И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Предста- 7 1 1е 1 вить 5з» в виде 5з» сс з — — — ~ —. 357) 1п 2. Указание. к-о 1 ч 1 1 Представить Яг» в виде гг» = ~ — ~ —. 358) — 1п2. я й 2 к=! сс»! г» г» Указание. Представить Уз» в виде 5з» вЂ”- к=! 2- й к»! ! ч 1 1 — — 359) — )п 6. Указание. Представить Яз„в виде 2 !с 2 ! 1,~",1 1~".1, 1 Яз» = ~ — — -~~ — — — ~ ~— 360) 1+ — !п2. Указание. х lс 2~я 2~!с 2 к=! сс= ! к=! г»» я»+4 Представить Ьз» в виде Яз» = 1 — ~ ~— + — ~ — + к=! 7с 2~й ~й к=! 1 1 3 г —.
361) — !п 2. Указание. Представить Яз„в виде 1 1~~ 1 1~ ! Яз„= 7 — — — ~~ — — — ~~ —. 362) О. Указание, Предста- ~-'lс 2х- я 2~'!с к=! к=! к=! ~" ! 1~-"1 1~" 1 вить Яь» в виде Яз„= ~~ - - — 7 — — — ~ —. 369) Сходится й 2~ й 2~ й !с=! к»1 !с=! 275 условно для всех а ф О. Указание. Представить выражение с4п л~/п~ + о в виде (-1)" я!п(л~/л~+ а — ип).
376) Сходится условно. 377) !'агходится 378) Сходится абсолютно. 379) Сходится условно 380) Сходится условно. 381) Расходится. 382) Сходится условно. 383) При р > 2 сходится абсолютно, при 0 < р < 2 сходится условно, при р < 0 расходится. 384) Расходится. 385) Сходится абсолютно. 386) Сходится абсолютно. 387) Сходится абсолютно при )а) > 1, сходится условно при (а( = 1, расходится при (а( < !. 388) Сходится условно. 389) Сходится абсолютно 390) Сходится условно. 391) Сходится условно. 392) Сходится абсолютно.
393) Сходится абсолютно. 394) Сходится условно. 395) Сходится абсолютно. 396) Сходится условно. 397) Сходится абсолютно. 398) Сходится условно. 399) Сходится абсолютно 400) Сходится условно. 401) При о > 1 сходится абсолютно, при а = 1, !1 > 1 сходится абсолютно, при а = 1, Д < 1 сходится условно, при 0 < а < 1 сходится условно, прн о = О, !7 > О сходится услышано. при о = О, )! < 0 расходится, при о < 0 расходится.
402) При р > 1 и любом д сходится абсолютно, при р = 1, е > 1 сходится абсолютно, при р = 1, д < 1 сходится условно, при 0 < р < 1 и любом д сходится условно, при р < 0 н любом 9 расходится. 403) Сходится абсолютно. 404) Сходится абсолютно. 405) Сходится абсолютно. 406) Сходится абсолютно.
407) Расходится. 408) Сходится абсолютно. 409) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при р < !. 410) Сходится абсолютно. 411) Сходится абсолютно 4!2) Расходится. 413) Сходится абсолютно. 414) Сходится абсолютно при о > 1, сходится условно при а < 1. 415) Сходится условно. 4!6) Сходится абсолютно.
417) Расходится. 4! 8) Сходится условно. 419) Сходится абсолютно. 420) Сходится абсолютно при 9 > О, сходится условно при — 1 < 9 < О, расходится при д < — 1 421) Сходится условно. 422) Расходится. 423) Сходится условно. 424) Сходится абсолютно. 425) Сходится абсолютно. 426) Сходится условно. 427) Сходится условно 428) Сходится условно. 429) Сходится условно. Указание.
Сравнить с примером 45 на стр. 47-50 430) Расходится. Указание. Рассмотреть аьэ+ь. 431) При 276 а > 1 сходится абсолютно, при 0 < о < 1 сходится условно, при а < 0 расходится. 432) Сходится условно. 433) Сходится условно. 434) Сходится условно. 435) Сходится условно. 436) Сходится абсолютно. 437) Расходится. 438) При 4 > 1 сходится абсолютно, при 0 < д < 1 сходится условно, при 4 < 0 расходится.
439) Расходится. 440) Сходится условно. 441) Сходится условно. 442) Расходится 443) Сходится условно. 444) Сходится условно. 445) Сходится абсолютно 1 1 при о > —, сходится условно при 0 < о < —, расходится при 2' 2' а < О. 446) Сходится абсолютно при 4 > 1, сходится условно при д ( 1. 447) При а > 1 сходится абсолютно, прн о < 1 сходится условно. 448) При о > 1 сходится абсолютно, при о '< 1 сходится условно. 449) При а > 1 сходится абсолютно, при 0 < о < 1 сходится условно. 450) При а > 1 сходится абсолютно, при 0 < а < 1 сходится условно.
451) Расходится. 452) Сходится условно. 453) При 4 > 2 сходится абсолютно, при 4 < 2 сходится условно. 454) При !У > 1 и любом о и при !у = 1 и о < — 1 сходится абсолютно, при !у = 1 и а > — 1 сходится условно, при 0 < 1! < 1 и любом а сходится условно, при Д = О, а < О сходится условно, при ф > 0 и о > 0 расходится, при Д < 0 и любом а расходится. 455) Сходится условно. 456) Сходится абсолютно 457) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при 0 < р < 1, расходится при р < О. 458) Сходится условно.
459) Сходится условно. 460) Сходится условно. 461) Сходится условно. 462) Сходится абсолютно. 463) Сходится абсолютно. 464) Сходится условно. 465) Сходится условно. 466) Сходится абсолютно при а > 1, 1 1 сходится условно при — < а < 1, расходится прн 0 < а <— 2 2 1 1 а!и п Указание.
467) При Зп» + сдн и Зп» Зп"13п» + а1п и) д > 2 сходится абсолютно, при 0 < д < 2 сходится условно. 468) Расходится. 469) Сходится условно. 470) Сходится условно. 471) Сходится условно. 472) Сходится условно. 473) Сходится условно. 474) Сходится условно. 475) Сходит- 1 ся абсолютно прн д > 1, сходится условно при — < 4 < 1, рас- г 1 ходится при 0 < д < —. 476) Сходится абсолютно при д > 1, 2 1 1 сходится условно при — < д < 1, расходится при 0 < д < —. 2 2 477) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при 0 < р < 1, расходится при р < О. 478) Сходится абсолютно 1 /! '! ! при р > —, сходится условно при и~ах ~- — 1, О! < р < —, Ч Ч /! расходится при р < и~ах ~ — — 1, 0 .
479) Сходится услов- Ч но. 480) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при а < 1. 481) Сходится абсолютно при р > 1, сходится условно при 1/2<р~1,482) Сходится условно. 483) Сходится условно. 484) Сходится условно. 485) Сходится абсолютно. 486) Сходится абсолютно при д > 1, сходится условно при 2 2 3 — < 4 < 1, расходится при д < —. 487) Сходится абсолютно 3 при а > 1, сходится условно при 0 < а < 1, расходится при а < О. 488) Сходится абсолютно при а > !, сходится условно при 0 < а < 1, расходится при а < О. 489) Сходится абсо- 1 лютно.
490) Сходится абсолютно при 9 > —, сходится услов- 1 2' но при д < —. 491) Сходится абсолютно при д > 2, сходится 2 2 2 условно при — < 4 < 2, расходится при д ( —. 492) Сходится 3 3 условно. 493) Сходится абсолютно при всех 4 > О. 494) Сходится условно. 495) Сходится абсолютно при а > 1, сходится условно при 0 < а < 1, расходится при о < О. 496) Сходится абсолютно. 497) Сходится абсолютно при р > —, схо- 1 2' дитси условно прн 0<РЯ ° 498) Расходится.
499) Сходит- 2 2як 2яй ся условно при а ф —, Й Е Х, расходится при о = 3 3 й Е л. 500) Сходится абсолютно. 501) Сходится абсолютно. 502) Сходится условно. 503) Сходится условно при любом й. п е!п 2 а!п п4.1 1 вес*а ь ь .~, ~- — 2-.—,— а 2а)п % й=! 505) Сходится условно. Указание. Показать, что последова- 278 1 тельность А„= ~~ — — 1и и монотонна. 506) Сходится условя /с =! но. См.
указание к задаче Х 505. 507) Сходится абсолютно при гу > о+1, сходится условно при а < Д ( а+1, расходится при Д < а. 508) Сходится. 509) Расходится. 510) Расходится. 511) Расходится. 512) Сходится абсолютно. 513) Расходится 514) Расходится. 515) Расходится. 516) Сходится абсолютно. 517) Расходится. 518) Сходится условно. 519) Сходится абсолютно при р > 1, расходится при р < 1. 520) Сходится абсолютно прн р > 1, сходится условно при р = 1, расходится при р < 1.
521) Сходится абсолютно при р > 1, д > 1, сходится условно при 0 < р = д ( 1, при остальных значениях параметров расходится. 522) Сходится абсолютно при р > 1, д > 1, сходится условно при 0 < р = е < 1, при остальных значениях параметров расходится. 523) Сходится абсолютно. 524) Сходится условно. 525) Сходится абсолютно. 526) Сходится условно при а ф 2хй + гг, Й Е К, расходится при а = 2хlг + гг, й Е К. 527) Сходится абсолютно. 528 а) Сходится условно при а > О. 528 б) Сходится абсолютно при гх > 1, сходится условно при гг < 1. 529 а) Сходится условно при а ф О. 529 б) Сходится условно при а ф О, сходится абсолютно при а = О.
Указание. Сравнить с примером 45 на стр. 47-50 (см. также задачу 42 на стр. 321). 530) Сходится условно. 531) Сходится абсолютно. 532) Расходится. 533) Сходится условно. 534) Сходится абсолютно. 535) Расходится. 536) Сходится абсолютно при д > 1, сходится условно при 0 < 4 < 1, расходится при д < О.
537) Сходится абсолютно при д > О, сходится условно при -1 < д < О, расходится при д < — 1. Указаняе. Применить формулу интегрирования по частям к интегралу гп+г соа л — Их и использовать результат задачи 536. 538) Схохе ггг 1 3 г дится условно. Указание. Показать, что (1 — х~)" Ил моноо тонно стремится к нулю при н -+ оэ и проверить справедли- 279 вость оценок (! — х~)" 4я > — ( ! 1 д . и 3 Ме е 539) Сходится условно Указание Провгри гь справедливость Г ейпл сйпп / ! оценкк / — й .= — +О ( — ), и -++со. 540) Гходнтх и ~,пз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
