И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 32
Текст из файла (страница 32)
1091) — — ~~! ~,, В= оо. »и! »=! (-1)»4»ха» ~~-~ (2п — 1)(2п)! ' (2п — 1)! !хо»+ ! ~~-; (2п)8(2п+ 1)(4п+ 1) ' ха» ОО 1094) — ~п —, В= 1. 1095) 11 (-1)»хо", В= 1. п «=! п=о (-1)»(4.7 (Зп — 2)) хп 3» п! »=! (2п — 1)!! 1097) 1+~~! "ха", В= 1. (-1)и-'(*-1)и+' (-1)и-'( -1)и и и «=1 ии! ( 1)и 1( 4)л+1 б) 41п4+ (х — 4)1п4+ ~~) и + и«1 (-1)и '(х — 4)и ии1 " (-1)"-)И)и " 3 1117) а) 1п3+ ') в, й= —. «и! со ( 1)» 12« 1 б) ~~) х", Я = —. пи! 2' 2 '2»+ в) !п11+~~ (-1)и ~ — ) . -(х-4)и+', 11 и+1 11 В=— 2 1118)1 11 — 2 ( — ), *И[ — '.-]- ли! 1»2)12 — !"'(2) ) 1) .
*2[-1,';;) «=1 И щ е ( — 1)и 12" „Е (-1)и 'хи 1 и и ' 2 ли! пи! 3 (-1)и ' /21 и ( — 1)и б) !п -+~~) ~- ] (х — 1)и — ~ и ~3~ и 2п «=1 п=1 1 В=-. 2 1121) ) 1 — — ~ (-) — — й )-1)" (-) »=1 «1 2» б) — 1пб + ~~) †(х — 1)и + «=1 ф ), - 2)", и = 1. «=1 (х- 1)", 2 И= —. 3 1141) 1 — 2х+ 2х — 2х + 2х — .
+ апз«+ азз = О, азз-! = 2, азз 2 - -— 2, 5 Е )!1, й 2х 2хз Указание. 7(х) = 1 — — '+ —. ,з ! .з ' 1142) ~ хз« вЂ” ~~) хз«+' й = 1 ««О ««О 1143) ~~ (-1)«(п+!)х«+2, й= 1. ппо 1144) — ~ *2", й = !Г2. 4~г 2» «=О 1145) ~ (п+ 1)хз", й = 1. ««О Е (п+1)(п+2)(п+3) ° 6 ««О 1147),~ пх", й = 1. пп! 1148) — — ~ хз«+ — ~ (-1)«пх« ', й= 1. п«О «=1 ««! и> 2+! 1149) — ~~) ( — 1)«х« — — ~ (-1)« — +— 6 30 5" 30 й= 1.
»О 1150) ~[(л+ 1)2+ 1]х«й — ! С« .зп Е(- )" — ',„, п«О п«О !!«) — 2 Я *"+~ !) ) — Я ) 3 й = —. 2 1152) ~ ~З вЂ” Зп — —,) х", й=1. 7 п«О 1153) — + — ~ (-Ц» и "(х — Ц", Я=1. ГЗ Гз „ , 1 ! (2п — Ц0 1154) — + — ~ (х+ ֻ— ~/3 1/3», п! 3» 2 2 (2п — Ц! ! — — (.+ ц ~ ' — "(.+ ц-~~+ Л 1ГЗ», »13» (.+ ц2+ ~~ ~ "( + ц»+2 1 г ! (2п — ц!! »»1 1 2 2 с- 3" (2п — Ц!! 1155) — — + — (х — Ц + — ~ — (х— ~Г7 1Г7 Г7 ~-; 7" (2 )!! 1 ~ 3" (2л — Ц!!» 7 — — — "(х- ц", И= —. 1/7 х 7» (2п)1! ' 3 -1» 2п — 1 !! 1156) +'~~ ( ) ( ) (х 6)г» »»! 1157) 2+ -(х — 3) + — ~~! и (х — 3)~"~ ! (-Ц" (2п — ЦИ «»! ( — Ц»(2н — ЦИ „ ' ( — 3)'", Ю = 3.
»»! 2п — 3 !! 1158) ~ хг» ' !2 = ! (2п)!! 1159) ~~! Ц, Я = 1. 2п — ! »»! 1160) ~~! ( — Ц», + —, й= )~!. »=! ! !6ц ~~~ хе»+1 + ~~~ хб»1.2 д ( ц» с» ( ц» 6п+ ! обп+5 Е 4п+1 4п+3 3 Я = —. 2 ц»+1 1176) — — + 2 — — — ~, 2 и+', Я = 1. 3 х ~ (2п — 3)11 2«+, 2 6 (2п + 1)(2п)!! 1177) ~п ( ( ))" 2п (2п+ 1)И ( 1)п 2«+б 1178) ~, В= со. (2п+ 4)п! ' ( 1)п .Оп+1 1179) ~,, В= оо. С« 2«+1 1180) ~ ( — 1)и (2 )(2 1)1, 22 = оо.
«=О (2п — 1)1!об«+' (2п)!!(4п+ 1) ' Хп+! 1182) ~ ( — 1)и,, *> О. (п + 1)(2п)! ' (гп -1)11 1184) 2 4. 2 ° ." п2 +! д ~' 2« и!(2п + 1)2 пп! й = оо. 1. ))1' п!(2п — !) ' «=О 22 соб — "" 1188) ~ п=о 1185) ~~! п«О 1186) ~~! ««1 ( 1)п '(2п — 3)11 и+, 12 ~' 2" .и!(5п + 1) 2(2п+ 2)(2п ( 1)п 2«-1 (13)п/2 / 1189) ~ в(п ~пагс16-) х", В = оо. и! ~ 3) ппс (~/10)" сов(и агой 3) и! по 22п 1191) ~~~ ( — 1)п —,хв", В = со. (4п)! Г 11п2вп+2 1192) ~ ' ' ~~"~~ В = (4п+ 2)! 1193) )~~, „—, в!па ф О, В = со. сов(иа) хп 24пп о по СО 1194) ~ хп В = оо ппа (-1) в)п вп 1195) — .~ с — — -1-*", Я = 2. 4 „(Л)п и 1196) а) ~ ( — 1)п — хпвгп ( В= 1 ппв б) ~~~ — (-1)пхпв(п, В = 1.
2 „„, 2х(п+ 1) „пв ~Г3 2 2 в 17 г 62 1197) х+ -х + — х + — х + — х + ° 3 15 315 2835 1198) — + — * +, хаий, !гЕЖ. х 7 6 360 1199) 1+ — + — х + хг 5 2 24 1200) 1+ -х + — х + — х + 12 7 О 13 в 6 360 3780 1 1 7 1201) — + -х+ — хг+ 2 4 16 2 ! в 2 О 1202) 1 — -х — — х — — х + 3 45 945 3 хв 11 т 43 о 1221) — х — — — — х — — х + .. 3 120 252 !222) 32+ 2аЬ + (Ьз+ 2ас)х2+ (2а»1+ 2Ьс)х + + (сз+ 2а/+ 2Ы)х~+ (2аЬ+ 2Ц+ 2с»1)х~+. 1231) 1. ОО 1 1232) ~(п+ 1)о" = ««о (1 — Ч)' 1233) ~~» «=» 1 4 1234) — + — + + 6 45 1 1 1 + 1 2 (2п — 1)(2п+ 1) п(п+ 1).,»э/ + + + 1235) ~» ( ) . 1236) ~ = с э.
(2п — 1)! -о 2 53 1а 1238) х — -х + -* — -х +. 2 6 2 хз 4 о 44 1239) 1+ — — — х + — х + 3 45 945 з 1240) х — — + — 33 + 3 15 хз 5хо 53хо 92! в 23513»о !241) 1+ — + — + — + — хо+ — х»о+ 2 4! 6! 8! 10! 2 ! э 1242) 1 — -х — — х — — х +. 2 12 24 1 а» а, а2 2 2а»а2 аз а, э с а зт 1243) — — — х+ ~ — — — ) х + ~ — — — — — ) х + ао ао ~, о ао) ~.
ао ао ао) 2 ~ 3 2) ~ 3 2 О) < 2а»аз аз ао За,аз а, ' 2 2 О» + з + з а а + 3)х ао ао ао а„ ао 2 ! 3 хз 1.З хв 1248) х — -хз+ -хо+ 1249) х+ + + 2 3 23245 З .3 1250) — + — + — + 2 90 1280 иив 1303) и„=— п Е й. 1305) -945. 1308) —. 105 16 1306) О. 1309) О. 1307) О. 1310) — 16! 1+ —, хг 5хв 53хв 921хв 1272) 1+ — + — + — + — + 2! 4! 6! 8! (2п) ! х 2«+! 1282) 2) (п!)2(2п+1) (2) 1283) ~) (( )1] (2х)г -о и=! 4«-'((п — 1) !]г Г (2п)! 22 32 (п — 1)2 ««2 х х' 1293) у = 2 — — + — + 6 12 хг 1294) у = х — — + 6 х хг 2хг 5х~ 1295) у = --+ — — — + — —. а аг ав а" 1296) у = а — авх + 5аохг — 15а'гхг + 35а' х + х 1297) у = --+ — + 4 1024 2 5 1298) у хг + хв + 3 81 АЗ 1 ( ГЗ 1) 2 24 си и 1300) Р(х) = ~~ Я„х", Я„= ~ ав. 1312) — —.
3465 4 8, 1311) --'. 5 (38)! 1313) а) вв 71 /З~ 6) 0 13!4) — ~ ) 5 ~8) 1316) Зшо 1315) 2зо 1!бег. 310 !317) „з вш ~(п+ 1)-] . !)п5 и! и ! 318) У!" 1(0) = 0 при и = 2й, й Е й; ~!"1(О) = 2 ~ — ~ (и — 1)1 при и = 25 — 1, й Е Я. 1 1 1 1 1319) — )х( > 1. ха хз хя з 1320) — 2г — -х —...— — х" — ., 0< х <+со. 3 2п — 1 1 3 13 3 (2п — 1)п „+1 1 1321) г+-г + — з +...+ з" +..., х>--. 2 24 (2п)П ' 2' 1322) -х+ — х + — в +, )х) < 1. 1 1, 13 2 24 246 1323) ~ (и+ 1)2" сов "-, — +2х5< х < — +2хй, йЕ Х. и Зх 2' 4 2 1 1 Указание. — = — разложить по сгепенлм сова х у+ 1 = сов х + 1 = 2 совз —.
2 1324) вшх+ ~~~ (вгпх)" вюг Укаэаяяе. Прямеяить формулу х = агсвш(вгп х) . и ( — 1)" з„г х Зз 1325) — + ~ ~— (саби)зз г, — < х < —. Указание. Применять формулу х = агссгб(сгб х) = — — агс!8(с!8 х). 2 1326) ~ ( — 1)" 'сов" '(2х), х Ф вЂ” + хй, й Е Е. 2 х=! !327) Г2;Гх+ — (~/х) + (~/х) +., 0 < г < 2. З~/2 80~/2 1328) -(~~к)з (~х)е + (~/х)з +.' + 3 4 53 /"~и+3 +( — 1)" ' „" ' +, 0<я<1. (и+ 1) и 1329) Л Гх+-( ух) — -(~/х) — -(~/х) +, 0<х<1.
3 5 Т 1ЗЗО) у = ~Г2х ~ + -х+ — х ~ + — г +. 1 ~/2 зз 2 3 18 135 1331) у = ~Г2х 7 + -х + — х ~ — — х + 1г 2 42 зз 3 18 135 1332) у = ~Г6х1рз+ + хзУз+ х О'366.9 10 1400 1333) у = ъ~Зг'7~ — -х — " х~~~+. 5 525 Я4 11К244 ЗО 2800 334) = У24 цм зуе зУе 1341) Сходятся ряды по столбцам и по строкам. Оба повторных ряда и двойной расходятся. 1342) Сходятся ряды по строкам и по столбцам. Один иэ повторных рядов сходится, а другой повторный и двойной ряды расходятся. 1343) Все ряды по строкам расходятся, все ряды по столбцам сходятся.
Соответствующий повторный ряд и двойной ряд сходятся. 1344) При а > 1, ф > 1 сходится, при а < 1 или ф < 1 расходится. 1345) Сходится при а > 2, расходится при а < 2. 1346) Сходится при а > 1, расходится при а < 1. 1347) Сходится абсолютно при а > 2, сходится условно при 0 < а < 2. 1348) Сходится условно. 1349) Сходится абсолютно при а > 1 и д > 1, расходится при а < 1 или И < 1. 1350) Сходится условно. 1351) Сходится абсолютно при а > 2 и 17 > 2, сходится условно при 0 < а < 2 и 0 < Р < 2. 1352) Сходится.
1 1353) Сходится. 1354) Сходится условно. 1355) 1. 1356) р+1' к 1 х 1 1357) 1п2. 1358) — — — 1п2. 1359) —. 1360) — 1п2. 8 2 8 4 1. Числовые ряды а' 1. Пусть аи > О и ряд ~ ~аи сходится. Доказать, что !пп аи«=0. пж! п-!оо со 2. Пусть аи > О н ряд ~а« сходится. Доказать, что оо и«1 Ряд У вЂ” расходится. и п«1 3. Привести пример сходящегося ряда с ненулевыми члеоо со НаМИ ~~! Ои, ДЛЯ КОТОРОГО РЯД ~~! — СХОДИТСЯ. и ~ж! пж! оо 4.
Привести пример сходящегося ряда ~же« с положи«о и«1 тельными членами, для которого ряд ~~! ти расходится. пж! оэ 5. Привести пример сходящегося ряда ~~! ап с положиоо «ж! тельными членами, для которого ряд ~ го сходится. и«1 6. Доказать, что для монотонной последовательности (а„) /11 вз сходимости ряда оу аи следует, что аи = о ~ — ), и -+ сю.
~,пу п«1 7. ПУсть а„з О, Р > 1 и Рлд ~ аи' ~ — ~ сходитсЯ. па! со Используя результат задачи 6, показать, что ряд ~ аи схо- «ж! дится со 8. Привести пример сходящегося ряда ~~! аи с положииж1 тельными членами, для которого 1пп паи > О. «-+со »!Всюду Я» обозначает «-ую част«чжун сунну, а сп — и-ый остаток. расснатр«««оного рода. 312 9.
Пусть ряд ~~! ап с положителълыми членами сходится. и«! ОО Еп Доказать, что ряд з сходится. п«1 2 р„-„—, 10. Последовательность (ап) задана условиямн а! = 1, 3 ОО ап чп е» ап+! = — ". ДОКааатЬ, ЧтО ряд у ап СХОднтея, а ряд у 2 2,р-„- п«1 «=1 расходится. и» 11. Пусть ряд ~ ап с положительными членами расхо- ««1 ОО % ~О« дится. Доказать, что расходится ряд у ~п п«1 ОО 12. Положям а = 2" . Доказать, что ряд ~~! о расхо- СО п«1 ап двтся, а ряд ~~! — сходится.
1 ~«+1 13. Пусть (а„) и (Ьп) — две последовательности положительных чисел, причем последователъность (ап) монотонна, ряд ~ Ьп сходится и а« = о(6«), и ~ со. Доказать, что п«1 существует такая монотонная последовательность (Д,), что 00 ап = О(ф„), П -+ ОО, И РЯД ~~! Д„СХОДВтСЯ. ««1 Вывод нз задач 9, 11, 13. Пусть (ап) — произвольная СО монотоннаа послеДовательность. Есла РЯД ~~! ап схоДитсл, п«1 то существует такаа монотонная последователъвость (6«), ЧтО ап = О(6«), П -+ СО, И РЯД ~~! Ьп СХОДИТСЯ. ЕСЛИ РЯД ~~! ап п«1 п«1 расходится,то существует такая монотонная последовательность (Ьп), что Ьп = о(а„), п -+ оо, Я РЯД ~~! Ьп РасхоДитса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
