И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е-+е ~,2хе 2хз Найдем первообразную Р(х) функции 1г(х) иа произвольном отрезке [а; Ь) С (О; +со). Так как х не обращаетси в нуль на [а; Ь], то Ь'(х) + С = 1е(х) Их = Г/1, 3 3 з~ ~- агсс1к х — — + — агс1и и ( г1х = ./ ~2 2х4 = — агсс13хз+/ пх+ — — —,/ агс1кх~ 0 ~ —,/ = 2 ) 1+с" 2х 2/ 1,хаl 1 з = —, аггеях +,— + / <!г — —, аг<1дл 2 2г / 1+ л" 2л<! <Гз л 3 ) + = — агссля х~ + — — —, ют1 х гз + яз(1 +»:") 2 2У 2."! +/ — '*,! /,*"',= Х вЂ” агссля аз + —, — — агсгклз+ 2 ~ 2 2*,/ 1+ ~ 1 1 Так как 1пп ~ — — — ягеля л = О, то е-»о ]~ 2л 2лз +о» +<»» гз <<1 !» 1а(л) <!л = 2 ~ Ыя + 1пп [ — + — аг<'слб Ьз— 1+ я< ь-+!. [ 2!» 2 о о +о» ! — ) =2 ! <.= — »О=!»(~)»!.
В теореме об интегрировании несобственного интеграла по параметру речь идет об интегрировании функции l(!) = / ! (л, !) <!я в смысле Римаыа. Если же рассматривается не» собственный интеграл / l(!) <!1, то обычно нспользуюг терс мин "перестановка двух несобственных интегралов". Теорема о перестановке двух несобственных интегралов.
11усть семейство функций !'(л,!), х е [а;ь<), ! е [г;о»), удовлетворяет условиям: 1) !'(з,!) е С([а;о») х [с;ь»)); 2) интеграл Е(1) = /(л,1) <Ь сходится равнол<грно на любом отрезке [г; <!] С [с;ь<), интеграл Ф(я) = / !'(я, !) <!! < кос днзтя ранг<ел<грие па любом отрезке [о; !<] С [а; о»); 3) существует хотя бы оден нэ двух интегралов а л и а [у(х, М)[ пс 0х или [у(х, М)[ йх й. а с с а Тогда справедливо равенство /Ф(*))*= ~Ц~)М а с я и в Щя*, ус)с*=/(/я,, ~с.)с.
а с с а Испольэуя теорему Дини, получим следующее Следствие. Пусть семейство функций у(х, ~), х Е [а;ы), 1 б [с; й), удовлетворяет условиям: 1) функция у(х,1) непрерывна и ноотрицатель~а на [есы) х [срй) 2) функции РЯ = ( Ях,1) ссх и Ф(х) = ~~(х,~) й не- а с прерывны на [с;й) и [а;са) соответственно; 3) с ~ т с * с /с(са ) с()с*.
с а Тогда существуют оба эти интеграла и л и / г(1)пс = ~ Ф(х)Нх с а или и в в в Дх,й)ссх ос = у(х,й)й ох. с а а с Пример б1. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона с 1 = / е * Их, используя перестановку двух несобственных е интегралон. с Решение. Положим т/>(1) = 1е с ~~ ол, тогда ф(0) = 0 о +сю +Ос ! с 2 и ь|г(1) = ~ 1е 1*'с с1л = / е " сси =,/ прн с > О. Следова- о о тельно, +сю +сю +сю ~[~ .-~"*юс,)ю= ~.-'*С(с)с = о а / с ' .1й =.У / с ' ~И =.сх. Функция у(л,1) = 1е О+* )' непрерывна и неотрнцательна + сю на [О;+со) х [О;+ею).
Функция се(л) = ~ 1е р+* р й = о 1 непрерывна на [О;+ею) и интеграл / Ф(л) Их = 2(1+ яа) е +сю 1 ( Нх и 2 ) 1+их 4 — — сходится. Функция же Г(1) а ~ 1е 1+*1 ссх = е ' сд(1) непрерывна только на луче о [е; рею), где е > О. Таким обратом, условия следствил теоремы о перестановке двух несобственных интегралов выполнены для семейства ) (я,1), л б [О;+со), 1 Е [е;+со), при люболе е > О, т. е. +сю +сю +аа +сю +сю /[) С(,,с)с*)ю= ) [) Л*,с)сс) сс*ю )' ю<*, )с. е с е нрн любом е > О, где 6(х,е) Пх,е) Й, х и [О; +со)» ее(0;1). яераехнстио О ( С(х, е) < Лх.е) «1! Ф(х). е > 0 о «-оо показывает, что в силу признака Вейерштрасса / С(х, е) ««х о си»дится равномерно па (О; 1)» следовательно, «-оо +о» +»о «- о» »*= ~ (~!а»!».)о= »а 1»(1»уо»!»*)а= о о о +с +о =!пп 1 С(х,е)Их = / С(х,О) Их = с-»о / о о «-о» +оо = / (1» »(ь»!»»)»* = —,'.
о о /х ()тсюда получаем, что 2 = —. 2 Пример 52. Вычислить интеграл Френеля »о» / 1 соек соек «(х = — ! — «(х, +о» пользуясь формулой — = — 1 с *' «1Е, х > О. о +»о У соех Решенно. Интеграл / — с1х сходится н силу признака l,у-* ' ! ! Г соя х Лбе»»я — /~нрнхле, интеграл ~ — «)е сходится в силу нера- ' 1,г о [голл) 1 венства 1 — ~ < — и теоремы сравнения, следовательно, 1 ~/л ),/л интеграл Френеля сходнтгн. Запипк м гго в пидс а о +СО Интеграл / спало 2 ббб расходятся при л = О, следовао тельно, сходится неравномерно на (О;о] при любом а > О; +ОО интеграл / совке 2 21л расходитсн прн 1 = О, следователь- а по, сходится неравномерно иа (О; с] прн любом г > О.
Таким образом, теорема о перестановке двух несобственных инте- +ОО бОО 22 -" -.2 2 ~(~ ° *.-" 2~)2* о о неприменима. Поскольку именно нулевые значепип л и б дали расходящиеся интегралы, рассмотрим интеграл +О2 +ОО /У-- "+. длн е > О и 6 > О. Покажем, что длл такого интеграла условия теоремы о перестановке двух несобственных интегралов выполнены. 22 Функция б"(е,б) =соя хе О' непрерывна на [б;+со)х[б;+со). Коли б Е [О;с], то' ]Д(х,б)[ ( с 'б, и из сходимости ипге- +ОО б грала е 2 ОЬ и признака 13сйерштрабта следует равно+)О мериан сходимость интеграла 1с(е,б) = / 1(л,б)ббл па [о2с].
2 Если:г б [б;а], то [б'(г.!)[ < г " и пз сходпмости пнтегра- ла / е '~ гй н признака Вейерштрасса следует равномернан ь ес гкоднмогть интеграла Ф(х,б) = / [(т,1) г!! па [е; а]. Так как б [з(х,!)[ < е ы длн х с [г;+со),! с [б;+со), то чгг +г" г — гг 0 < г)г(!) = / [((и, 1) [ г(х < ~ е *' Их = — <— с с и в силу теоремы сравнения интеграл +с г +Юг +сю ! (!' ~л*, гг*) = !' ггм .. г .и .,)гаг)г*= !ггггг)аг ° г * г, б > О. с б +00 гг г г сов Š— 31п е Фупкцив г(е,!) = соахе м Ых = е 1+14 Е 2 для е > 0 и ! б [О;+со).
Если положить !"(0,1) = 1 +1г ' 1 с [О;+со), то получим функцию Е(е,!), непрерывную на [О; 1] х [О;+со). Покажем, что 1пц ( Е(е,1)г)! = / б'(0,1)г!1, б > О. е-ге+ ! Для этого достаточно установить равномерную сходимость +ш интеграла / !'(е,1) й на [О; 1], что следует из неравенства 1з+ 1 [!'(е,1)] гг „, е Е [О; 1], ! с [б;+со), и сходимостн нпте- 14+ 1' +ОО Г !э+! грала / — а1. Иэ всего вышесказанного следует, что / 1е+1 Ю +СО +се +ОО =/ . ! 12 — а= 1 г(о,!)11= В (к(,1)!1= 1е+1 Г -+о+ 1 э — 1пп Г Ф(х,б)Их= ~ Ф(х,б)Их. с-+е+,/ +ОО Если х > О, то Ф(х, 0) = / сое хе * и! = — —, т. е.
„з 2 сов х е +ао подынтегральнав функции в интеграле ~ Ф(х,О) Их имеет о на (О;+оо) две особые точки. Поэтому отдельно докажем, 1пп Ф(х, Б) Нх = / Ф(х, О) Нх ю-+о+ у 1пп l Ф(х,б) йх = Ф(х,О) ~Гх. ь-+е+,/ сСа Так как функция е ~, х > О, 1 > О, иеотрицательна,то для е > 0 справедливо неравенство )Ф(хЩ( е-ы й( е ~ Ю=— ~/и хи 4 е откуда в силу прививка Вейерштрасса следует равномерная 1 скодимость интеграла Ф(х,б) Их на (О;1).
Так как фуик- е ция Ф(х,д) = / соиле ~ с!! ссн!)с!изина нн (О: 1] л [О; !], то. слсдонатсльно, !нн / Ф(х,с) Йс = / Ф(х, 0) ~!х. б-+О+,! у соех Интеграл / Ф(х,с) Ых запишем в андо / —.р(х,Б) с!х. ~~х 1 1 +со '-ы где у(х,а) = / ~/хс ~~ л1. Соотно~иснис с О < 1с(х,Б) = / с * с(х < / с ' Ис показывает, что функция !л(х, с) ограничена на [1;+ос) х [О; 1) соя! х и монотонна на [1;+со) нри любом с Е [О;1]. Функцня— ~/х Г соях не зависит от б, поэтому интеграл / — Их сходится ранl,д 1 номерно на [О; Ц. Отсюда слсдуст, что в силу признака Абе+оо (' соях ля — Дирихле интеграл / — !с(х,6) Нх скоднтсл ранномср/ д ! ио на [О; 1]. Так как функция Ф(х, с) нснрсрывна на [1;+со) к + ОО +со х [О;1], то !нп ! Ф(х,б) Ых = / Ф(х,О) дх.
б-+с+ у 1 1 Объединяя нсе выше< казанное, получим, что +СО +00 + э (! -.* -*'*и~) г*= ! ч*,ч~'=- е и и ч сю +Я ам / сз !' !нн Ф(х,с) сРх = !нн -М = / М, —.,м! —, >о+,' 1~+1 —./ 1~+ ! откуда следует, что +оэ +а =-/ 2 ) / соя х Их = —, ~ — Их = 2,/ = — 'П/---"'")'=Ч о о Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру. Пусть семейство функций /(х, 1), х Е [а; ы), 1 Е [с; и], удонлетноряеч' условиям: 1) функции /(х,1) н /,'(х, 1) непрерывны на ]а; ы) к [с; и); 2) интеграл / /(х,1) Их сходится хотя бы нри одном значении 1 Е [с;а); и 3) интеграл / Д(х,1) пх сходится равномерно на [с; и].
а Тогда интеграл / /(х,1) Нх сходится равномерно на [с;я] к а непрерывно дифференцируемой на [с;я] функции,/(1) и У (1) = — Д(х,1) пх. О В силу локальности существования и величины производной получаем Следствие. Пусть семейство функций /(х,1), х Е [арв), 1 Е [с; И], удовлетворвет условиялк 1) функции /(х,1) и /,(х,1) непрерывны на [аеы) к [е;Н); 2) интеграл / /(х,1) Их сходится равномерно на [с; И1] для а любого 4, е < с/1 < И; 3) интеграл / /,'(х,1) Ых слодпччя равномерно па любом а отрезке [у; Е] С (с;с!).
Тогда функция У(1) = у(х,1)21х непрсрывна на [с;С), а дифферепцируема на (2';И) и 2'(1) = / (2(х,1) Ых для всех 1 б (с; 2(). а Это следствие позволяет применить дифференцирование по параметру длл вычислении таках интегралов ~1(х,1) сх, а для которых функции l(1) нс является непрерывно днфференцируемой на соответствующих отрезках изменения параметра, н, тем самым, семейство у(х,1) заведомо не удовлетворяет условиям теоремы о дифференцировании по параметру.
+аа аа2 Пример ЬЗ. Вычислить интеграл / е '* сое1х2(х,п > О, е 1 с К. Решение. Функции 1(х,С) = е ' соеСх н 1,'(х,1) = — хс " в1п1х непрерывны на [О;+со) х й. Если 1 = О, то интеграл +аа +аа +аа 2 -ааа 1 -2 с " сое1хйхаа / е '* Ых= — / с ' Ых ,/ ьГа,/ сеть интеграл Эйлера — Пуассона, вычисленный в примере 51. Таким образом, выполнено второе условие теорсмы о диффе+аа 1 /к ренцировании по параметру н з(0) = / е 'а 21х = -~/ —. 2'у' о +аа +аа е „2 1 Интеграл хе '* Их = — ( е "<Ь сходится, позтому нс- 2/ е е 2 равенство [Д(х,1)[ < хе а*, 1 б й, показывает, что в силу признака Вейсрштрасса интеграл +аа +аа д~(х,1) 22х = — / хе аа егн1х22х е е 451 сходится равномерно на любом отрезке [с; <1) С К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
