И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 33
Текст из файла (страница 33)
««1 14. Доказать, что для я!сбой бесконечно малой последователъносп! (ап) найдется последовательность Ьп = (-1)е1«~, 313 у(п) = 1, 2, такая, что ряд ~~! а»Ь» сходится. ии! 15. Пусть последовательность (а«) бесконечно малая и ряд ~~ )а„~ расходится. Доказать, что 1) для любого числа Л пи! найдется такая последовательность Ьи =( — !)«1«1, 1и(п) = 1, 2, что ряд ~~! а«Ь» сходится к А; 2) найдется такая последова- 1»! « тельность Ьи = ( — 1)«!»1, !«(и) = 1, 2, что !ип 7 Ьиа« = +со «!-+оэ ии! (сравните с теоремой Римана). 16.
Пусть для ряда ~ а» существует такая перестановка »и! у(п):!!! ! — ! г!, что ряд ~ а„,1«! сходится Доказать. что «и! Ряды ~~' (~а»~+ аи) и ~'„()аи) — аи) сходятся нлн расходится «и! ии! одновременно. 'О 17. Пусть ряд ~ ~а«сходится, а ряд ~ !а„) расходится. »и! ии! Р Доказать, что 1нп — = 1, где Р = „) (а«+ !а„!) и !!',« = п~-«~ю Я «1 ии! — (!аи) аи). ии! 18.
а) Доказать, что если последовательность положи- СО СЮ тельных чисел (аи) монотонна, то ряды ~в» н ~ 2 ах ии! «и! сходятся или расходятся одновременно. б) Пусть (ии) — монотонно возрастающая последовательность положительных чисел. Доказать, что ряды 2)с ( —" — !) сходятся, если эта последовательность ограничена, и расхо- дится, если она неограничеиа. 314 19.
Пусть (ав) и (6«) — две последовательности положиОв+! тельных чисел ы существует такое число Л/ Е !Ч, что — < Ов Ьв+, Ь„ < — для всех п > ДГ. Доказать, что из сходимости ряда 6« следует сходимость ряда ~~! а,. вв! «в! Ол+! 2О. Пусгьав >Он — =1 — ов. Доказать,чторяд~~! Ов ап в=! Ф СХОДИТСЯ, ЕСЛИ, ЫаЧныаа С НЕКОТОРОГО ЫОМЕРа, Ов > —, ГДЕ и д > 1, и расходятся, если, ыачиная с некоторого номера, ов < —, где 4 < 1 (признак Раабе).
4 и св 21. Пустьав > Ои ф~ = 1-ав. Доказать,чторяд ~~! ав лв! 41пн сходится, если, ыачииая с некоторого номера, ав > —, н где 4 > 1, и расходится, если, начиная с некоторого ыомера, 4!и л ав < —, где 1< 1. О 22. Пусть (ав) — последовательность положктельыых чи/ ав сел и !нп ~н ~ — — ! — 1 !пн = 6. Доказать, что ряд «"Ф«Э ! Оу!Е! ав сходится, если 6 > 1, и расходится, если 6 < 1.
вв! 23. Привести пример двух последовательыосгей (ав) н (6„) таких, что ав > 6« для всех и Е !!1, ряд ~~! ав сходится, а Ов вп! ряд ~~! Ьв расходвчтл. вв! 24. Привести пример двух последовательностей (ав) и (6„) таких, что !О«! > !6«! для всех и Е Й, ряд ~ а«сходятся, а св «в! ряд ~Ь Ьв расходится. пп! 315 25. Доказать, что из сходнмости ряда ~а«с неотрии=! цательными членами следует сходнмость ряда л а„+' для 1+е и=! любосо е ) О.
26. Привести пример монотонной последовательности положительных чисел (а«) такой, что ряд ~~1 а„сходится, а п=! ряд у ап расходится. и=1 27. Доказать, что ряд 1 1 1 1 1 1 1 + + .+ !п2 21п2 2!п2 1пЗ 3!пЗ 31пЗ 3!пЗ 1 1 ! 1 + !пп п!пп п1пп ' ' п1пп 2; и членов где вез+ т — 4 и= 2 \ п1з+ п1 — 4 пвз+ Зт — 2 2 2 1 !иш и»вЂ” п11п н1' сходится, а ряд ~~1 )а„!ч в18п ап расходится при любом 4 ф 1.
««1 28. Пусть (ап) — последовательность неотрицательных чисел. Доказать, что из сходимости ряда У а„следует схо«=1 днмость рядов: 3) ~~1 пзах(ап, а«+1, а«+з); «=1 316 4) "! пнв(а„, а„е!,, .., аз„-!); а=! 5) ~ л„+ о„+! + . + лз„ и и=! 6) 7, '! 3,; т! ~,!Йъ, ...6:. п=! «=1 29. Пусть (Ь„) — последовательность неотрицательных чисел. Доказать, что из расходнмости ряда ~~! 6„следует рвсходимость рядов: Ь„ 1) ~~! — "; 2) ~~! !пах(Ь„, Ь„в!, Ьз„!). 1+Ь„ 30. Пусть О, н ф 2", Ь„= 1 ЬЕЯ вЂ” п = 2" 2" ' Доказать, что ряд ~ 6„сходится, а ряд п=! ~ и!ах(6„, Ь„+!,..., Ьзе-!) расходится (ср. с и. 4) задачи 28 и с и. 2) задачи 29). 31.
Пусть О, и=26 — 1, ь„= 6' и =26, Доказать, что ряд ~~! 6„расходится, а ряды и=! 1) ~~! ~/Ь„Ь„~ь 2) ) пнв(Ь„, Ь„ь!,..., Ьз„,) «ю! аы! сходятся (ср. с пн. 4), 6) задачи 28 и с и. 2) задачи 29). 3!7 32. Пусть О, пф2", Ьи= 1 йб!'1. и = 2", Ь' аа ь„ Доказать, что ряд ~ Ьи расходятся, а ряд ~ ~скоп«1 «п! 1+ пЬ« дится (ср. с п. 2) задача 28).
33. Доказать, что из сходимости рядов "! аз и ~Ь! и«1 п«1 следует сходимосгь рядов: 1) к[я Ь [, 2) Е(о +Ь )3, 3) Š—. ип! пп! п«1 34. Пусть у(л) — непрерывная, строго возрастающая иа [О;+со) функция, у(0) = О, !нп у(х) = +со, и у(х) — функ'«и+си ция, обратная к у(х). Доказать, что для любых положительных чисел а и Ь справедливо неравенство Юнга а ь а а 1 11*! а* .- 1 аи! г*. е о В частности, получить неравенство; оЬ<д 1~" +рЬ1~", а>О, Ь>О, О<д<1, р=1 — д. 35. Пусть у(л) — непрерывная, строго возрастающая на [О;+ос) функция, 1(0) = О, 1пп /(х) = +ос, и у(х) — функция, обратная к /(х). Доказать, что если последовательносгя (аи) и (Ьи) неотряцательны, то из сходимости обоих ряДов ~~! о„У(а„), ~ ~Ьид(Ь«) слеДУетсхоДимость РЯДа ~~! а«Ь«.
и«! пп1 и«1 36. Пусть (аи) и (Ьи) — две последовательности положительных чисел, 0 < А < 1, р = 1 — А. Используя результат задачи 34, доказать неравенство Гальдера: 318 1) для любого и» Е й справедливо неравенство: а«6«< ~~» а~ . ~ 6„" ОЭ «о 2) если ряды ~ а и ~Ь„сходятся, то сходится ряд ««! ««! ОО ~с ~с Е- ° а«6«, и его сумма не превосходит ~ а« . р Ь„ ««! «=1 ««! 37.
Пользуясь результатом задачи 34, доказать, что при д > 1 для любых положительных чисел а и Ь имеет место неравенство: аЬ! ' ( -(ач + (д — !)Ье). 1 Ч 38. Пусть (а«) — последовательность положительных чна»+аз+. +а« сел, 60 = О, 6« = Пользуясь результатом и задачи 37, показать, что для 9 > ! 1 1) Ье — Ье 'а«( — ((и — 1)Ье ! — пЬе), 2) ~~, ' Ье < ') ' Ье-'а«.
«=1 9 «=! 39. Пусть (а«) — последовательность положительных чисел, д > 1 и ряд ~» а! сходится. Пользуясь результатамн ««! задач 36 и 38, доказать неравенство Харди -Ландау: $("'"' '")' ( — '-)'$:. 40. Пусть (а«) — последовательность положительных чисел и ряд ~~» а«сходится. Пользуясь результатом задачи 39, «=! доказать неравенство Карлемана: Кж "'.~ Е. «=! «=! 319 ап соя по Е ° Е-с пп сйппо, п=0 сп! расходятгя при любом о ф я1, А Е йг.
б) Пусть последовательность (ап ) монотонна, бесконечно малая и ряд ) ап расходится. Доказать, что ряды ап айп по, ~~! ап соп по Еп и! пп! сходятся условно для любого о ф я/с, й Е,;". Вывод мз задачи 41. Для рядов и ~~! а„соа па, и=! ап ьйп пп Е- пп! где последовательносгь (пп) монотонна, у! ловия 1) 1!и! ап =О пчхи и 2) ~~! [ап[ ( +оо нг только до< таточны, но и необходи1п! мы соответственно для гходимо! ти и абсолютной сходимо! ти зтнх рядов при о ф яя.
й б л.. 42. Пусть ~ Е С'[1; +оз) и интеграл / /'(х)!(л сходится ! ш абсолк>тно. Доказать, что сходимос!ь ряда ~ /(и) зквива+ СЮ пп! лентна сходимости инт!трала / /(г) !(л. 43. Доказать, что хотя бы одна из точек О яли 1 является предельной точкой последовательности (яп — [лп]), и Е 1! 44. Пользуясь результатом задачи 43, привести пример последовательности (пп), не являюи!ейся бесконечно малой, для которой ряд ~~! апми и сходится абсолютно. пп! 41.
а) Пусть последовательность (ап) монотонна, но не бесконечно малая. Доказать. что ряды 45. Положим (-1)"+' а«жЬ„= !/и Доказать, что ряды ~~! а„и ~~! Ь„сходятся, а их произведе- ««1 «=1 ние по Коши, т. е. ряд ~~! с„, где с„, = а!Ь 1+ахЬм з+ + «=1 + а 1О! расходится. 2. Функциональные ряды я последовательности 46. Пусть последовательность непрерывных на М функ- ций у„(х) сходится равномерно на М. Доказать, что зта по- следовательность сходится равномерно на М. 47. Привести пример ряда ~~ и„(х), равномерно сходя««! щегося на [О; 1] такого, что ряд ~ ]и„(х)] сходится на [О; 1] «=1 неравномерно.
48. Как показывает результат задачи 47, из условий: !) ряд ~ и„(х) сходится на Е равномерно, «=! 2) последовательность (е«(х)) ограничена в совокупности на Е, вообще говоря, не следует, что ряд У и«(х)и„(х) равномер«=1 но сходится на Е. Какие дополнительные условия достаточно наложить; а) на последовательность (и„(х)); б) на последо- вательность (с«(х)), чтобы можно было гарантировать рав- номерную сходимость ряда ~ и«(х)и„(х) на Е? «о ««! 49. Пусть ряд ~ и~(х) сходится на множестве М к огра««! 321 ниченной функции. Доказать, что из сходимостн ряда ~~ а„ ч г ОО а=3 следует равномерная сходимость на М ряда ~ ]а„и„(х)]. и=! 50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
