И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Теорема о дафферепцяроввпвн собственного интеграла, зависящего от параметра. Пусть О = ((х,1): а ( х < Ь, с < 1 < Н) и функция о(1), )У(1) непрерывно дифференцируемы на [с;а], причем а[с;о] С [а;6], Д[с; И] С [а; Ь]. лр) Если 1' б С(Р) и — б С(Р), то функция 6'(1) = / /(х,1) ох ду непрерывно дифференцируема на [с; е] и Р'(1) = У()3(1),1) )У(1) — у(а(1),1) о'(1) + ( — (х,1) й. *р) 1 У Прпмер 22. Найти 1пп — 1 в(п1х. хэ+)э+1х — 1Их. ь-+а+ 1 ./ 1 Решение.
Функция У(х,1) = 1 ЙфО, .еь;а х~/ххь — 1, 1=0, хе[1;3], непрерывна на прямоугольнике [1; 3] х [О; Ц. Слсдояатсльпо, в силу теоремы о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, 3 з 1 Г. 1пп — ~ я!и!х хз.ь1з.ь!х — 1!1х= 1пп I Г(х,1)4х= Ф-+О+ ! !-!ое у ! ! 1 !з 16!/2 з~ Г(х, 0) Йх = / з ь/хз — 1 Их = -(х~ — 1)~!~] з ' ! з !Гх Пример 23. Найти !пп «-ь+ / 1+ (1 е) е « Решение. Для того, чтобы применить теорему о непрерывности интеграла, зависящего от параметра, введем функцию двух переменных; х Е [О; Ц, 1 Е (О; Ц, м 1' 1+ (1-!х)!Г!' хб[0;Ц,1=0.
Функция Г(х,1) непрерывна на прямоугольнике [О; Ц х [О; Ц (проверьте)), следовательно, в силу укаэанной теорем! н ! ! ! !1х !пп Г(х,1)!!х = /(х,0)!1х = / = 1в(1 + е). !-«а+ / / ',/ 1+с Так как ! 1„(,"н.=1 [ И" то ! ! '---~, ": -.'=-й 4" ! !пп Г/(х,1)й =!п(1+ с). е-+о+ у 11римнр 24. Функции л/2 л/2 /р /2(1.) = / ф — /:2л/н ~рл/12 н / (Е) =- / /1 /12 Б1п2 „2 о а где О ( 1 < 1, называются полнымн эллиптическими инте- граламн. Доказачь, что Цй) Р(/;) /о 1(1 - йз) для лвобого й Е (О;1).
Решение. Для любого я Е (О;1) существует такой отрезок (о;/2) С (О;1), что /' б (о;//). На прямоугольнике О; — ~ х (о; /1] функция Д12, л) = — удовлетворяет '2 2/1 — йзагн 22 условнлм теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, следовательно, л/2 /' 81п ол о — / (1 /,2 „пз «з/2 '/ о Алгебраическими преобразованиями из этого равенства по- лучаем следующее: /2 2 /,.2 / (1 Бза;п2 „)з/2 а л/2 л/2 1 ~' ясоз у2 + — ~ Нз а — илРл)! Р.~ ДРззл' о о где я Е (и;/У), откуда выводим, что л/2 ~2 (/С Б! Н 22) И2 / 2 а/2 Ы(й а1п 1а) ьл а;пй „,)з/з о е/2 Й соа ~ра)п ~р ~~/а / /се(п ~р + иг:Р ~ 'ю" ~ Л:Р Р~ о л/2 а/2 — -/ф-и ~ 'уь, йб(:Р), Й н следовательно, /с(1 — Р)Р,, '= ИРЯ вЂ” РЯ+ ЕЯ, Й б (о;/3) С (О;1), откуда и получаем, что длп любого Й б (О; 1) верно равенство Е(й) Р® й(1 — Р) й Ь з. нксовсувкнный инткпчл, мнисмщий от пдрлмкп А Определение.
1!усть для каждого! б 7 функция /(г,!) Е б Л(а: Ь), причем /(и,1е) е й(а; Ь) хотя бы для одного 1е Е 7'. ь ь '<' Ь Фу чгь ~'(Ь = 7 Х(*,ЬЬ" """"' ! Л* Е'~ и а называютсл несобственным интегралолц зависящим от параметра 1. Знмечнпио 1. Необходимость исследовать несобственный интеграл, в котором от параметра зависят не только нодынтегральцая функция, но и пределы интегрирования, возникает крайне редко.
Поэтому здесь будем рассмагринать только несобственные интегралы, зависящие от параметра такого вида, как определены выше. Замечание 2. 'Гребование неинтегрируемости в смысле Римана на (а; Ь) функции /(х, !е) хотя бы для одного значения !ь Е Т существенно, поскольку в противном случае мы имсель дело с уже рассмотренным собственным интегралом, зависящим от нараметра. В то же время в цеяях удобства формулировок и применений соответствующих утверждений нс стоит вводить жесткое условие: для всех ! 6 Т функция /(х,1) нс интегрируема в смысяе Римана на (а; Ь). Определение. Пусть задан несобственный интеграл ь Г(!) = / /(я,1) Нх.
а Множеством сходнмостн (абсолютной сходилюсти, условной сходимости) этого интеграла называется множество И! тех значений 1, нри которых он схо(!итси (абсолютно сходится, условно сходится). +СЮ / е1п ь. Пример 25. Для интеграла ! — нх из признаков Абель е ля — Дирихле и теорсльы сравнения получаем, что луч ! > 0 сечь множегтно сходнмоглн и луч ( > 1 — множество абсо- лютной сходнмости, нолуинтервял (О, !] — л<ножестщ< угл<ш цой сходнмостн. По тел< жс соображенинм, кяк и для по< обста< нных ннтс гралов, нс завислщих от параметра, будем и далык йнюм нзложенни рассматривать только интегралы нида ~ /(х, !) <Сх, « где /(х, !) б /![о; Ц для всех [а; С<] С [и;ы), < глн нг оговор< и специально другой вариант.
Определение. Функци|о /(х,1), <тргдсл<чшук< по множестве Х х Т, называют семейством функций, з|шисящнх от параметра 1, если переменная 1 выделена н нязынастся нараметрол<. Множество Т в таком случае называет<я ли|о|костном значений параметра. Семейство /(х,1) функций, зависящих от парал<стра иногда записывают в виде /,(х), янно выделяя параметр. Определение. Пусть /(х,С), х б Х, 1 б Т, -- < емейство функций, зависящих от параметра 1, а хо - предельная точка множестна Х.
Множество М С Т тех значений ! б Т, для которых <ущсствует предел 1цн /(х,!) = у|(!), нальешь-<я< ется множеством сходимости семейства /(х, !) нрн х -| хо. Функция р(1), 1 б М, называется предельной функцией нли пределол< семейства /(х,1) при а -+ хо. В дальнейшем для любого множества Г С М будем коротко говорить: семейство /(х,!) сходится на !.' прн х -л хо к о<(!), н записывать <р(1) = !ин /(х,С), Сб!.', илн /(с, !)-л<л(!) х -< е р при х -+ хо, 1 б Ь'. Примор 26. Рассмотрим семсйстно функции /(х,1) .= я!н(1~), х > О, 1 > О. Если О < 1 < 1, то при х -+ +со имеем, что 1' — | О н, следовательно, /(х,1) — л О. Если ! = 1, то ирн любом х > О имеем, что /(х,1) = я|я 1. Если 1 > 1, то ири .с — | +оо аргумент синуса неограниченно растет и функция <йн(1') при :|тол< нс имеет предела.
Итак, множсгтном сходим<кто с<- л<ейстна /(х,!) = в|ц(1 ), х > О, С > О, прн х — л +со является отрезок [О; 1]. Опродгвенме. Пусть семейство /(х, «) сходит< я па Е при з — ~ хе к р(1). Если выполнено условие: для любого положительного числа г найдется такая окрестность 1«(хе) точки хе, что для всех х с ««(хе) й Х и всех 1 б Е справедливо неравенство ~/(х,«) — ~р(1)( < е, то говорят, что семейство /(х, «) сходится равномерно к р(1) на множестве Е при х — г хе.
Если семейство /(х,1) сходится иа Е при х -«хе к ю(1), ио не удовлетворяет приведенному выше определению, то говорят, что зто семейство сходится к р(1) неравномерно на Е при х -+ ха. Равпомериая сходимость семейства /(х,«) к функции ~р(1) иа Е при х -+ хе обозначается символола /(х,«) =) 1л(1) на Е при х — > хе. Приведем формальную запись сходимости и равномерной сходимости к ю(1) семейства /(г,1) на Е при х -+ хе в сеучае, когда хе — собственная точка числовой прямой и функция /(х,«) при всех 1 б Е определена в некоторой, может быть, проколотой, окрестности точки хе.. /(х,1) -+ у(1) при х — + хо на Е е=~ П б Е Че > 0 Эб = Б(1, е): Чх: 0 < )х — хр) < Б ==~ )/(х,«) — <р(«П < е; /(х,«):3 у(1) при х -+ хе па Е Ехю Че > 0 Ле = е(е): Ух: О < (х — хо( < е, 'у« б Е ~ )/(х,«) — ~р(1)) < е.
Предлагаем читателю самостоятельно записать в таком виде определение сходимости и равномерной сходимости на множестве Е семейства /(х,«) к «л(1) при х -+ +со. Пример 27. Семейство функций /(х, 1) =, х б (О; 1), 1 Е (О; 2), 1+х ' иа ин гервале (О; 2) сходится при х -+ О+ к функции р(1) = 3. Покажем, что а) на интервале (П 2) семейство /(х, «) сходит ся к р(1) равномерно; б) иа интервале (О; 1) семейство /(х,1) сходится к р(«) неравномерно. 2х Для любого «с (О;2) имеем, что /(х,«) = 3 — —, т. е. 1+ х' (1(х,С) — р(С)! = —. 2х 1+х 2х Начнем с пункта а). Кслн ! < 1 < 2 и х > О, то — < 2х, 1+х откуда следует, что если 0 < х < —, то для всех 1 б (1;2) выполнено неравенство /у(х, 1) — р(1)! < е, т. е, /(х, 1):$ р(1) па (1; 2) при х -+ О+. Переходим к пункту б).
Нужно указать такое положнтельное число ее, что для любого Б > 0 найдутсл значения хс: 0 < хс < д и Сс б (О; 2), для которых !/(хс, 11) — р(11) ! > со. 2хб Возьмем хс = — н 11 = хс, тогда = 1, откуда н сле- 2 ' Сс+хс дует, что /(х,С) неравномерно сходится к у(1) на (О; 1) прн х -+ О+. Следующие утверждения Немедленно следуют нз определенна равномерной скоднмости семейства функций. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
