И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 23
Текст из файла (страница 23)
225) ~!' ««1 и коркой 2. '!и - ~)' и«! 2(й) р >0;хе(-, ) оо 211) ~ и«! 213) ~ ««Ч 215) ~ »«! 217) ~",— ««! 219) ~ и«! 221) ~! пп! 223) ~~! п«2 оо 224) ~~! ««1 СЮ 225) ~~! (а +а — 2), а > О. 216) и (е — 1) . 218) 1п(1+ „! ) , а>0, )У>0. ч/п~ + 1 оо 229) ~'(а ан!нФ) а > О. 230) п«1 / 1 1~Р 231) ~ ~вЬ вЂ” — -~ . 232) и п,~ п«1 233) ~~~ (25 — й — в1и — „), 5 > О, «-1 оо ,/й' Š— "/(п!)о. 1 Е~! ««! к, и(и2 — 1) Р В1П 2 ««! Е 1п и! и 1п(п«) ( ~/пв+Зп — ~/п2 — 2и).
234) ) л'" " и=! 235) г 1и 1+,/-.~+1 в 236) Ь, а>0, Ь>0. и=! 237) ~ ' — 1, О. '-Ф--( --'))' и=! иЬ! ! ( «~К- — ~Ю и и+ 1/ и=! гг лги 240) ~~~ (агсаги — — агс!а — ~ и и п=! в~)г.и" ( +(~+-)) 242) !» ! + — !+в 2и! с (К +Т вЂ” Й! ! в=! 1 1-~/л 244! г — (3 ю — 0 . 243! 1 (~/ — Г ) и=! д=! 1 и+2 и44.3и~4.4 246) ~ агссоа —.агссов . 247) ~агссоа и и п +Зл~+и+1 и=! «=1 248) ~ ~1+ — — с .
249) ~ ~(Оси — 1) 1— 250)1 . и1)1 !(~+-) — 1) и=! !П 22~! 272) ~ ~ 1п"(и+ !) 252) 25 п~ ~ — ), а > О, Ь > О. п!+Ь ««! СЮ ОО 253) ~~5 п!' (а ° — 1), а ф 1. 254) ~ ((п~-1) — и)~, р>0. ««! ««! 255)2 (ЯВ 95 — О 6 65! ««! / «+1 а1 22 Вг п+ 155 256) ~ ~1и — — — ) .
257) ~ ~ав5п — — Ь(и — ) . п — ! и) и и ) «2 ««! 256) ! ( ) 259! ! (2 — 9 -) и !пи 65 ! 1 ! 2 22 25~ 265) 2' ! (,. -) . 252! 2' (62- — -2 и и и 22 ! 262) ~Г . 263) 7 , 6259 2" (-'Г 562 92"' " 2562~(,+' ") 2552~'( 6 ) ""1:,('(!.!'-' !)-.!' ) 267) ~ (и!" ! — !) . «= ! 268) ~ ~ — + /3 !и ( ~ — 2 (1п (1 + !6 ! ))) ««! 2-6 (~ 2 1«(па + и -!. ! ) 2 1и!!.! !6 269) ~«и«!и с!5 —. и и+!и и «=! ««! Ь! 27Ц ~ "=.,',. , (ги). 272) ~[1п(и« + е — «п) 1п(из+ е п)] иа и=! 274) ~ [1п(и« + е«п) 1п(ив+ еп)] ио пи! 275) ~ (1п1п(и+1) — 1п!пио), а ф О.
ип« 1 278) ~ — е" . 277) ~ "/'" 7 1 агсв!п (е — (1 + ! ) ) 1+«8 1.-(1+. ) ,/» 229) 2 ) [! [ — 9» — ))! ип) о» / п 229) 2 п=! оо 1 280) ~~) ~( — ", ) — 1) 281) ~~) (и +1)!п В)П вЂ” ' ЗЬ вЂ” ' и») и и»1 92 /! 11 282) ~~~ и в)п ~ — — а«с!8 — /1 . 1,и и/ 29 = 1 оо о 1. со» 1. 283) « ~е ° — сов — — — /! и к/ и=! ! !'!" 284) ~~) [сЬ вЂ” — сов — ] к 21/ 286) ~ [ асс«8 — — 1п ~ 1+ С8 — ] и« ~, и)/ »п) 286) ~) ~ЗЬ вЂ” — ЗЬ вЂ” ~ и 2и/ 287) ~(з~д«+2 — «Д«+1) аес«8— пи) л« 288) ~ п=! 289) ~~! с«1 ияп -„' и агс!8 ~!8 — + яп -) ~е — 1) 1-сов | и и) 291) 2 «=1 292) ~ пп! вги (в~/пг+и) !д =.
,/й ) 1~ фи и вЬ вЂ” — сЬ вЂ” ) и и) 293) ~ (1~(гг~+ 1) — 21п ) !~~~~(. п«1 294) ~~! пп! ! а 1п и + 1п яп — (е'в!'/в+Т !сй1 — 1) и 295) ~ ивгп(2ии! е). пю! ! 1г.! "+ и' -"! «=! ОО 1 !г !! и 29с! Г ( сс - ! — !) . пп! 298) ~1 !)псов ~!гг — — агс!9 — ) ~ и и)~ 299) ~ (е» пп -в иа 1) «=1 „„~"--( -(+-.')п) („„ц (1 — сов „-') гс и l 1! 290) г! ~ 1 — яп ) ие яп ( агсяп — — вес!в -)' . 2иг+ 1) (, и к) п=1 ез <1+ з)и < 1Г гги 1 1 — сов — ) 1и сов —.
2и+ 2 2п+ 2) и < п мого -Ь 1 е " — 1 — ги — — п и е — вЬ вЂ” — 1. < 1п 1+ ои — ) — !и сов — ), а > 0,,8 > О. Пи) пд) сов сов — — сов сЬ вЂ” !и 306) "! «=1 Исследовать сходимость членом аи. п«1 .1 307) аи = / — Их. 1 1/х /1+ з о з о ««+и ип 308) аи 309) аи = „ 310) аи )' Я+ хз!1х о пи+и /." сов в з ип ««+и / ' сов~ х — 1)х, 4>0. хо ип о 311) аи = 312) аи п+1 е ойЫх.
314) аи l < 1 à — — !пп и, а>0. 313) аи = 315) аи = зоц ~ и«1 зо2) ',у «и! зоз) ~~ «=1 ЗО4) ~ ии1 305) ~~~ и«1 ряда ) аи со следующим общим п +! «+1 и еЗп и йю 1 316) пп = 1п и 317) ап = «+1 »+!О я!и и Ыи « х 319) ап = и~ / Ых.
1 !+ха « « 321) а„= и — Их. .~ 1+ хе и (.',")' 323) а» = 318) ап = 2» 320) ап = и~ !!х. ,1+хе п 1 «+1 1 «2) „= — 1 *'6 ) Рассматривая ап как члены соответствующего ряда, показать, что данные последовательности (а„) сходятся. 5" 324) а„=— 325) ап = —. 2» и! 326) ап = —,.
327) пп =,',, /с Е И. 328) ап = и'4", )4/ ( 1. 329) ап — — —. (2и) И 330) ап = (2и)п 331) ап = —,. пп (2и+ 1)! Зп.и!' (п!)п (2и)! 332) а» = —, и и«' 333) ап = —. (2п)! ип (2и — 1)!! (2и)! ( 1)п ип 336) ап = — „„. 337) а„ = 338) Яп = — + — + . + —. 1 ! ! и и+1 Зи Рассматривая з'„как частичные суммы соответствуюн1его ряда, показать, что данные последовательности сходятся.
1 + .+ — — 2/и. ч а(и) 342) Исследовать сходимость ряда ~ †,о > 0, где а(и)— и число цифр числа и. «=1 343) Пусть ˄—. последовательные положительные корни 1 уравнения !их = в. Исследовать сходимость ряда г х гг ОО ~-~ Л„ 344) Исследовать сходимость ряда ) г(п)а", а > О, где г(п)— «и ! число делителей числа и. 00 и — 1 1 345) Исследовать сходимость ряда ~а и!«1, где гг(и) = ) 11 и«1 Л«1 346) Исследовать сходимость ряда « 1п /с ) ~~ Ли! 1 о>0; б) ) =, а>0. ««! ««1 и(и! 347) Найти все значения а для которых сходится ряд г иг п«1 где !л(и) --- число нулей в десятичной записи числа и. Последовательность (а«) задана рекуррентно.
Исследовать сходимость ряда у аи. п«1 ап пи+! п 348) а! = 1, па« и+2 г аиь1 — ап Па«. ЗЗ1).Я« = !+— 1 ~/2 1 340) Ь'„— —, + 21п2 34!) Я„ = ~~ 1 349) а! —— —, 2' 1 350) а! = — , 2' 1 ! — + + — 1п 1п и 3!и 3 и1п п !пг „ 2 Оп 1 + ьйпп 351) О! =1, О»+! Оп 352) О! — — 1, Оп+! 353) О! — — 1, Оз = 1+ Оап 2 — 1ГЗ, О»аз — 4О»е! + Оп = О.
1 О„+, — —, ГДЕ З» = ~ ОЬ. 5„' 354) О! = 1 = з1, Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 3 5 7 355) 1 — — + — — — + 2 4 8 1 1 1 1 1 356) 1+ — — — + — + — — — + 2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 357) 1 — —, + — — -+ — — — + 2 3 4 5 6 358) 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 2 4 3 6 8 5 1О 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 359) 1+ — + — — — — — + -+ — + — — — — — + ...
3 5 2 4 7 9 11 6 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 7 3 9 11 5 13 15 7 1 1 1 1 1 1 ! 1 3 2 5 7 4 4й — 3 4й — 1 2й 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 3 10 12 14 16 5 Применяя признак сходится условно. Е ( !)и+! 363) 'и - 4,! 365) ~~! ппз Е »» ( 1)пяз,! 367) 29'~+ н Лейбница, показать, что данный ряд Е ( !)и+! 9 364) 'Р~з 4 +~| 366) Г ~-, (и+ 1)!7й+ 2 368) ~п я+ 20 369) ~ вгп(я~/п~ + а). и и! Применяя признаки Абеля или Дирихле. показать, что данный ряд сходится условно. 370) ~~ и»1 372) ~ а!в(п+ -') , и — 1п (и+ 2) ( — 1) гнп Зп ,/;~+1 Исследовать сходимость (абсолютную и условную) ряда. 376) 377) ~~ и«1 и«1 378) 2 „„.
379) ~ гйп ( — + лп) в!п (-1)и" 1 '( + !) и«1 ««1 380) ~~г сол(х~/п~+ и). 381) ~в|в(я~/а~ + и). ««1 ««1 ОЭ 382) ~~1 ( — 1) « —. 383) у ( — 1)и 3В4) 1 1-1!"1 ' !+3 <-! — д г — 3 у71. »=1 385) ~~' а . 386) ~~ ( — 1)и «=1 и«1 ( 1)и — 1 и+1 387) Е г 388) ) ( — 1)и+' )п (! + — ) . »«1 и«1 ОО » 389) ~ ~( — 1) х — ~1 — -) пх/и и 210' пп! ( 1)«-1 / 7и!2 (!.,— ~-., --!..) .,О и" ( 2 3 и пп2 415) т- (- 1) ~-~ и — 1пи пп1 (-1)п 416) ~ и=! ( 1)п+1 418) г -' 2п — ~фи 417) ~~! ( — 1)п и пп1 419) ~~! яп и "" и+! п=! 420) ~ (-1)п агсс18 и ие п=! 2 +! 2п'( 1) и+1 и! 423) и+1пи Е ( — 1) 2 1п и гги 426) ~ — соп —.
и 4 лп2 425) ) и е "яп —. з— 4 пп1 427) ~~ ( — 1) ,/и 428) пп!О и — !и и 43!) ~( ')",'. ип! 433) 4! яп(п,/и~+10). ип! 435) ~ 3" и 436) ~ 7п ! ( 5)п 212 1 429) ~~! в(п(п~/и+ 1) яп— и =1 422) ) и=! 424) ~~! по4 1 430) ~~! яп(п~/а+ 2) соп —. и ип! оо ло 432) ~ и 2 434) ~~ , п1пи+ Лп~п 438) ~) ( — 1)и ил! 437) ~~! ( — 1)и и=2 !и и л(дз + 1) фп п 441) ( — 1) соз— п ии! и=1 444) 2, ('— '" ") . ли! 446) ~~ ( — 1)и ~! — згп ), 4 >0 2пг+1) ' 447) ~ (-!)и !и 11+ — ), а > О.
1! п) ии! „г! ( 448) ~! ( — 1)и ~ — — (1 — — ) ), а >О. !е ~, п) ) ли! 449) ~~! 450) ~~1 и=! сов п да ии1 з 452) ~ л=! п — 1 2!гп Спе —. л+1 3 454) ~~1 =2 (-1)и созз п ~аде+ ! , 4>О. еш2п 1п и 456) ~~1 ли1 Зп+ 1 соз п. из+3 (п+ 1)сов 2п дз — 1п д 457) ~ ии2 з!и— ии з дг + еш "" ' 1 213 п2 !.4 439) ~~1 (-1)и вгс!8 г! + 4 ли! пз+ 4 443) ~~~ ( — 1)и агсс!8 и+4 ли! ОЭ а 445) ~ ( — 1)и ~ 1 — сое — ) п и=! 451) ~ ии! 453) ~ ииг 455) ~ пи! 442) ~~~ деш(з~/дз+ 2).
з !и П, 1ГП 458) ~~1 — вш и 6 ' ли! (-1)п «1п' (4) 460) ~~) п=1 462) п«1 464) ~~) «=! 466) ~ п«1 468) „") «=1 и — !пи (и + 2) гйп Зи ив+ Зи+ 2 вш Зи 2и — в)п Зи в!и и , о>0. Зип+ «1пи сходнмостн). В!и (И + .«12) 'т/и+ 2 Е (-1)пвш и 1/и)п и ( ')п,>0 (Ие+( — 1)п+!) «=1 и 459) ) вши агссов —. и+5 461) ~ (-1)п сов2 2и ««! ,~-и (-1)« вш (и+ 1) ) ~~ С« 465) и — сов и ««1 п=1 469) ~ п«1 (без исследования абсолютной сходнмостн). в!пи вши 4« и ««1 (без исследования абсолютной 471) ~~ " 472) 1пи+ б 3! 473) ~~) ~вп!4и — -! агсс28и. 474) 8! «=1 414) С (14 (-4 — )-1), 4 В.
п«1 ( 1)«+1'4 476) ~~) 1п(1+в(п ), д > О. ие п«1 ( 1)п+1 4ТТ) 5": — „-Т. 414) 2' «2 «=1 4ТВ) Х;44). 42) 4 )- 1)'. + 4). 214 ( 1)«+1 480) ~ !п ~1+ — —, 49 > О. и )п(п+ 1)/ 481) ~ (е з — 1), р > О. 482) ~ ( 1)» п«1 и=! созе(п+ -') и !8 !/и (и + 1) !/и + 2 401( 4 (-4( ~.— (1,. -') «=! ОО [«] ОО 488) ~~4 409(е (.' ( '( (4 '44() «1 и 1 490) Е ( I 4(-1)" — ' ! «4 ', 4 9 О. п=! 491(4 (1 4( — !(" ' — 49(,990. «=1 492) ~~4 1 1 4п+ 1 994+ 10 + 1 493) ~~ (ъIпч + 1 — ~/пе) а!с!8 —, д > О. ( — 1)и и «=1 спз (и аесспз -') 494) п=! ОО 499( Е (-4)" 1. (! 4 ~9-~(. и/ и=! 496) ~~9 п=! з(п и з(п и агс18 п4+ 2 215 483) ~ «=! 484) ~ и=! 483) ~ «=1 з4п з (и+ -') (-1)1~«) .2« п4 486) ~ 3" +1 пз п«1 сов и и + 1 — Гов !/й 497) Е , Р>0. иг ии! 498) ~~! ии! 1 1! 500) ~ ( — 1)и '(, — сов — ) .
!,ив!п — ' и) ии! и го~! ! [-1! ('— „'"" — (' —,'"")) ии! 1 . 1 502) ~~ ( — 1)и '( агс!8 — агссйп Лп и згг!и и/ 503) ~ ~(-1)и г соя lг 504) Е "=". и + сов 3!! $и! Г' и 2 „- в!в 3и 505) Е "=,' и=! — сов 2и 506) ~~ ии! т „, (1+ а)(2+ о)... (и+ о) 507) ау ( — 1)" о>0 ия.и! 1=! Й сова ип 499) и — 2гяпио ииг 216 В эадачах 508- 522 для исследования условной сходимости использовать группировку Ряда.
! 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 509) 1+ - — - + - + - — —, + - + - — - + 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 510) 1+ — + — — — — — + 2 3 4 5 511), + 1 1 1 1 1 1 1 1 — + — + — — — — — +.. 6 7 8 9 10 1 1 1 1 + + 2!п2 31пЗ 41п4 51п5 6)пб 71п7 8!п8 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2г 2г + Зг 2з + + пг 2 + 1 1 1 1 1 513) 1 + + + ~/Зп — 2 ~/Зп — 1 ~/Зп 514) 1 1 1 1 ./2-1 /2+! ,ГЗ вЂ ! /3+! + + + 1 1 + + ~/и — 1 ~/и+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 516) 1 — —, — — + — + — + — — — — — — — — — +. Зг Зг 4г 5г бг 7г 8г 9г 1Ог 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 здесь знак минус имеют члены вида 2 ", !г Е 8!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
