И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 37
Текст из файла (страница 37)
8 353 Рис. 10 63. Например, 2пх, 11 1 1 — 2п х — -/, — <х< —, и/' 2п и' 1п(х)— О, (см. рис. 11). 64. Решение. Из определения Д(х) получаем, что и так как д„-+ +со при н -+ оо, то, следовательно, Пусть хе Е (О; 1]. С одной стороны, существует такая подпоследовательность и, 1 +оэ, ччо У„,(хе) = О, а с другой 355 0 < ~',(х) 4х < — а а 1пп Д(х) Ых = О. и-~со 1 о 1 0<х< —, 2п' 1 — <х<1 и стороны, существует такая бесконечная последовательность (т„, 1 т„, ! и; )' +ос, что хе б ~ — — —; — ' +, н, следователь- 2- '2- 1 но, у„,(хе) > —, откуда и следует раскодимость последова- 2' тельности ~„(хе).
66. Указание. Использовать то, что последовательность (солях) не является бесконечно малой ни при каком х б 1к. 1 68. Решение. Так как О < Д(х) < —, х Е %, то О < ~„(х) < 2' 1 < —, х б %, и непрерывность функции у(х) следует из 2.4" ' равномерной сходимости ряда ~ ~„(х) на К. Для любой точа=О ки хе б К найдется последовательность вложенных отрезков )4.
— 1 ы 24" '2 4" ' Ч б 1ч, содержащих хо па отРезке Ь„ 1 возьмем точку х„, отстоящую от хе на —. Если пз > и, то 4" +' 1 число — является периодом для функции 1 (х), следова4аы тельно, Ут (хл) — Лл (хе) = О. Если гп < и, то функция / (х) х„— хе линейна на Ь„и ее угловой коэффициент по модулю равен 1. 356 Поэтому У(х») У(хо) ~~~ Ут (хп) Ут (00) ~! 10!т) — хо Х» ХО тпо п1»0 где !0(ги) равно 0 или 1 н, следовательно, У(х») — У(хо) ) четному целому числу при нечетном и, хп — хо )(нечетному целому числу при четном и, У(х„) — У(хо) Отсюда видно, что отношение не имеет предех» хо ла при и -+ +со.
Так как при этом хп -о хо, то, следователь- У(х) — У(хо) ПО, И ОТНОШЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ ПРЕДЕЛа ПРИ Х вЂ” 1 Хо. х — хо 70. Решение. Пункты а) и б) следуют иэ определения У(х) и равномерной сходимости при любых фиксированных й Е 1"! е !пи и е > 0 ряда у — на [с;+ос). Запишем функцию У(*) в ип »=2 х — 1 виде У(х) = х — 1 + ~ . Из неравенства и* »=2 х — 1 »=2 1 ! х — 1 — = У вЂ” 11< 2* ' У 1* 2 Г х — 1 < / й= 1, х>1, 1и 1 х — 1 х — 1 У(х) — х — 1= — + Š—, 2' и' »=з +Оп х — 1 Г х — 1 1 0<~ — < ( 1!1= —, х>1, 11» У 1» 2* »пз 2 357 получаем правую часть неравенства в). Так как 1п2 < 1, 1п2 то 1 — — > 0 для х > 1, откуда следует, что функция 2* 1 1 х — 1 + — монотонно возрастает на [1;+со), н следова- 2* 1 тельно, для всех х > 1 имеем неравенство х — 1+ — > 1.
2 Пункт г) следует непосредственно из и. а) и и. в). Соотноше- показывают, что )пп [У(х) — (х — 1)) = О, т. е, справедливость ! -++»о и. д). 71. а) Решение. В силу периодичности и нечетности функций В (х) достаточно найти такое число М, что (В (х)( < М для всех х б (О; х) и всех и! б И Пусть С = впр 1пЬ„!. Для ! 7Г ! ») ! х Е (О; х) положим 1! = ~ — ~. Если и! < 1!, то )Я~(х)) < ~~! )Ь„в!пох! < ~ ~пЬ„х) < Сдх < Ся.
»=! »=! Если же еа > р, то 1з (х)) < ~ )пЬ„х~1+ ~~! Ь„в!ппх < »=1 »к+! < Сл+ ~~! 6„в!пих . »си+! Для оценки суммы ~~ Ь„в!п пх применим к ней преобразование Абеля: Ь„в!п пх = Е »я+! »в- ! (6 — 6„+!)В„(х)+6 В (х) — Ь„+,В„(х) »»л+1 где Ве(х) = ~ в!пох. Так как »»1 2 ~Вд(х)! < х х (О' я) 4 с Я (см.
стр. 44-45) и последовательность (Ь„) монотонна, то отсюда получаем, что Ь„а!ппх < 2)Ь„е!) — +2(Ь ! — — "« 2 2 86»е! 8С х(и+ 1) ' 358 Из определения числа и следует, что — < гг + 1, откуда окон- чательно получаем для гп > и оценку: [о (х)[ < Сгг+ 8Сл = 9Сгг, что завершает доказательство. б) Указание. Для доказательства необходимости рассмо2г« л треть ~~ 6«егп х, где х„, = —. Доказательство доста4гп «««г точности проводится аналогично доказательству в решении предыдущей задачи.
Оэ егп пх 72. Например, ~ п1п(п+ 1) ««! 73. Указание. Для любого и! б 1!1 рассмотреть !р«(х«г) егп пх«г егп х«г Е «=«1 2 где х„, = —. !г'гп 74. Решение. Запишем ряд ~ (п„совах+6„я!пах) ввиде «=! ОО р„сов[и(х — !р„)], где р„= ,/а„+ 6!. Надо доказать, что «=! 1пп р„= О. Если зто не так, то найдутся такая последова«-+о« тельность натуральных чисел пг 7 +со и такое число С > О, что ]р«,] > С для всех 9 б Я, Пусть гп! — первый член по2гг следовательности и„, больший, чем . Тогда на отрезке 19 — а [а;19] функция сое[гпг(х — !е !)] принимает все значения от — 1 до 1, следовательно, существует отрезок [аг,Дг] С [а;г5], на 1 котором соя[гпг(х — гр,«,)] > —, и тем самым 2' С [р, соя[го!(х — у~,)][ > —, х б [а!,'19г].
2' 359 Рассуждая аналогично, найдем число и!г и отрезок ]аг,'Фг] С [а1,./31) такие, что С ]Р„„, сов[™г(х — 'Р,))] > —,, х Е [аг',Дг]. 2' Продолжая этот процесс неограниченно, получим возрастающую последовательность натуральных чисел гпю Л Е 1Ч, и последовательность вложенных отрезков [ав, 17в] таких, что С ]р,„„сов[им(х — !рп1,)]] > —, х е [аю)ув]. для точки с е 2' Е П[ав;аул) имеем Ви! С 1пп ]р„сов[п(( — уг„)]] » — О, П-!СИ 2 Г 1 — тг е "пее -!+со (2е)! ~', гпх' Используя неравенство п! < е ~ — ), получаем, что 2 н, следовательно, ряд ) р„сов]п(С вЂ” !рп)] расходится, что =1 противоречит условию.
75. Решение Ряд ~ е п сов пгх сходится при х = О; все п=1 его члены пп(х) бесконечно дифференцируемы на В; для любого натурального д имеем: (ип(х))!г1=е " а~гсов [п~х+ — 1 2) и в силу сходимости ряда ~ е пп в ряд ~~! (ип(х))1е1 сходитп=! и=! ся равномерно на К. Следовательно,у Е С (К). Ряд Тейло<и ге <и ра г(х) с центром в нуле имеет вид ) — у е пп"е. (2ч) ' Итак, для доказательства утверждения задачи достаточно показать, что откуда и следует соотношение (3).
76: Следует из равенств и!и» ! 1пп и= =1 и !пп — со »-«оэ»-«с«п(и+ 1)(«+ 2)... (и+ д) для любого натурального е. 77. Следует из неравенства: )и„(х)х") < (х!" епр(и„(х)!. « 78. Решение. Если ряд ) а«сходится, то радиус сходи- ««1 мости степенного ряда ~ ~а«х» не меньше 1, следовательно, »«! ряд ~~~ ««х« сходится абсолютно для любого х,(х) < 1. Еслн »«! я«х ~х( < 1, то " <, следовательно, ряд ~ х« ~ 1 — х« ««1 сходится абсолютно. Если же ~х~ > 1, то сходимость ряда Е" « а«х«а„(-') — следует из равенства = — ૠ— — е- « х« « (!)» ОЭ и вышеприведенного рассуждения.
Пусть теперь ряд ~ а« «»1 ч а«х» расходится. Еслн )х( < 1 н ряд ~ —" сходится, то, х« «=! а«х« применяя результат задачи 77 и равенство а«х« = ,» « ОО а«х — — х", получаем, что сходятся ряд у а«х«. Обратно, х» «=1 пусть |х! < 1 н ряд ~ а«х» сходятся. Так как последователь««! 1 ность з монотонна н ограничена,то в силу признака 1 — хз» а«х« Абеля сходится н ряд ~ " з . Опять применяя результат 2 1 хг»- «»1 Зб! а«хи задачи 77, получаем, что сходится ряд ~~ ы, откуда в хзп ' ««1 силу равенства а«хи ап а«хи хи ! х2« ! х2п п ч пих получаем, что сходится ряд ~ —.
Осталось показать, 1 — хп ии! что из расходимости ряда ~~ ап следует расходимость ряда ««1 Е '"'. для всех х: )х) > 1. Действительно, если )х) > 1 и 1 — хп «=1 по п п опх аих ап ряд 2 — сходится, то из равенства — и и 1 и 1 (1)п - (1)" результата задачи 77 следует, что сходится ряд ~ — (-')п' «=1 откуда в силу равенства ап = ,, „ — ', „ следует СХОДИМОСтЬ РЯДа ~~! ап, Чта ПРОтИВОРЕЧИт ПРИНЯТОМУ УСЛО- п =! вию. 79. Решение. Равенство пип ап п.п и х(х+ 1)... (х+ и) и* х(х+ 1)...
(х+ п) показывает, что в силу признака Абеля для доказательства данного утверждения досгаточно показать, что для любого х ф О, — 1, — 2,..., -1«, га Е 1и', обе последовательности п)пп 1 Р„= . и — ограничены и локально монох(х + 1)...(х + и) тонны.
Так как то это утверждение зквивалентно тому, что последователь- 1! + / +11 ность Р„ = 1 + — ~ ( 1 + †) локально сохраняет и и 362 знак и произведение Д Р„сходится, а зто утверждение слеп=! дует из соотношения Р„= 1+ — 1+ х( +1) 1 80. Указание. 1) Показать, что ряд 1и )х!+~ 1п ~1 —— хзпз «=1 допускает почленное дифференцирование в окрестности любой точки х ф. хй, й Е К. 2) Использовать равенство !8х = = с!8 ! — — х11, х ~ — + х/с, х б Х.
3) Использовать равенство ~2 /' 2 1 х х — = !8 — + с!8 —, х ф лй, й Е х.. 4) Показать, что ряд нз мпх 2 2' и. 1 допускает почленное дифференцирование в окрестности любой точки х ф хй, й Е Ж. 81. Указание. Показать, что ряд ~~! 1п сов —, 0 < * < —, 2е ' 2' «=1 допускает почленное дифференцирование в окрестности люка бой точки х Е 1!О; -) . ~ '2) 82. Указание. Обоснование зтих равенств полностью аналогично обоснованию равенств 1) и 3) в задаче 80. 83.
Решение. Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое Е число М Е И, что для и > д! имеем ~Я вЂ” Я„~ < —. Пусть 2 т > М. Представив разность Я„, — Я в виде Ф! — 5) + (Бз — ~) + + (Бя — З) + и! (Бм+! — 5)+ - + (5 — 5) и! — д! + Ю 363 Видим, ч'Го откуда следует, что существует число М! Е Н, М! > М, обладающее свойством: для всех т > М! имеем )а,„— 5( < е, что и завершает доказательство.
84. Доказательство аналогично доказательству утвержденна задачи 83. 86. Следует из результатов задач 83 и 85. 87. Например, а„= ( — 1)" +!. 88. Следует из соотношения: а„= л.о„+ (л — 2)аО 2 — 2(п — 1)ВО 90. Например, 1111111111 ' 2' 2' 2' 2' 3' 3' 3' 3' 3' 3 т. е. 1 2 а„= —, пт(тл — 1) < л ( тл, а„= — —, т < л ( т(т+ 1). тл тл 95. Например, а„= ( — 1)"-л. 96. Указание. Использовать формулу Коши длл определения радиуса сходимости степенного ряда. 97.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
