И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как следует нз вышесказанного, данный ряд не сходится абсолютно. Покажем зто непосредственно. Действительно, Теорема. Пусть дан двойной ряд ) а„„,. Составим «««,<«= ! каким-либо образом простой ряд ~ аю состоящий из тех же я=! членов. Тогда абсолютная сходимость одного из этих рядон влечет за собой абсолюч ную сходимость другого и равенство их сумм. Теорема. Рассмотрим четыре ряда: два повторных (4), (6), двойной (7) и простой ряд (2).
Если хотя бы один из этих рядов сходит<л при замене всех его членов их абсолютными величинами, то все четыре указанных ряда сходятся и имеют одну и ту же сумму. Следствие. Если все числа а „> О, то из сходимо<.ти одного из четырех рядов ~~< (~~ а „), ~ ~( "< а „), 0 ОО <«=! «=1 «=! <«=! а,„„, ~ ие ( пе есть произвольно занумерованное од«<,««! ««1 ним индексом множество (а „)) следует гходимосгь остальных трех и равенство сумм в<.ех четырех рлдов Пример 10.
Доказать сходимогт<, и найти < умму ряда Е 1 (2г )<«+! ' «,«<=1 Решение. В силу вышеприведенного утверждения для ответа на заданный вопрос достаточно докж<ать гходимость и «< найти сумму повторного ряда 7 ~ —,). Так как то этот ряд сходится. Для вычисления его < уммы проведем 176 следующие преобразования: л л л ~~., 2п(2п — 1) ~~-; 2п — 1 ~-~ 2п 1+ -+. + — — — 1+ — + ..+— 2д д Е--Е-= и п п=! п= ! !и 2!7+ С, — 1пд — С, + о(1) = 1п2+ о(1), и -+ оо. Отсюда получаем, что СЭ ОО ! СО ~~-~(~-' (2п)"'+!) ~ 2п(2п — 1) л-+и 1 Итак, ряд л сходится к!п2. (2 ) е,т=! Прамер 11. Исследовать на сходимость ряд Е 1 , а>0. (и! + и)" 1 (! -!. 3)а г 1 (2 + 3)п 1 (3 + 3)'" (1 ! !)а (1 ! 2)а 1 1 (1+ и)'* (2 + !)а (2 + 2)а г 1 1 (2 + п)а (3 + 1)" (3 + 2) (3 + п)~ 177 Решение. Матрица, соответствующая данному ряду, есть 1 5 6.7 2 12 23 34 45 1 ! ! ! 1.2.3 2.34 3 4.5 4 5 6 2 2 2 2 1.234 2345 3456 4567 5678 (д — 1)! (г — 1)! а г(г + 1)...(г + д) д(д + 1)...(д + г) 173 Составим простой ряд, расположив его члены так, как указано стрелками (по диагоналям).
1 ! 1 (! + 1)а (! + 2)а (2 + 1)а + + 1 1 1 + (3 + 1)" (2 + 2)" (! + 3) +, + + '1ак как нсе члены этого ряда положительны, то он сходится одновременно с рядом ! !г ! (1+1)О ((!+2)а (2 ! 1)о +( . + + 1 1 1 (3 + 1) (2 + 2) (! + 3)'" 1 ! 1 + <+ + + + (и+ 1)" (и — 1+ 2)" (1+ и) полученным его группировкой (см. стр. 16). Итак, сходимость рассматриваемого двойного ряда эквивалентна сходи- и — ! и — ! ! мости ряда ~ Соотношение — (и †> +оо) и" о" и" в=2 показывает, что этот ряд и, следовательно, ряд (8), сходится при о > 2 и расходится при о < 2.
В силу теоремы о сходи- мости двойного ряда г неотрицательными членами, получаем отсюда, что ряд Ъ , и > О, сходится при о > 2 и (пв + и)" п,па=! расходится при О < и < 2 Пример 12. !'ассмотрим матрицу 1 ! ! 1 Сумма членов Ч-ой строки этой матрицы равна (Ч вЂ” 1)! г(г + 1)... (г + Ч) ,~ 1 1 1 =(-)~ )4 (+) (+ — ) (м) (+) (Ч вЂ” 1)! = (Ч вЂ” 1)!-. Ч 1'9' . 'Ч Ч'Ч Ч СО Следовательно, сумма ~~ — есть сумма повторного ряда ф 2 ч=! (~~ а,) . (9) Ясно, что поскольку а = а, то сумма и второго повторное 1 го ряда также равна у —.
Рассмотрим теперь матрацу В: гз г=! 0 00 ! !зз СЮ Е 7 67йнч!з) 0 О ' ' 2 !ззч сумма повторного ряда ~~! (~~! 6„) также будет равна ОО «=! ~вм! Ер гю=! 179 т е. в и!-ой строке ( о! = 1, 2,...) до ее диагонали сохраняем члены предыдущей матрнцы, на диагонали сгавнм сумму всех членов и!-ой строки предыдущей матрицы, начиная с гп-го, а остальные члены заменим нулями.
Для такой матрицы суммы по ее строкам останутся равмыми суммам по тем же строкам предыдущей матрицы, т. е. Найдем теперь суммы по столбцам матрицы В. Для этого сначала упростим выражения диагональных членов 6 этой матрицы: (т — 1)! , 1(г р 1)...(1+т) (т — 1) ! (т — 1)! ~~-' (т — 1+4)... (2т — 1+4) тз(т+1)... (2т — 1) Теперь найдем сумму оставшихся членов т-го столбца.
Она равна ( — 1)' г ! -О' 1(1+ 1)... (1+ т) ~-~ (т+ й)... (2т+ й) (т — 1)! т(т + 1)... (2т) ' Следовательно, сумма всех членов т-го столбца равна (т — 1)! (т — 1)! тз(гл+ 1)... (2п1 - 1) т(т+ 1)... (2т) — 3. (т — 1)! 2п1 + т ((т — 1)!) т(т+ 1)... (2т) т (2т)! Суммируя теперь этя числа, получаем сумму повторного ряда, которая в силу приведенной выше теоремы, должна совпадать с суммой повторного ряда (9) (см. стр. 180).
Итак, используя равенство, выведенное на стр. 140, получаем я е 1 ~~ ((1п — 1)!) Отсюда следует, тго 1 1з (2!)з (и!)з 2! 4! 6! (2п + 2)! 18 Пример 13. Рассмотрим ряд ~ х у". Поскольку он т,еже получен умножением рядов ~~~ х и ~~~ у", каждый иэ кото- «=О рых абсолютно сходится соответственно при )я) < 1 и )у) < 1, то для этих же значений я и у абсолютно сходится и двойной ряд.
Если ф > 1 и )у) > 1, то я у" не стремится к нулю и данный ряд расходится. Рассмотрим множество ((я,у): )*) = 1, )у) < 1). При х = 1 матрица (я~у") принимает вид 1 2 у» 2 А= у уг у а при х = — 1 — вид — 1 у у г 1 у у' у а у — 1 — у — у г у в 1 у у у !8! 1 Сумма рядов цо строкам равна для матрицы А и ( 1)д+ ! 1 — у , где е — номер строки, для матрицы В; таким обра- 1 — у СЮ ОО зом, повторный ряд ~ (~~ а,„„) расходится как для матриц=! «=1 СО цы А, так и для матрицы В. Если бы двойной ряд ~~) я~у" ла,еле был сходящимся, то в силу теоремы на стр.
1!3 эти повторные ряды сходились бы. Итак, рассматриваемый ряд расходится на множестве ((я,у); )я) = 1, )у) < 1). В силу симметрии переменных х и у этот ряд расходится и на множествг. ((х,у): !х( < 1, )у( = 1). Таким образом, множеством гходимоств ряда ~~! е у" является открытый квадрат ( — 1, 1) х ( — 1, 1). ОЗ Пример 14. Рассмотрим ряд Ъ а! —, где а, — прас.~ 1 хФ з=1 иэвольные числа.
Справедливо утверждение, что этот ряд скодится, если сходится ряд ~ а, х! и !х( ф 1 (см. задачу 78, в=! ОО стр. ЗЗО). Пусть радиус сходвмости ряда ~ а, х! не мень- ОЭ в=! агх' ше 1, тогда функция !з(х) = у — онределена для всех х, 1 — х' з=! )х( ( 1. Для х, (х! ( 1, справедливо равенство 1 ОО х = х!+х '+ +х '+. = ~ ~х~'. 1 — х' ~е=! Составим матрицу а х! а,хз а,хе азх О азх 4 6 О О азхе а4х О О О аз хе О ,! В .9 О аз хе О О О азх~ О „,е О О О О а!х а!хз а,хз О азхз О О О азхэ О О О О О О Повторный ряд по строкам будет (а!х+а!х + +а!х + )+(азх +азх~+ ..)+ +(азх +азх +...)+ а!х азх а х г еВ + +. + + 1 —,е 1 — хз 1 — х"' ОР—,' „, =Ю(х) ;=1 с=! 182 ОЭ ! х Так как повторный ряд сходится к !Л(х), а ряд ~ а!. 1 — х' <а в=! сходится при тех же х, что и ~а, х', то после замены х юш! ОЗ на )х! и а! на (а<! получим, что вместе с рядом ~ ~)а!))х)! схо- дится н ряд ~ )о!) ..
В силу теоремы настр. 177 мож- 1хГ 1 — ~х)! 1=! но просуммировать элементы матрицы вначале по столбцам; тогда получим разложение в степенной ряд функции 1Л(х): 16(х) = "! аих", гДе аи = ~~! ао Значок !~п Условно означап=! ° 1и ет, что сумма распространяется лишь на делители ! числа в. Если взять а! = 1, то получим, что 00 ОО = Е .(.)хи си! ии! где г(н) число делателей и. Если взять а! = !, то получим, что ОО 00 о(п)х", 6=! ии! где о(п) .— сумма делителей числа п.
Рассмотрим еще матрицу а!22 азхп .3 6 о!хп .2п а!х о2Х Олялп аьх~ оьхз алх 26 Суммы по строкам матрицы В те же, что и матрицы А; суммируя же по столбцам, получим: в первом: ряд ~ а х'", ОО и!и! во втором: ряд ~ о хз'". ти! ОО СО Ои Итак, повторный ряд ~~! (~~! е „) имеет вид ~~! 2(х"), гпи! ии! и!и! где /(х) = ~ а х .
В силу равенства сумм повторных ря- дов имеем равенство: «О(х) = ~ у(х" ). «в! (1О) Полагая а; = а', (а) < 1, получим, что у(х) = ~~«а'х' = !«=! поэтому в силу (!О) имеем , )а! < 1, )х( < 1. «=! 1 ! В ча«п ности, прн а =- —, н х = — получаем равенство г г 1 ~ ! "-' 2'(2' — 1) ~., 2«+' — ! Определение. Степенным рядом с двумя переменными х и у называется двойной ряд вида а «х у (11) т,««О Множество всех тех точек (хе, уе), для каждой из которых СХОДИТСЯ РЯД ~~' ав««ХОоУО, НаЗЫВаЕтСЯ ОбяаетЫО СХОДИМО- м,«=О сти ряда (11). Прамер 15. Найти множество сходимости ряда Й «в « ««т««х у в«,«=Π— (! )~~~~ «хч+ +(! х)~~,~~г!уе (12) «в! гдеаОО=О,ОО =а О«вп!,пЕИ,О! — — а,„! — — — п«),тб1«1, а „««0,еслиилип«)2,илии>2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
