И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 26
Текст из файла (страница 26)
сходимости. 1078) С'(я) = агсьбя. 1079) У(л) аг< сь6 г ! )з' 080) Г( ) — (я+ 1) 1п(х+ 1) !082) У( ) 1084) У(х) 1083) Х(*) !085) У(*) агсь5п л. агся!п ,/14. я~2 агссое г" агссоя(! — 2я ). 1086) У(*) !087) У(*) 1088) У(") !089) 7(я) 1090) У(я) 1091) У(*) 1092) У(*) 1093) У(*) 1069) У(х) 1670) Дх) !071) у(х) 1072) У(Я) 1073) У(Я) 1074) У(Я) 1п х, а) ло = 1; б) яо = е . 1п(4+ Зх — я~), яо = 2. !п(1+ х + я~), хе = О. яЬз я, яе = О. сЬ я, яе=О.
1 , ге=О яз + 7я+ 12' *з + 4я+ 3' , а)ее=О; б)во=1/2. я — 2 , яе= — 2. аз+ 4я+ 8' >7х, а) хе = -8; б) яа = 125. е й !п(! + С) „, е е 2+! 1п — <СС. 2 — С е л l 1 — соя 2С <СС. е л о <СС С<>' е ! — сЬС <СС. о ассе<в С ~С. е Применяя различные методы, разложить функцию у(х) в степенной ряд г центром в точке хв. Указать радиус сходи- мости полученного ряда.
1094) Дх) =1п(1 — х~), хо — — О. 1 1095) /(х) = хо = О. 1 1096) У(х) =,, хо = О. Ф+ 3' 1097) Дх) = (1 — х~) '~~, хо = О. 1098) /(х)=е ', а) хо=О; б) хе=4. 1099) У(х) = ез* — 2е *, хв = О. 1100) Х(х) = хе *, хо = О. 1 1101) У'(х) =, хв — — 1. 1102) Х(х) = 2 е ', хо = 1. 1103) ~(х) = в!п Зх, а) хо = О; б) хо = —. 4 1104) ~(х) = сов —, а) хо = 0; б) хо = — —. 2' ' 3' 1 1105) /(х) = -(е*+е '+2совх), хв = О. 4 1106) У(х) = в(п х, а)хв — — 0; б) хе — — —. 4 2 я х 1107) У(х) = сов х, а)хо = 0; б) хв = —, в) хв — — —.
2' 4 1108) У(х) = ейпвх, хо = —. 4 1109) У(х) = в!их солях, хв = О. 1110) Дх) = совхсов2х, хв — — О. 1111) Дх) = х сова 2х, хв = О. 1112) /(х) = (х — Вбх)совх, хе=О. 1113) /(х) =хе!п2хсовЗх, хв — -О. 1114) ((х) =!п(4+ к~), хе —— О. 1115) /(х) = х1п(1+ х~), хо = О. 1116) 7'(х) = х 1п х, а) хв = 1; б) хв = 4. 1174) 5(х) !176) 7'(х) 1176) У(х) !177) 1( ) 1178) У(х) 1179) У(х) 1180) У(х) 1181) г( ) 1182) У(х) 1183) У(х) 1 184) 7(х) 1185) У(х) 1186) 1(х) х агссоз(х — Д вЂ” хо), хо — — О. г хагссоз, хо = О.
/4+ хо 3 х г —. 1 — — + — ~/! — * + — огсз!ох, хо = О. 2 2 2 1- !зе ' й,хо=О. о соз 1 ггг, хо — О. о 1 зза — й, хо=О. о о / ~ — -, хо=О. о сохой, хо = О. ~1+ !ой, хо = О. о х агсзга ! гй, хо — — О. о гг Ыа, х =О. о Ф ~2 1 — е Й, хо=О, р о 253 Используя функции комплексного переменного, найти разложение функции у(х) в степенной ряд с центром в точке хе — — 0 и указать радиус скодимогти полученного ряда. 1187) /(х) = е мп х, 1189) /(х) = е~е в1п 2х. 1191) /(х) = ей хожх. 1!93) у(х) = е*"Я соя х.
1195) у'(х) = асс!8(х + 1). 1196) а) Дх) =,, б) 1 1188) у(х) = с* гол х, 1! 90) Дх) = е ' сов Зх. 1192) Дх) = ейхейп х, 1194) /(х)=е ""' соя(хейла). Используя метод неопределенных коэффициентов, написать и первых ненулевых членов разложения функции Дх) в степенной ряд с центром в точке хе — — 0 18 х, и = 5. 1204) /(х) е , п=5. ,Г+ хз !205) ~(х) 254 1197) /(х) 1198) /(х) 1!99) /(х) 1200) Дх) !201) У(х) 1202) 7(х) 1203) Дх) 1 ! — — — х~ О, льчх х о=2 О, к=О, 1 —, п=З.
сое х — *ж~, е' и = 3. 2+ ьйп х' < х с!8 х, х ф О, я=4 1, х=О, 1 — соя х , п=4. !п(1 + х) С хз х у- О, !п(1+ х)з ' ' и = 4. О, х = О, ,2 !206) /(х) = сЬ х — 1 ' и = 3. *ФО, 2, х=О, 1207) /(х) =, и = 3. — х~О, 1208) /(х) = е* — 1' и = 4. 1, х=О, 1209) /(х) = е*)п(1+ х), и = 4. хфО, 1210) /(х) = 1п(1 — х) ' и = 4. — 1, х=О, 1211) /(х) = , п = 4. 1 !+я!и х 1 — хфО, и = 4. 1212) /(х) = ее 1 2' х=О, Используя умножение степенных рядов, написать и первых ненулевых членов разложения функции /(х) в степенной ряд с центром в точке хе = О. ех 1213) /(х) =, и = 7.
1214) /(х) = е )п(1 — х), и = б. 1215] /(х) = —, и = 6. 1 — х' 1216) /(х) = асс!8 х соя х, и = 4. 1217) /(х) =, и = 5. Л+*' 1218) /(х) = е ~ соя ~/х, и = 4. 1219) /(х) =,, и = 4. е* !220) /(х) = , , и = 7. Я+ х~ 1221) /(х) = я!и х 1п(1 — хз), и = 4 1222) у(х) = (а + 5х+ ех + !1х + ~х~+ йх~+ )~, « = 6.
Проверить равенство. 1224) агс!6~ х = зи ="~-( 1).— ~1+ +..+ ).*, ~.~<! 3 2« — 1) « ии! 1225) 1+;г +, (х(<1. з 1 ии !226! (~*") =!+ — х ! +1!и +2!*", ! ~ !. 2 пиО пио ии 1221) ~~~! х") ~~~ («+ 1)х") = 1+ — ~~! («+!)(«+2)х". 2 ППО ПО и 1 , з г 2П и ! 4П и 1228) ~~ —,~ = ~~! —,, )х! < со. пио иио 2 1229) ~~~ †, ) = ~~! †, , )х( < со. иио ППО 1 1 1 3 5 7 4«хи 5«хи ( — 1)и хи 1230) ~~! —,. ~ ( — 1)и —, = ~~!,, 1х) < со. ППО Иио П=О Найти произведение двух рядов. 1231) ~~! (-!)и био иио 1232) ~~! О", ~ д", )д! < !. иио ПО «+1 1223) !«~(1 — х) = 2 ~~! ~ ! + — + + -) , — 1 < х < 1.
2 «) +!' !233) ~ 4« !234) У ~-' н(н + 1) ' ~-' (2н — 1)(2п + 1) ' ( 1)п-! 'и ( 1)и ~Х-, (2п — 1)! ' ~-', (2о)! 1236) ~ —,, ) п«0 п«0 /" !'(' " (й) 1237) Доказать, что ~ — = ~~~ —, где т(я) — число -.) п=~ Пп~ делителей числа л. Используя деление степенных рядов, напнсать н первых ненулевых членов разложения функции /(х) в стеленной ряд с центром в точке хе = О. !238) /(х) = , н = 4. сое х — афО, 1239) /(х) = агс18х п = 5. 1, х = О, 1240) /(х) = й х, и = 3. 1241) /(х) = — , н = 4.
1 сое х 1242) /(х) = —,, я = 4. 1в— 1-и 1 1243) /(х) =, ае ф О, н = 4. хп п«0 Проверить равенство. 5пхп ( 1)«2пхп 7пхп 1244) ~ —,: ~~~, = ~ —,, (х( < оо. п«0 ««О в«0 1245) ~~ (и+1)(п+2)(п+3)х«: ~ х« = ««О ««о =6+3~ (и+!)(и+2)х", (х)<1. «и! .и си ( !)« и 1246) ! , '—,= ),, (х!<со. и«О ии! ОО си !247) 1+ — ) (и + 1)(п + 2)х« 2 «и! и«О (и + 1)х, (х! < 1. «««0 Используя метод обращения ряда, найти и первых ненулевых членов разло!кения в степенной ряд с центром в точке хе = д(0) функции /(х),обратной к функции д(х).
1248) д(х) = е* — 1, и = 3 (/(х) = !п(1 + х)). 1249) д(х) = гйпх, и = 3 (/(х) = агсе«пх). 1250) д(а) = х + айп х, и = 3. 1251) д(х) = х — е *, и = 4. 1252) д(х) = 2х — ~/1+ хз и = 3. 1253) д(х) = х — !п(1+ хз), и = 4. Используя метод подстановки ряда в ряд, найти и первых ненулевых членов разложения функции /(д(х)) в степенной ряд с центром в точке хе = О, если известны разложения в степенные ряды функций /(х) и д(х).
1254) /(х) = гйп(з(п х), и = 3. 1255) /(х) = !п(1+ е'), и = 4. 1256) /(х) = — !псов*, и = 3. 1257) /(х) = !п(1 + е!п х), и = 3. 1258) /(х) = Л + и!их, и = 4. 1259) /(х) = 2' * ', и = 4. 1260) /(х) = !О 16(х+ сг/4), и = 3. 258 1261) л*) = А '.. 4*.~ ы ь = 4. 1262) Дх) = !п(хг — х+ 1), п = 4. Получив соотношение между у и у, последовательным дифференцированием установить соотношение между функцией у и ее производными до порядка й. Исходя из полученных равенств, написать и отличных от нуля членов разложения в степенной ряд с центром в точке хе — — 0 функции у = /(х).
! 263) г'(х) = е*"", и = 4. 1264) Дх) = е'ы, и = 4. 1265) ~(х) = е'Я*, и = 6. 1266) У(х) = е' 'а*, и = 5. 1267) /(х) = е"", и = 8. 1268) )'(х) = (1 + х), и = 5. 1269) У(х) = е -*, п = 4. 1270) У(х) = е"'*'" *, и = 4, 1271) /(х) = $6х, и = 3. 1 1272) Дх) = —, и = 5. соа х 1и(! + х) /! !273) = х — п(п+ 1) ( — + (1+ х)" (,и /1 ! + п(п+ 1)(в+ 2) ( + !и и+1 хз 2 1274) ~/! — хг агсхйп х — х — — — —. 3 3 1275) ~/1 + хг !п(х + ~/1 + хг) = х + хе 24 хг 5 35 7 хз 2х~ 24 хг + 3 3 5 35 7 г г 1277) — = 1 — 1+ — — + 1+ — +— Составив дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция /(х), доказать справедливость равенства. 1278) — агсг8 х(ц(! 1- г, ) = 1 г 2 — 1+ -,- — — 1+;+ — + — — + тпг,пг(тпг 4) 1279) сов(тпагсвтп.с) = ! — — хг+ х + 2! 4т тпг(птг — 4)(тпг — 16) + — х + 6! !280) втп(тп агсв)их) = пт(тттг — 1) ., пт(тпг — 1)(тпг — 9) = тпх — —.г' + '1! 51 Ь !281) сов(от агссов г) = в тп 7' тттг птг(тпг — 4) 2' 4! Ятп /' ттт(тпг — 1) з + в)п — ( тпх — х' + 2 3' Разложив функции у = в(п(тттагсв(их) и у = сов(тоагсюи х) и ряды по степеням букиы тп, получить разложение в ряд цо ттепеням х функции 1282) /(х) = агсмп т .
128!) (( ) г„ц г 1284) 7'(х) = агсв(п х 1285) /(г) = агстцпв х Доказать справедливость разложения. 1п(1+ ) / 1т 7' ! 1т 1286) = х — (~1+ -) *'+ ( !+ -+ -~ "— 1 — х (т 2) (, 2 3) 4 — 1+;+ — + -) х~+ ..., !х( < 1. 2 3 4) 1287) — )п(1+ х).1п(! —, х) = хг+ ! — — + -) — + 2 3) 2 + ! + . + '~ + , )х) < 1. 2 3 4 5) 3 1288) — агс18 х = г 2 з = — — ~ 1+ —,) — + ~1+ — +;/ — — ., (х(< 1. 2 ~, 3) 4 ~ 3 5/ 6 1 1+,«, 7' 1 ! х' 1289) — агс18 х !и = х + ( 1 — — + — —, + 21 — «1,35)3 ~а + 1 — —,+ — — — +-) — + .. (х(<! 3 5 7 9) 5 1290) !и 2 1 х 13 хз 135 хз (х( < ! 2 2 2 4 4 2 4 6 6 1291) 1п- г(1-,/Г: ) х.
1 х 1,! хз 1 г 5 хз — — + — — + — — +, («(< ! 2 2 24 4 246 6 /2(! — ~/1 — «)! т х гп гхзз 1292) (— / =!+ + (т+3)~-~ + х,/ ! 4 2! ~4) + — ~ — ) +, )х(< 1. ггг(гп+ 4)(гп+ 5) гхаз 3! 4 Написать и ненулевых членов разложения в степенной ряд с центром в точке хс = 0 функции у = 7(х), являющейся аналитической ветвью кривой с'(х, у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
