И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Решение. Для частичных сумм Ь,«„ данного ряда имеем равенство Отсюда видно, что б „(0,0) = 0 к .Чи,и(1, !) = 0 при любых т и и, следовательно, рассматриваемый ряд сходится в точках (О, 0) и (1, !). Покажем, что этими двумя точкаии и исчерпывается множество сходимости данного ряда. Действительно, применяя формулу Коши-Адамара, получим, что радиус сходимости степенного ряда ~~! и! !" равен нулю, следовательно, для лю»и! бого 1 > 0 имеем; 1ип х2 д!!9 =+ос. и-!оо с Чи! 1 Далее, при ! ф 0 и Ч > — справедливо неравенство !2! (2ч — 1)1Ф29-1(2ч(!( — 1) > (2ч 1)!АЙ!9-! (!1 откуда для ! < 0 и и > ие = ~ — ~ + ! получаем, что Ь1 2» » Ч!1 = ~ (гд — !)!(!)29-!(2Ч!1~ — !) > ди! 9 1 2»с и > Ед!!9+ Е (2Ч вЂ” 1)1(!(29 !. до»с+! Радиус сходимости ряда ~~! (2Ч вЂ” 1)! гзч ' равен нулю, следи! и довательно, для ! > 0 имеем: 1!ив Г(2Ч вЂ” 1)! г29 = +со, п-+со и-с Чи! откуда получаем, что и 2» !ип ~~! 91!9 = +оэ, ! < О, »-ссо чи! Таким образом, если (х, у) ф (0,0) или (х, у) Ч! (1, 1), то либо одно, либо оба слагаемых в сумме (12) неограниченно растут, !35 когда и< и и четны и возраст»юг.
('ледонательно, в:<том случае 1пп Яг,гп(Я, У) = оо. Этот пример показывает, что для двойных степенных рядов нет аналога первой теоремы Абеля и структура множества сходимости двойного степенного ряда существенно сложнее гтруктуры множеггва сходимогтн простого степенного ряда. В то же время имеет место Теорема. Если ряд ~~< а пя™уп сходится в некоторой <»,и =0 точке Ме(хе, уе), обе координаты которой отличны от нуля, н множество (а,„„я~~у,",) ограничено, то этот ряд сходится абсолютно во всех точках М(л, у), координаты которых удовл< творяют неравенствам: )л) < )ле(, (у! с <уе(, т.
е. во всех точках открытого прямоугольника с центром и на <але координат и вершиной в точке Ме. Как показывает эта теор< ма, причиной рашн» о поведения двойных и простых рядов является то, что имеющая предел 1<и< оп последовательность (ап), занумерованная одним ин»-+ дек<ом, обязательиоограннчена, а именяцая предел (пп о„,п »Ь» -< и< последовательность (о„,п), занумерованная двумя индексами, не обязана быть ограниченной (см.
стр 175). Следствие. Если ряд ~ а и ям уп абсолютно сходится п,ппе в точке Ме(хе, Уе), обе координаты которой отличны от нуля, то этот ряд сходится абсолютно во всех точках М(л, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам: )х! < )хе), М < (<Уе! Пример 16. Найти множество абсолютной сходимости (т+ и)! ряда< ~~< ' яп< у» п,ппе Решение. Покажем, что множество абсолютной сходимо<ти данного ряда совпадает с множеством сходимости ряда (т + и)! (!г(+ !у!)".
Действительно, пусть ряд ~~,, гмуп п=е пъ,ппе (т+ и)! сходится. Заиумеруем числа а „= !г1~!у!", чтобы т! и! полученный простой ряд принял вид 1+ (1г! + Ь!)+ (!г!'+ 21г!1у1+ Ь!О) + + (1г(~+ 3!г!'!у(+ 31г!1и!'+ 1и1~) + (13) т. е. упорядочение идет по возрастанию суммы (т + и), а для членов ап О „— по возрастанию степени !у!. Такое упорядочение есть нумерация членов соответствующей матрицы "по диагоналям" Так как все члены ряда неотрицательиы, то сходимость зтого простого ряда эквивалентна сходимости ряда ~,(~~,, !г! '!у!') = ~~~,(!г!+ !у!) (см. стр, 176). 187 Обратно, если сходится ряд ~~ (!г! + !у!)", то сходится н (т+ и)! ряд (13), откуда следует сходимость ряда ~~~ !г(~!у!", т! и! п|,ппе (т+ п)! т.
е. абсолютная сходимость ряда ~ г уп. тра! ми=О Применяя црвзнак Даламбера, получаем, что множеством сходимости ряда ~~~ (!я!+ !у!)и является открытый квадрат ппо !я!+ !у! < 1. Итак, множество абсолютной сходнмости ряда есть М = ((г, у): !я!+ !у! < 1) (см. рис.
2). Пример 17. Найти множество абсолютной сходимости ряда~ г у. п=о, юп>п Решение. Для абсолютной сходимости двойного ряда ие- Рис. 2 обходимо, чтобы сходился каждый иэ рядов ~ ~!я!'"!у!и = 00 п1=п !я! !у!п~ !в!~, отсюда получаем необходимость условия О=О !я! < 1. При этом условии имеем, что Твк как далее необходима сходимость ряда то, следовательно, необходимо условие !лу! < 1 Обратно, если !я! < 1 и !лу! < 1, то сходятся все ряды ~ !л!"'!у!" И СХОДнтСЯ РЯД ~(~~ )Х! !У!и), СЛЕДОВатЕЛЬНО, СХОДИ ГСЯ «=О «пп двойной ряд с неотрицательными членами ~ !я!~!у!", т с п«О, п>п 188 Рис.
3 ряд ~~ х у" сходится абсолютно. »=О, т>» Итак, множество абсолютной сходнмости ряда '), хну» =е, » )» »=О, »>» 189 есть М = ((х, у): )х) < 1, )ху) < 1) (см. рис. 3). В силу абсолютной сходимости ряда ~ ~х~у" оба по- (. )« втсрныл ряда ~~~ ~ ~ х"'у" ~ = н 1 — х 1 — х ! — ху «=О пь«« «=0 «о т (~ х"у") сходятся к одной сумме, если !т! < 1, !ху) < 1 п~«О ««О Следовательно, для таких значений х и у имеем равенство: 1 + х(1 + у) + хг(! +, + уз) + + ! ! +х (!+у+.
+у )+ 1 — х 1 — ху Откуда получаем, что 1 пх"=, !х)<1, «=О х"'(! — у™+') , )х)<1, )ху!< !. 1 — у 1 — х! — ху гл«0 1. Числовые рады расходимость. 2) ~~ пил +1 — 1 — 1 — 1+ 5) ~ !пзи 2. иие у) 7 ~' п(п+ 5) ) Ез. 1 и ив 3)1 †1+1+1 †1 †) ):(-1, )и ии1 вю Л Б)~ 1н 5 ио 8) 7 1 , о) (о+ п)(о+ п+ 1) 9) ~~ п(п + 1)(п + 2) 11) Е 1 (с+ п — 1)(с+ п)(с+ п 2п+ 1 пз(п+ 1)2 ии! 14) Е 1 4п2+ 4п — 3 + 1)' сф-)1, пЕИ. 3пз .1- 3п -1- 1 пз(п+ 1)з пи1 15) ~~) (~Гп+2 — 2Ки+1+ ьввп). пи1 17) Л,в (1 — —,) . ииз 19) ~1 —, 16) 2 7 (1.', -) . и 1 16)2 1,("+, "6 ). 191 В следующих примерах, рассмотрев предел частичной суммы ряда, установить его сходимость и величину суммы или 1В(п+ !) 1К 16п пгд", )4) < 1.
2 агс! —. и" и'(и+ 2) (и + 3) ягп 26«! Л и" 30) ,'~-', — '... «=! 3« 32) ~ агс!.В хе! «=! 1 3Г ,, 0< г< —. 2" с16 + ' 2" г"-' «=! В следующих примерах, не находя явной зависимости частичной суммы ряда 5„от и, проверить, что последовательность 5« не является ограниченной. 34) ~~ „,,/р ° Т!! ° г! 1 36) ~~! агсягп —. «=! ~п~ зз) ~ —. 1 !/г! 35) '5 lЗ +1+ хУЗ Установить расходимость следующего ряда, используя необходимое условие сходимостн. 37)1 †1 †1+! — 1 — 1 — 1 — 1+.
зв) ~ «=! 1 39) ~ ~пзгйп пз + и + 1' «=! 4!)" «=! 192 20) Е «=3 22) «=! 24) ~ «=! 26) ~~! =О 28) ~~ «=! 29) «=! 31) ~' ! 21) ~ пд", (4) < 1 «=! 1 23) ) агс16 —. 2пз «=! 25) ~ агссгв(п~+ и+ 1). »$(, '.;)' (и + 2) я!и; 2(п + 2)1 ' 62!2 3" ( — ) и=! 63) ~~~ агс! " и+1 ! , !Яп+ 2) 64) ~~ 65) (и + 2)2и и=! ! 66) ~~ 67) Л ~2!!"'+<) 1 68) ~~! —, а > О. =! 1 69) ~~~ —, а>0,6>0, и> (и + Ьп)' ' пь 70) ~ .— ~.
71) и=! „г 72) 73) «и! ,2Гп ' 75) 76) ~ 77) (1и п) Зп+ 78) ~п(!г!и+! — ~/и+2) !и пп! П! 2 И, . И! и+1 'ь..~з ~ > и! ! !/ (. — 1). и=! Е па+ Зп+ 2 а 4+бпз+2п+ 1 и=! 1 ип2 п4+ Зпа !и пи+1 1=! ! Е (! )!и!пи' и 2 1 ~:(! !")"и и лп агсв2п п~~/п+ и+ 1 194 Следующие ряды удобно исследовать, применяя теорему сравнения или признак сравнения (см. стр. 26 и стр.
32). 150) Е„ 1 п«1п~ и 151) Е 1 и«!пг и !пв 1п и ' «10 и! пг 152) У, д>0. '-, 'д(у + 1)...(4 + и)' 153) «,(3+ !) . (3+,Я ~..~,и~+в/ г55) ~ в5п . 156) ~~~ в!и« пз~/й+ и+ 1 ~,3«+ 1/ Ш пз«+ ~ 157) ~~~ ~в!и — ) 158) ~~~ „+ . л«1 ««! 159) ~ . 160) ~!и — „. ««в «3 (и')з 2з« 1 161) ~~~ — —, р > О. 162) , (гп)!' пг (1о84 и)« 1 1п2 !пЗ .-1п(а+ 1) и 1п(2+ р) 1п(3+ р) !п(п+ 1+ р) ' , р>0.
з 1 164) ~~~ агсвгпз —, а > О. 165) ~ агсв!и по+4 л«1 ««! ОО 1 О« пз 166) ",'~ агссов —. 167),» агссов— аз+4' пз4 4 ФЭ <а 168) ~~~ агссов— 169) ~~ и (~/а — "+фа), а > О. и+2 л«1 ««! 170) ~ сова сов 2а со«2«а. ««! к „'",„"„'. „ф („— "„) пп 188) 2 ~-; !пп(п+ 1) 119) З ( ) —. 114)2 ( ) пп) пп! СС ( 1)зи 175) ) ~ агсг8 — ) 176) ~ пз+ 4) »= (1+й)" «=! пп! 179) ~ (14.7. (Зп — 2)) (5 8 11. (За+ 2)) п! (и+ 1)!.9« СО 180) ~ — "' . п=! 3" (и!)п 181) з 11.84. (Зпз + 4пз + 4) ' СО 1 — и з 182) ~~) агсс98 п + 4 и г'а(а+ 1)... (а+и — 1)! 183) Е ~/ /, 5>а. ) ~ ~ Ь(5+1)... (Ь+. -1) / ' и! пг 184) ~~ , а>0.
~п' (1 + а) (2 + а)... ( и + а) ' СО и — 1 з СО п — 1 з 185) ~~) агсс18 †. 186) ~~) агсг8 — . и + 4 и + 4 пз 187) 7 а«5» Зп 2»' 19 — Я 199)з ( ), 9. п=! "-. 7' г 5 8 "(3 — ц 'г ~-' 1, 2.7 12 ° " (5п — 3),l пг ' ~9~) ~Р ( ) В2! ~гг ( ао /- /пг+зп+2 ОО 193)~( " ) п4)~(«. ~/й+ 2 п=! 195) ~ /а(а+ 1)... (а+ и — 1) ! , а>0. и! (а+ 1)(2а+ 1)... (па+ 1) (!3)" ~=! (Р+ 1)(2Р+1) (.Р+1) (,а ) ' а Р а(а+1)!3(!8+1) а(а+1)(а+2)Р(ф+1)(13+2) 197) + + + 1'7 1 2'7 (7+1) 1 2.3'7(7+1Н7+2) + а(а+1)... (а+И вЂ” 1)... (а+и) д(11+ 1)...
ф+п) (п+1)! 7(7+1) . (7+п) + 7 > О. 198) ~ (2а + 1)(2а + 3)... (2а + 4п — 1) 2~", а > О. (2.4. 2п)(2а+ 2)... (2а+ 2п) а-! 199) ~~ . 200) ~~ агсвгп агс18(п~ + п + 1) ,г !.;- зГ и!.1- /и п2[Я 1 ( 1)»)и 3" \Ъ ! 203) С Е,/-;7т..з. 205! г (! — — ) и ! 207) ~~ ( Оа — 1), а > О. 209] 2, /» 206) ) п( !/2 — 1). 208) ~ 1пзп, 1 210) ~, ап —, р>0. Явз 1.1 пг ' 1а и! п«.!. 1' 212) 1 1и и! 214) ип 2п+ 5' 220) 222) 1/п2 + 1 + 1п и (1+ И« 1о52 п! п (ФЗ вЂ” Я) 226) ~"' п Рп(1+ и) — 1пп) п«1 227) ~~! (1Й+1 — 1/Иоо)р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
