8-, и > 2. (8п — 2) (по — 4) и л72 Гв — — 0 < Р < 1.
в1пв х 2Р о а +ОО +со ° в -с ф л ~ -'*~ ° о о 801) 1 хе "*' / е 27 а о +оо +оо /' ) " -юв-1 ( -в" в-юп-!,Гх 802) о о л 1 п>0,0<т< . па в1п —" в .~.ор +~О Г п~' 1е * 4х = ~- ~ (2л) 804) / х ~ п~ »'=' о Обосновав возможность дифференцирования по параметру интеграла задачи 807, вычислить интегралы. Г в!их р в!пх 809) ~ — !и х Их. 8ГО) у! — !.
х 1х. о о 811) Используя соотношение Г'(1) = — Сз, Сл -- константа Эйлера, и дифференцируя по х формулу Г(х) = / 1" с ' гй, о вычислить интегралы: +ОЭ а) / е !их ох; о в) е !п1Й; о +со д) е ~ !п~!й. о б) / !п( — !и х ) 0х; о г) / е «!и хнг; о .Р-зУо Р Г( 1Д (хо+ ох+ Ь)я 2ъlЬ(о+ 2ъГЬ)о '!з Г(р) Ь > О, а + 2~ГЬ > О, р > 1/2, +оо 1 1 Используя равенство — = 1 1 с' *'о!,,г > О, н *=-Г( )/ о возможность перестановки интегралов, вычислить интегралы.
+Оо ~-сю Г вшах Г совах 807) / Их, О<го<2. 808) / дх, О < ш < 1. хРФ х/л о о 812) И зуи формулу Лобачевского (см. заиачу 39 8 5 гл. П)э Г 21П" х вычислить интеграл / пх, где р есть рациональная о дробь с нечетным числителем н знаменателем. 813) Используи формулу Гаусса (гл. Н формула 16), вычи- 1 Гхг 4 слить интеграл / бх, р+ 1 > О, е+ ! > О. ,/ 1 — х о с 814) Использул результат задачи 813, вычислипь следупнли интегралы: 1 а) бх, а+1 > О, !1+1 > О, а+ !3+1 > 0; ,/ (1 — х) 1пх О 1 "з 11 — хРН1 — хт) б) / ' " Их,а> — 1,а+б> — 1,а+2> — 1, (1 — х) 1пх о а+ !3+ т > -1; 1 "х ' — хл в) / 4(х,а>О,Р>О; / (+.).. а ! Г «-1 Х-« )/' г,О«1.
(1 + х) 1п х о ! , 2 , ~/в Г(а) 815) Используя формулу ап !2Л22 Р «/2 2« а > О, вычислить интеграл 2 в1п 22!пв1п рддр. е 816) Найти площадь области, ограниченной кривой ( 2 + 2)4 2 817) Найти площадь области, ограниченнон одной петлей кривой г~ = а сов п2р, т Е 1(, и длину этой петли. 543 818) Найти объем тела, ограниченного поверхностью х" + + у" + х" = а", п > О, и координатными плоскостями, находящегося в первом октанте х > О, у > О, г > О. 819) Исходя из определения функции Г(.г) для х < О, х ф — и, и Е р! (Гл. П, с. 461), проверить равенства а) Г(х)Г( — х) = — ., х Е (О;1); хат их б) Г(1+ х)Г(1 — х) = ., О < (х( < 1; 83П ЙХ в) à — +х à — — х = —,(х(< —; ( 1'! г) à — -! = — 2ь/х; 2) 11 ( — 2)" Л) à — и + — ) = ~/х, и Е и!.
2 ) (2п — 1)!! Исследовать сходимость интеграла. 820) х~ Пх и) ~ Г(2х) Нх Г(2х + 1) ,/ 3 Г(2х + !)Г(х) ! 1 )' Г(2х + 1) )' !б'!'з(х + !) ,/ Гз(х + 1) "' ,/ Г(Зх + 1) 1 1 1 Найти предел. 825) !пп . 826) !пп х В(о, х), о > О. ,/хГ(х + 1/2) е — ~+сю Г(х + 1) тЛ+ао ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ П ! 1) При а > 1 сходится к а', при а < 1 расходится. а — 1 1 2) Сходится при о < 1 к .10', при а > 1 расходится. 1 — а (Ь а)1-» 3) При а < 1 сходится к, при о > 1 расходится. 1 — а (Ь вЂ” а)' 4) При а < 1 сходится к, при а > 1 расходится.
1 л 1 1 л 5) Расходится. 6) —. 7) —. 8) —. 9) Расходится. 10) — —. 2 2 8 аЬ2' 11) Расходится. 12) Расходичтя. 13) —. 14) Расходится. ~/6 4 2 2' 2 )а)+ (Ь( 2 )аЬ((!а)+ (Ь|)' гг 1 2+ ъГ2 4 21) — — — !и —. 22) — —. 23) 2!пб. 24) гг. 4~/2 4~Г2 2 — ~/2 3 25) — — агсагп —. 26) —. 27) л. 28) . 29) л, 3 л л л(Ь вЂ” а) 2 4 2~/2 ~/а2 — 1 2 30) — (Ь вЂ” а)(а+ ЗЬ).
31) л. 32) . 33) — (~Г2 — 1). л(а+Ь) л 8 2 2 1 1+~/ар 1 а 1 2 2 34) — !и . 35) -е . 36) — — + —— г/аф 1 — ~/а~1 2 !п5 (!п5) (!п5) 37) -2е '. 38) Расходится. 39) Расходится. 40) Расходится прв всех а. 41) Расходится. 42) — 1. 1 43) Сходится при о > 1 к —, расходится при а < 1. о — 1 1 4 44) —. 45) Расходится. 46) Расходится.
47) — —. 48) 1. 1п2 3 гг 3 л г!з лг 49 49) —. 50) 2. 51) — ( — ) . 52) —. 53) —. 54) Расходится. 2 2 2 8 16 55) Сходится при (а) < 1 к, расходится при (а( > 1. 2Л вЂ” аг 56) Сходится при (а( > 1 к, расходится при !а( < 1. 4 ~/аг — 1 л лг 1 57) —. 58) Расходится. 59) — — — + — !п2. 60) — —. 61) 1. 4 4 16 2 ' 8 62) х г.
63) г х 64) . 65) 2~Г2. 66) —. ох+ /72 ох+ Рх 2е 67) Сходится. 68) Сходится при 0<о<1, расходится при а<0 н прн а>1. 69) Расходится. 70) Сходится при а < 1, расходятся при о > 1. 71) Сходится при — ( р < 1, расходится при р > 1. 3 72) Расходится. 73) Сходится. 74) Сходится при р > 1, расходятся прн р < 1. 75) Сходичтя прн а > О, ф > О, расходится при а < О, Д— любом и прн 17 < О, а — любом.
76) Прн любом а расходится. 77) Сходится. 78) Сходится. 79) Сходится. 80) Сходнтся. 81) Сходится. 82) Расходится. 83) Сходятся. 84) Сходится. 85) Сходится пры а > 1, расходятся прн а < 1. 86) Сходится. 87) Сходится. 88) Сходится. 89) Сходится. 90) Сходится.
91) Сходится прн 1<а<2, расходнтся прн а<1 н прн а>2. 92) Сходится. 93) Сходится. 94) Сходится прн п > 1, расходится прн п ( 1. 95) Расходятся. 96) Сходится. 97) Расходится. 98) Сходится. 99) Сходятся. 100) Сходится прн р < 1, расходится прн р > 1. 101) Сходится прн а > О, расходится прн а < О. 102) Сходится при )р) < 1, расходится прн )р! > 1.
103) Сходится. 104) Сходится. 105) Сходится прн а < 3, расходится прн а > 3. 106) Сходится при 1 < р < 2, расходится при 0 < р < 1 и прн р>г. 107) Сходится. 108) Сходится. 109) Сходится. 110) Сходится, если аФ > О. и ! 11) Сходится при ти > -2, — — т > 1, расходится в противном случае.
112) Расходится. 113) Сходится. 114) Сходится. 115) Сходится. 116) Сходится при р < 3, расходятся прн р > 3. 117) Расходится. 118) Сходится. 119) Сходится при а > 0 н Д > — 1; расходится при а < 0 н любом !у н при )у < — 1 и любом а. 120) Сходится при р > — 1, любом д и при р = — 1, 4 > — 1; расходится прн р = — 1, д ( — 1 н при р < — 1 и любом д. 121) Сходится при р > 1, я любом и яри р = 1, д > 1; расходится при р = 1, д < ! и при р < 1 и любом д.
122) Сходится. 123) Расходится при любом а. 124) Сходится при а > 1, расходится при о ( 1, 125) Расходится при любом о. 126) Сходится. 127) Сходится при р < 1, расходится при р > 1. 128) Сходится. 129) Сходится. 130) Сходится при 1 < а < 2, расходится при а < 1 и при а)2. 131) Сходится. !32) Сходится при р > — 1, расходится при р < — 1.
133) Сходится. 134) Расходится. 135) Расходится. 136) Расходится. 137) Сходится. 138) Сходится. 139) Сходится. 1 1 140) Сходится при о < — —, расходится прн а > — —. 2' 2 141) Сходится при !у < 1, о — любом и при !7 = 1, о ( — 1, расходитсн в противном случае. 142) Сходится при й ( — 1, расходится при й > — 1. 143) Расходится. 144) Расходится. 145) Сходится. 146) Сходится. 147) Сходится.
148) Расходится. 149) Сходится. 150) Расходится. 151) Сходится. ! 52) Расходитсн. 153) Сходится. 154) Сходится прн 2 < а < 3, расходится при о < 2 и и > 3. 155) Сходится. 3 3 156) Сходится при а > —, расходится при о ( —. 4' 157) Сходится. Указание. Использовать соотношение +сю ю» / /(х) Нх = ~ / Цх) Их. о е(л-1) 158) Сходится при и > 4, расходится при и < 4. См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
