И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как сходимо<ть несобственного инт<трала / /(х)<(х а есть существование предела функции 3'(6) = ( /(х) «х при н а 6 — ь и —, то условии схолимости интеграла ( /(х) Их, в оспона нем, получаются персфразировкой у<.повий сущ<стнования предела функции. В частности, если функции / нсогрнцаь тельна па [а;и), то функция В(6) = / /(х) <(х монотонна О ыа [и;и) и су<цсхсгвонапис предела 1нп В(6) <жниналснтно ограниченности Р на [о;и). Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Интеграл ( /(х) <(х <.ходит<'я тогда и только тогда, а когда для любого положительного числа е > О можно указать такое число В > и, что для лн<бых чп< ел 6<, 6з, удовлетворяющих условию В < 6«6з < и, справедливо н< рапснстно <н /(х) <1х < с.
Ь! Пример 7. Поьаж< м, пользуясь крит< рщ м 1(опп<, что пня(Кн а|н н х т<трал 1 — — </х сход<ггсн. х1 2 < 1й ли а Е [и; и + 1], и С 1<1, го н<цн ь<н хх —. ( — 1)". <'л<дона- тельно, если [6|] < [6з] — 2, то Ьи БГАН Б|И 3ГХ и+2 |ч [ь,!+! [ь [, «+! ь, ь, ° =[ь !+! и [ь,1 если [6|] = [Ьз] — 1, то ь. [ьи! ь, =/ а|коз[низ !" ( — 1)[ь'1 [ ( — 1)[ь'1 х+2,/ и+2,/ к+2 ь, ь, [ь.! если же [Ь|) = [Ьз], т. е. точки Ь| и Ь! лежат на одном полуин- тервале с целочисленными концами [и; н + 1), н Е Н, то ь, ь, =(' БГБИБ|и ЗГИ ! ( — 1)[ '! Г[л = ( ![и. и+2 ( л+2 ь! ь, Так как [ь,[+! / *Ч.2 ) |И!'..2 6 .~1 ! 'Г*( ])[ь*[ 1 1 1 *+ 2 [ [Ьз) + 2 Ь! + 1 ь,! [Ь! ! и+1 [ьь[-! |, г*~= ~' |-!" ° (~+ — )~ и=[ь|!+! и и=[Ь1[+! 1 1 2 <2!и 1+,) <— [6,)+2) Ь, +1, то Ь1 ! з[кп а|и |Ги 4 ' ь[з < —. .+2 6,+1 Ьг 4 Г Б1831Б331 вх Итак, если — < Ь3 < Ью то [, г!х < Б.
Таким Е +2 Ь3 +22 Бгби Б1и ггх образолг, для интеграла ГГ, 31х выполнены условия х. + 2 1 критерия Коши и, следовательно, этот интеграл сходится. Пример 8. Покажем, пользуясь критерием Коши, что ни+ 32 Г Б3$П Б!п(3Г !и х) теграл ГГ г!х расходится. х+2 1 Начнем с формулировки отрицания критерия Коши. Надо найти такое число ее, что для любого В > 1 можно указать пару чисел Ь,, Ьз, для которых В < Ь, < Ьз, но Ь2 ! /' Бгбпвгп(я 1п х) 1 ггх~ ) )ее.
в+2 ь, ь, Г вгби ми(гг! и х) Поскольку интеграл [ лх оценивается снях+2 ь, зу, то естественно взять такои промежуток интегрирования [61, бз[, па котором подыитегральная функция не меняет знака. Определим числа Ьг н Ьз равенствами: 1П 61 —— 2П, 1П Ьз = = 2и + 1, и Е 131; тогда для любого числа В > 1 условие В < Ьг < Ьз выполнено, если взять достаточно большое и.
Для х Е (Ьг, Ьз) имеем Бгяи в)п(я 1П х) = 1, следовательно, Ь2 ь, ь, ь, =1136з — 11361+!и 1+ — — !п 1+ — ) 1 — — ) Ьз( [, Ь/ Ь, г 1 Итак, если с = —, то для любого числа В > ! находитсв такая 2' ь, Г Бгк31 Бш(3Г(п х) пара чисел 63, Ьз, что В < Ьг < бз н у 312 ) с. х+2 ь, 382 +ОО г ваап впа(г)п х) Следовательно, интеграл / аах расходится. я+2 ! Пример 9. 11окагнем, пол! зуясь критерием Коши, что нньсо 2 гегрвл х~ <ов яха) вапа1 ' ях~ г1х сходится.
! Пусть 1 < 6! < 6в. Так как подынтегрвльная функция неотрицвтгльна, то для целых чисел в~ ага таких, что 1 < у! < < 6! < 6в < яг, имеет место неравенство а 2 ,/ва О ( / х(гов вх ) в!в~1* 1 агхв аах ( / х)сових~) в!в~1* 1 лх~ Ых. ь, а/ва Так как ,/й+ ! ,/й+ ! 2 ™~~ 2 х)сових~(в)п 1*1 ях~ггх = / х)сових~)в!в~" их~!ах = ,/й /в !а+ ! «/а = — / ~соваг1~вт" аг1Й = — / вап " гг1(в!их) = —, 2 г аг 2ячаа ' то еа — ! х)сов!ах ~вп! 1 ~ агх гах = ~~~ — ( з г**' 1 2япв 2к(ау! — 1) а/и п=и Итак, если !)г — + 2 ( 6! < 6в, то 'у' 2ие ь, аа О < / х) сових~) в!в~1~ 1 агх 4х < в, ь, следовательно, и силу критерия Ковш, интеграл а! х) сових )вап 1в 1 агх 6х ! гхгадичтя.
313 Обратите внимание на то, что подынтегральная функция /(я) = я[с«зля [э1п 1~1 ли в данном сходящемся интеграле не стреми'гся к нулю при х — Ф +оэ и даже не ограничена на [1;+со). Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать утверждение критерия Коши сходимости несобственного интеграла и его отрицание в том случае, когда единственной особов точкой подынтегральной функции является левая концевая точка промежутка интегрирования. Иэ критерия Коши немедленно следует, что сходимость или расходимость интеграла / /(х) 0л зависит от поведения а функции / только в левой полуокрестности точки ы — промежутке вида (сои).
Будем говорить, что функция / локально слева (справа) в точке ы обладает некоторым свойством, если существует такая левая (правая) полуокрестность точки ы, в которой / обладает этим свойством. Папримср, выражение "функция / монотонно локальна слева в точке ы" «бозпачает, что / монотонна па некотором промежутке (с; ы). Как уже не раз отмечалось при исследовании существования предела, применение критерия Коши для исследования сходимости конкретного несобственного интеграла, по большей части, технически сложно.
Поэтому, в основном, при решении этого вопроса используютсв достаточные условия, в совокупности имеющие большой объ м применения. Теорема сравнения. Пусть функции /: [а;ы) -+ П и д; [сом) -+ м' удовлетворяют неравенству 0 ( /(л) ( у(х) локально слева в точке ы. Тогда из сходимости интеграла у(х) Пл следует сходимость интеграла / /(х) Нл, а из расс г а ходимогти //(л)Нл следует расходимость интеграла~у(л)ял. а с Следствием этой теоремы является Прнэнак сравнения. Пусть функция /: [а;ы) — ~ 1й неотрицательна, функция у: [с;ы) ч Й локально слева неотрицательна в т«чке ы и /(я) у(х) прн с -+ ы. Тогда интегралы 384 з (л) Из и у(я) Лз сходятся яли расходятся одновременно.
/ а с Заметим, что для локально неотрицательных слева в точке ы функций Яасм) -+ й ограниченность функции г'(Ь) = ь у(х)Их на (асм) эквивалентна сходимости интеграла а у(х) Ыз. Поэтому для таких — и только для таких!— а функций вместо выражений "интеграл у(я) Ых сходнтсяа а н "интеграл у(я) Из расходится" применяют соответствен--:/л*м - /я*н =- а а Применение теоремы и првэнака сравнения для анализа сходимости несобственных интегралов требует, как и для рядов, набора "эталонных" функций, сходимость нля расходнмость соответствующего интеграла для которых установлена. Наиболее употребятельным таким набором валяется се- 1 мейство степенных функций: у(я) = — для анализа интеграле 1 лов вида / з (з) 4х и д(х) = для анализа интегралов (Ь вЂ” з)Р Ь а вида / у(х) Ыз, где особой точкой функции / является точка О Ь ( — оо < а < Ь < +со). +аа ~!я Как было показано вьпне, интеграл 1 — сходится при / 1 р ) 1 и расходится при р < 1.
Дословно повторяя ход анализа 1 ь Г с1л Г Ия интеграла / — получаем, что интеграл / — (-оо < / ,/ (ь-*). < а < Ь < +со) сходится прн р < 1 и расходится прн р > 1. В силу линейности для любого с > О получаем, что инте+со Г сил грал 1 — сходится при р > 1, расходится прн р < 1, а Г саул антеграл ( (-оо < а < Ь < +ос) сходитсв при р < 1 а и расходатся пра р > 1. Обрагам внимание на то, что хотя в теореме сравнения и признаке сравнения есть условия как сходнмосги, так а рас- ходвмоста антеграла /(я) Ия, однако ни то, ни другое не лввпочся кратерием сходамости. Дело в том, что нет та- ков унаверсальноа (зависвцей только, может быть, от про- межутка [а; ы)) функцаа уд [а; ы) -+ й, чтобы нэ неравенства О < у(х) < у(а), а Е [а;ы), следовала бы сходимость, а из неравенства /(я) > у(л), и Е [а; ы), — расходимость интеграы ла /(я) дя (алн иэ неравенства О < у(*) < у(я) сходимость, а а вэ неравенства у(л) > у(х) расходимость).
Првзвакв Дврвхле — Абеля сходвмоств весобст- веввого ввтеграла. 1. Пусть функции /: [а;и) -+ !! а у: [а;ы) ~ % удовлетво- рвот условиям: ы а) аатеграл у(л) с)а сходится, б) функцая у локально монотонна слева в точке ы и огра- ничена нв [а;ы). ш Тогда интеграл ~ /(х)у(я) Лх сходится. а П. Пусть функции 1: [а;ы) — > !! и Ьч [а; ы) -~ И удовлетворяют условиям: 386 ниченная слева в точке ы функция, следует, что у локально сохраняет знак слева в точке ы. Если пронзведение ~(х)у(х) локально сохраняет знак слева в точке и, то, не ограничивая общности, можно считать, что обе функции у и у локально неотрицательны слева в точке оо, поэтому ограниченность ь а ау-о о(е=) лоа* а- - о ) л*й* а а эквявалентны.
Из всего этого следует, что при выполнении условий признаков Абеля и Дирихле сходимость интеграла у(х)у(х) пх следует нз теоремы сравнения и сходимостн ш интеграла ~ у(х) Ых. Проверка же того, что для данной по- а дынтегральной функции выполнены условия теоремы сравненяя, обычно проще проверки выполнения условии признаков Абеля или Дирихле. Чаще всего признаки Абеля — Дирихле применяются для +оо установления сходимости интегралов вида / у(х) е1п х ех и +оо +оо у(х) сое х Нх, если интеграл Щх) ~ йх расходится.
В таа а ком случае проще начать с установления сходимости интеграла, а для анализа абсолютной сходимостн широко используемым приемом является оценка: (1 (х) еш х( ) ) у(х) ) е(п х = — (1 — сое 2х); .з ахи )/(х) сове) ) )у(х)) сое х = — (1+ соя 2х). 3 1У(х)! 2 Распространенной ошибкой при применении признаков Абеля — Дирихле является пропуск установления монотонности сомножителя у(х). Часто она происходит вэ-за очевидности этой монотонности, но всегда необходимо отмечать, что это свойство выполнено. Иногда считают достаточным написать оценку 0 < у(х) < р(х), где функция р(х) монотон- 388 но стремится к нулю при х -+ +со. Следует ясно понимать, что из этой оценки следует только равенство 1пп д(х) = О, о-++оо но никоим образом не монотонность д(х). Заметим, что алгебраическая (в частности, рациональная) функция локально монотонна слева в +со: этим фактом будем в дальнейшем пользоваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
