И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Решение. По формулам (15) и (17) имеем, что 1 г!х / 1 — ! о Значит, !" — !г И!и Г(о+ 1) Ы!и Г(р+ 1) — г!!— 1 — ! ггпу Р И о 475 Г (1 — Г' Н1 — Ул) ( ! — У') Рассмотрим интеграл ! = ~ — - — М. Его (! — !)!и! о 1 И! Г у~(! — ул)(! — уз) производная но а равна — = — уу Й. Пода,у! 1 — ! с скольку !е(1 !Ф)(! 1т) (!а !а+0) (уа+т 1а+Л+т) то Иl у И!в Г(а + !у+ 1) Н! в Г(а + 1) 1 (+ Иа (, оа На < И1пг(а+ !У Г у+ 1) Н!и Г(а+ у+ 1)1 + Й~ Иа о Г(а+ 1)Г(а+!3+ у+ 1) ж Г(.+)1+1)Г(а+ у+1) Г(а+ 1)Г(а+ !у+ у+ 1) Г(а+,О+ 1)Г(а+ т+ 1) При а = О имеем 1(О, !У, у) = О, следовательно, Г(!)Г(,0+ у+ 1) " Г()1+1)Г(т+ ц Г(а + 1)Г(а + )у + 7+ 1) Г(а + !у+ 1)Г(а+ у + 1) Г(!у+ у+ 1) Г(!3+ 1)Г(у+ 1) =!в Г(а+1)Г(!1+ !)Г(т+1)Г( +!!+у+ Ц Г(а+ !у+ 1)Г(а+ у+ 1)Г(!у+ у+ 1) !1 слгдукнцнх примерах неиогредгтненио установить ~ хо димость интеграла, н в этом случае найти гго иелниииг, нли установить 1гасгодимость.
Г Иг 1) ( —, о>1. / хо' ь 3) Ых (. — ). а 1 Их 5) (1 — х)(2х — 1) $ о 7) / 2х Их -з е О» х Их 1!) ),/ хг+4х+3 о +03 Их 13) 2хг — 4 + 11' /' хг Их (.г4 аг)г ' Э х с7х 16) ,! (г.'г -1- аг)(хг -1- Ьг) о ~о 2) о ь 4) ~ "* / (Ь х)а а 6) / о дх. о )1 ' 2 ! ( .г 1)г +СО 10) —.—., афО, ЬфО. Их о +го сГг ),/ ха + 4.с + 3 Зг — 1 и) -., — и..
хг+3г — 7 аЬф О. 54) иц и гГх. е 1 +О 66'Х 56) 55) ~ — - гл) ,/ 6/х2 — 1(а222 — 1) О 1 + 00 хйх 61х 006) 57) / ./ /х0:1' 1 +00 +00 х1н х 66) / (1+ .2)з г'22 1 о 1 +00 61) х! и — ггх. 1+х 62) ~ е * сои г7х ггх. а > 0 1 — г а е +00 +00 66)1*'066.666611*'0 а о гг 21г гг 1 661 1 (2* ~ — — — — 6 х2 т х2 г' о +00 66) хе * (2х~ — 1). 1 + СЮ ,О-! 66) / — ггх. l +х о г 70) 1 61х. ,/ )1 — х)О о Ь/2 . 61х. 67) ~ .
х. а Р 20-1 а Исслсдонать сходимость интеграла от неотрицательной функции. 91) о +СЮ 9З) . е-(* +в) хх, и > 0. 95) о /' Иу 97) / ); — в1п ~р) о р>0. «/ 109) (19х)' /х 1,7> 1. /!— о 1 / агс1$ х 107) / /,; — — —, о Ге* 90) )) 1м о 99) о 94) /~~ о 96) / 1 Их 98) 'з оо/Р =') о ь 99) '/', 0<ЬС ь' о ~( ~ ") ~в. +со Г ОФ Г е 10Ц ~ — /х. ~ 1+.
о «/2 109) / в1п о 104)/Й ( — ) о +ОЭ 100) / — пх, р> О. о +»О +ОО / агс!8 4х / агс!8 ах агс!8 ~3х ~/хо+ 2х~ о о +О» +СО Ио) агс1.8 ах — агсйд)1х / х агс!8х г!х. 111) ~ 1!х, и > О. х ./ 1/4+ х" о о 11в +»Э агсвгп(х +х ) / вгп х !и'(! + х) ' l )" - о! о о УО)' — - 2) О 1 /" 1+ савв 117) ""~ (--.) * ,! Х вЂ” В1ПХ о а ! г! В-1 118) / ~ Их, гг>0, !!>О. 1пх о 1 1 119) х '(1 — х)1г 1()ах) г)х. 120) хг !по — 1/х. о о +О» 1 ! ОГх 122) ( ( Их. / хг1пох 1 о +СО +СО Ых 124) ,/ х! 1п х)» ,/ х !пх)!п!пх!» о 1ав +О» +ОО Нх / 1пх 125) 126) /! —,, г!х. о 1 о О Г 1 / Нх 127) / 1!х. 128) / —. / )!пх)г хоп х о 1 1 1п(1+ х) ),/ 'й'+зх' о !пх 13Ц ~ х 1/х2 — 1 1 133) / (!пв!пх(Их. о е/2 135) (1пвпп х( с/х.
Вй) — 2*) о 137) /1 —,И . Г (1пх( 2/В)П Х о «/2 139) / (1п(в!и у — в ((се)РВ о 1 140) /,:' 1п(1+х ) И !/Х+ 1,/Х о +ОО '/ „х+81пх 142) х , Ых. х — в!и х 1 144) О) )1.1- ) 1 — сов х о а 146) 1 с/х. / !пх 1 1! 112) / !. (1+.;.-/ с..
1 +ОО l" п(1+ х) !30) о +ОО ) 1псов -( 132) 1 1 134) / 1псов— 1 с1д — с/х. л х о Г (18х( 13В) // — Ы . ,/ 1+х2 о (Ц < 1. 1/1 О 1 141) — * с/х. 2) )В/) Х о 1 /- с/х 143) * — сов х о 1 Г/ое — 1 145) / . В/х. овп х о +с 147) l! (.1 — !) /х. ./Ф 1 149) /~ 1 — сов — ) с/х. х 1 55551 ( . — .)6* о +оо 158) Х 5Ь' 1 4- х" 25 и х о 560) 1 6 ( (*6-)) 6*. о 1 1Г> 1) 512. (2 + 3*) ,/х.-,/х2 — ! 1 )г562 5/тх + 3Х2 — Х !5О) ',, 1. :1': — ' ,/7 +1 о +ос ! 51) 1/х2+ 2х — Г/Р+ 3х2 2 их.
х!и~х о )55) 1' (56* 65* — 5Р 55 . ) 6*. о 153) / (!п(х2+ 1) — 21п х) Их. о +со о ! 56) Фх=+ ! —,'/) .— Ц о 157) / е ' "" * 51х. о +со 55Х 159) 1+ хов1п х о +со ссц 1с 5, (56-') 6 . 1 Г хх+х+1 (о *+ 3)" )! Нх 165) хо+ хо +СО + Г ХВ1ПОХ 167) / (,а г ~х о В1П Х 169) / — Их. хО о ! 71) — 6х, о > О.
/ 1+ха о 173) / 11х. 175) ох. О 1/Х СОВ Х 177) Их. о 178) / — в)пх11х, где Р,„(х) и (.) . ,/ Р„(х) о нын Р(х) >Онрих>0. +оэ 179) 1(х, 4 > О. 1+ ха о 18Ц ~ емв О <1х 1 168) 1 11х, о > О. / х+о о сов х 170) / — 1Ь. / хО а 172) сов 2х 11х. 1/х3+ Зх о +ОО Г х+1 174) / в1п х 4х. ха о хг в1 и х 8х 176), 4 > О. 1+ ха о РО(х) — целые многочле- лВ1ПХ 180) / (1пх) — 1Ь.
1оа 7 в1пх 182) / — агс18ххх. а +СО Г ее еюх 184) у 6х. а Г -* выл Зх 183) / етФ вЂ” с(х. ха о Исследовать сходнмость (абсолютную и условную) инте грава. ф со сов —, 1 186) / ( 2)р 6Х. ! х!' о о /, ( 2)оо. 188) / соз(х )е!х о о 1 1 ( з!и —" Г савв 189) / — "х 90) ~ (1 а о о/2 Фш 191) о( вп!(вес х) о'х. 192) / хо сов(е ) !1х.
а а + 193) / (ео 1 2) в!псов !4х ° 194) о/ )х) о 2 4 оо (' соз(х+ х ) 195) / сов(х+ х ) 12Х. 196) / о а +оо 2 +, .2 )е сов(х+ х ) 197) х. в!П(Х + 2 ) 1 198) 1 11х )! х!' о 2 + со +оо 199) р ~'( -) х+ о 200) / хсов(2! — Х)!2Х. о о +о! г о(х г'"„ 201) / з1Л)!Пх) —, Ч) 0 202) / во+о!оо х' ) ео о о +оо 203) . ( ) х. сов х х+ 1 1х. 204) / еоооо. / Х4 в!Пл: х 1 1 +оо 20о) /! врп(ха+в!пх)ФХ.
206) / с'"'(х +зап а о Г ,„, е[ о 1)а+! , хб(и — 1;и], пай. и 208) / 7(х)Их, 7(х) = е +о 200) / (-1)["1,(,, е г ( 1)!.] 211) / Их. о + ОЭ х Их "13 ,1 1+ хд]зшх) ' е / х~Нх 214) / ' 2 1+хлаш х и / 8!и( ]х 215) / .1 1 + [п (х + 1) е г ( 1)[т] ! 212) - Нх. с (8!о(53п х)) о а>О, [1>О. а>0, р>0.
/ соа(-] х ,( 1+1н!(х+1) о Ьстановить, со бстненным или несобственным лнллется интеграл, и, е сли он несобстненны!!,то исследовать <ьго сходи месть. Г /1 21В) / ~ — — а!се[В х !!х. ! 217) / ~ — — с[В х Нх. Г 7' 1 / '1х2 е л г!и (2 — —;) [хх 219) / с ' с!В~( — Их, офО. [ ьш(х — е) 1[ а е в !сная с рядами и< следовать сходилшсть при помощи сра ! следующих интегралов. Г е — (1+ х)1 22!) ~, .' *- Гх Хоп! Х о Г 1 2: — Ь 220) / — !и х х+5 1О !Гз 222) 1п(1 + х + хг) + !и(1 — х + сг) хз/2(е* !) Их. о Гх — 2 Г з 223) / 32 +! !) а 1 г 1 Гсе — е * — 2х 224) / э:1и!п — 1Гх. 225) ! - -А.г. х Х вЂ” Яп2: о о г Т '- * с ~е — е Фе — 2 ГГх Г с4 — е ~à — 21,Гх 226) Их. 227) Г! ' — — 1Гх.
1/х — яи 1/х,Г фх — зп! фх о а 2 с !г-" — е 4с — 2 фх 226), 1Гх. хгГз — яп хгГО о 229) (! 6 .2 ! 4 3);и „ 1!Х. х~!п х О 230) 16 лх — (1 — 6хг + 4хз) в!и лх 1Гх. хо!и х О ! / аблх — (1 — бхг+4х )зшлх з з),з а 232) Нх. яп(зш х) — х ~Гà — хг ~~г !!*' о 233) 1!х. 8!О(8!и х) х 3 1 22 гт! " а (1»- хг) . +в — е* 1 4/э/1+ .2) о Доказать справедливость псравепств. Г совах х 248) / 2//х < —.
/ 1.1. х2 о Г в/их 247) / — Ых > О. о сов в: 1 ,) 100 ' 249) 0< ~ < —. 1ОО» +СО 1 258) 1 — — < ( е * Их < 1+ —, и > 1. 1 и ( и о +о» 7» 1 1 '/1 <— 259) 0< е * 11х< —. 260) О< У е //х < — „, 1 2 251) 0 < //х < 211+2»Г2 — 2. Х1/Х а +»»» 1 /» Г в/ох 1 252) 0 < — 11х < —. 253) ~ 1ОО» 1/2 2 1 1 /' Их 3 < —, 255) — « —, оба. / 2хв» .+2 5' 2 ~1 /1 и 5 о а +»»» 1+ го 258) — < / 4о/1х < 19+ 39. 19,/ 1+ х 1 20 Г 1+хго 20 1 257) 1 < / 1+хоо < 19+ 20' о 273) 1в = е *х" в(х. о 274) 1„=- / с хв" Нх.
а 275) 1„= / е *юп" хЫх, а > О. а ! 276) 1„(вп) = / х" )и хая, ~п Е И. в 1 277) 1„(еи) = / х" '(1 — х) ' с1х, о гн б с1. х" е «в~п хая. 279) 1„= в 1 (1 — хв)» Их, в АС— (Ахв + 2Вх + С)" х" г, * гов х Нх. о 278) 1„= 280) 1„= Вв > О 281) 1„= 282) 1„=. / !п сове.сов2пх Их. о +ОО сов(2п — 1).с е в в1х, о > О. сов х о +со з сов(Рп — 1) в е - х, о>0. сов х о 283) 1„= 284) 1„= Применяя формулу интегрирования по частям, получил рекуррентную формулу для интеграла 1„, и Е Л, и найти его значение. 1 Г 2+1 /1 2 о 1 Г Х2л а +С 1/Х /' *1 1-*)" ( + ) /.=-/Р )" /х о 1/Х /„= у' / Ол о е л1/х 1 1 1.2 123 — — — — — — — +.
+ в х+а о оа о а а п1 Доказать равенства. л/2 л/2 л/2 291) /1пв1пхс/х = / 1псовхНх = — / — о/х. а а о 1 ! Г 1пх / ахс19х 292) / Ых = — / — Их. ,/ 1+ х2,/ х. о а 1 1 Г 1пх Гассвпх 293) / Их = — / — 1/х. Я:х2,/ х а о +СО +Ос Г в1пх / совх 294) / — Их = — / — дх. / х / хз л/2 л/2 +ел 1 Г 1пх / 1пх 295) / — 1/х = — / / +. — / +. 1 о 1 290) Доказать, что существует Л4 > О, такое, что при и > М справедливо раненстно л12 л/2 +оо / 1' Й 297) / — = / л/~ьтЫ'д= 2 / .(,(!8 — / 1+!' о о о 1 л/2 298) о~ 1!х = / е""'о!х. о о +со Нх пх '9" 1,;!.-Цт;=Ч~ ' ! лГ~~т~~*! ло о +оо 1 /' 1 — х 300) — пх = О.
301) 1 соох.!и пх = О. ,( 1+х' у '1+х'- — 1 1 1 /!пх1/х /!п(1+х) 302) / — = — ! 1!х. 1+х .1 х о о 1 ! 1 !па / !п(1 — х) ( !п(1+ х) 303) дх = / 1!х = — 2 у Их. о о о .2 ' ( ц -1,„2 хл-» (2п+!)2 8 ' лл-~ п2 12' оо Ер о=! вычислить следующие интегралы. 1 305) / а +оо 307) / 1п о 1 304) Ых. /.' 1п(1+ х) о 1 1 306) 1п 12х. ,( 1 — х о +1 — 1 495 Используя разложение подынтегральной функции в ряд и равенства 35) И] ,/ с'--1 'О 300) л с/л. ос+ 1 с 315) / !и О Нс.с ч с сил и то.
пс(1. с с/л 3!О) ссг с — и Г !сс х 312) / — с/лп л:)и.т с/и 3!с5) 1 — л -' /2 316) / ! п 1и со с!л . л !Ол /„ с л/2 319) / !и ) 25пл ср — ссл) с/у сс 320) / о л/2 322) / /15; ср с/ср. О с/2 :!25) / о с :511) / с/и. )п г 1!+." О с 2 О 317) / !ссх )и!1 — л) с!Оп о с пс)/с /с —, О с — —.~с*. 1 2,2 о 71„(1+22) л/л 325) / с,/с~до с/лп о 340) у! — !х. ! агсгбх ,л о 347) / — Ых, и Е Й, р Е !!!, в ~ 12р+ !. ~2р+! а +СО 2О+1 Га!пх ! 34$) ( !2х, р) О.
349) / 1 — ) Их. х е о 350) Доказать теорему Фруллани: а) если существует )пп /(х) и для любого а > О имеем О-+О+ — Е Я(а,+ос), то / !2х сходится для люг у"(ах) — /()ух) х Р. бык о > 0,,9 > 0 н равен у(0+) (и —; б) если существует )пп у(х) = А и для любого а > 0 О-++ОО +СО имеем — Е 22(0,а), то с!х сходится для х х а а любых а > 0 и Д > 0 и равен А. !и —.
Используя теорему Фруллани, вычислить интегралы. +ОО с-РО ЗЫ) / !!х, о>0, )2>0. е +ОО 352) )и .—, р>0, 4>0, о>0, Р>0. / р+ де-р~ х е 333) Т !! Ю )У О а) о ах сов х — в~ и ах 359) а Нх о совах — совД~ ог, а > О, Р > О. ЗЬ4) ~ о во ~ (,, — -) —,. о +<о 356) ах, а>0, Р>0. 356) / * '"> хв о +ОО в)пах — в1пД~,г а > р, р > О. 357) / *, а > , о +оэ +оо 358) в1п ах — а впп х о в)пахв1п)ох о 360) / х, а>,, а х о 361) / сов фхИх, а > О, ~3 > О, а ф г1.
х о 1 г х»-' — х6 ' 362) / Нх, а>0, Р>0. 1и х о 363) фвпп ах — ав)п)Ь хв х, а> о +со 364) Ф 1 ( 1 ) 1 ( ~ ) о > 0 Д > 0 Их, а», о , зИх 365) / (е ~ — е г*) —, а>0, Д>0. о 366) Доказать формулу: тсс Ас сов асх+ Аз сов пот+... -1 А„гово„.г 1с = о = — (Ас (пас + Ат!сс ос + . + А„1и ао), а; >О, 1=1,2,...,и, Лс+Ах-1 .+А„=О Всочислить. +сю 367) дх, сс>0, 11>0, сс616. 367) ( х... и о +г . 1 хп с Г сов + ах - сов Сзх 368) / с1х, и > О, Р > О. сс Е 11. й 369) ~ х, а>,, и с(х, а>0, 17>0, и 612. о +со 370) / сов )ух с1х, а > О, с2 > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
