И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4- Для столбца с номером 24 сумма равна — 1+1 — —,+1 — —,+.+ + 1 — —, + = — 1. Поскольку ряд 1 — 1+1 — 1+ +(-1)"+'+. расходится, то повторный ряд вида (6) расходится, в то время как повторный ряд вида (4) сходится и сумма его равна 1, причем как все внутренние, так и внешние ряды сходятся абсолютно. Определение. Пусть дана бесконечная матрица ( 1) .
Символ (7) а„„ ч=к =~ называется двойным рядом. Определение. Частичной суммах двойного ряда (7) на- т и зывается конечная сумма Ь „= ~~ ае„, т. е, сумма тех ви! ои1 элементов матрицы (1), которые находятся в прямоугольнике из ее первых и столбцов н ш строк: Е!и+1 Л2и+! Е и+1 Пи1+11 ее+12 ' ' ' атЕ!и О1и+1и+1 Заметим, что множество Я „, п2 = 1, 2,..., и = 1, 2,... представляет собой опять бесконечную матрицу. Определение. Двойной ряд называется сходящимся, если при независимом стремлении переменных тп и и к бесконечности существует предел !пп 5 „. е-о+оо ™ и-о+оо Значение этого предела называют суммой двойного ряда (7) и пишУт Я = ~ ае,.
Если пРеДел 5 „пРи п1 -+ оо, в -+ оо В,еи! не существует, то ряд (?) называется расходящимся. Пример 2. Ряд ~ х~у' является сходящимся для (х(< 1, ьи!,1и! )у( < 1. В свмом деле, Я,и„=~и~~ Х у'=~~ Х (~~ у) = =(~")(~~) =', .' '-,"„ Поскольку ~и+1 1пп = , )х! < 1, пз-о+оо 1 — х 1 — х 167 «+1 !!п1 — = †, (у( с 1, «-++о« ! — у 1 — в 1 — тт+' 1 — Р»+1 1 1 1нп %-ОООО »-++оо 1 — у 1 †я 1 в ОО 1 Оо т. е.
ряда, где перемежаются члены рядов à —, à — и о пз' ~ 2" «О! «=1 1 1 1 1 —, равна сумме ~~~ — + ~ — + ~~~ 3» нз 2» 3» ' »О) »он «=1 «О! Теорема. Пусть дан повторный ряд (4). Если после замены его членов их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходится не только сам повторный ряд (4), но и простой ряд (2), состоящий из тех же членов, что и ряд (4), расположенных в л|обом порядке, и притом к той же сумме. 168 Значит, сумма исходного двойного ряда оу я р равна е ! 1 1 лу«1 ! — г 1 — у Естественно поставить вопрос о взаимосвязи сходимости рядов (2), (4), (6) и (7).
Теорема. Если простой ряд (2) абсолютно сходится к сумме и, то каким бы образом ни расположить его члены н виде матрицы (1), сходятся оба повторных рида (4) и (6) и их суммы равны и. Отметим, что эта теорема формулирует важные результаты сочстательного н перемсститгльного свойства абсолютно сходящегося ряда: для такого ряда его члены можно переставлять произвольным образом и объединять в любом количестве в скобки, составляя таким образом новый ряд, и суммы всех таких рядов равны между собой.
Так, например, сумма ряда 1 1 1 1 ! 1 1 ! 1 '+ 2+ 3+ 2г + 22 + 32 + Зг + 23 + 3з + 4— + Следствие. Пусть дана матрица (1). Если после замены всех членов повторного ряда (4) нх абсолютными величинами получится сходящийся ряд, то сзодятся оба повторных ряда (4) н (6) и их суммы равны. Отметим, что предположения об абсолютной сходимостн рядов по строкам (или по столбцам) я об абсолютной сходи- мости ряда, составленного нз их сумм, не может заменить требования сходимости повторного ряда для матрицы абсолютных величин. Пример 3. рассмотрим матрицу 1 — 1 О О О О 1 — 1 О О О О 1 — ! О а =1,а е~ = — 1,ае„=б,еслигфдитФ4+1.
Длн этой матрицы все ряды как по строкам, так и по столбцам являются конечными суммами и, следовательно, сходятся абсолютно. Сумма в каждой строке и во всех столбцах, начиная со второго, равна нулю. Оба ряда ~Д~ Ае = ~О = О ( Э я=1 ею1 и У А, = 1+ ~~~ О = 1 сходятся абсолютно; однако, сум- г=1 г=г мы повторных рядов (4) и (6) не равны. Если же заменить все члены данной матрицы нх абсолютными величинами, т. е. рассматривать матрицу О 1 1 О О аеч — — а +~ —— 1, а, = О, если т ф д и г ф 4+ 1, то все сУммы по строкам и суммы по всем столбцам, начиная со второго, равны 2, следовательно, в этом случае оба повторных ряда (4) и (6) расходятся, как и надо было ожидать.
Основные свойства двойных рядов: 1. Если ряд,~ а, сходится к сумме Я, то ряд ~~! Ла, д, п1 д,гп1 сходится к сумме Ло', где Л вЂ” константа. 2. Если ряды ~ а „и ~ 69, сходятся, то сходится ряд гю д,г=! д,г=! ОО (ад„+6,) и его сУмма Равна ~~! а, + ~~! 6 „. д,г=! д,г=1 9 г=! 3. Если ряд ~) а „сходится, то 1пп од„— — 0 (необходид-г+00 д,г 1 г-г+оа мое условие сходимости двойного ряда). 4. Если все члены двойного ряда ~~~ ад, неотрицательдсп1 ны, то ограниченность множества (5' и ) его частичных сумм есть необходимое и достаточное условие сходимости этого ряда.
5. Если ряд ~~! а, с неотрицательными членами сход,гп! дится и существует такое число С, что 0 ( 69„< Сад„, то ряд ~ 69, также сходится (теорема сравнения для двойных д,гп! рядов) . 6. Если члены двойного ряда определены равенством ад, —— гп г э гп = 69 с, и ряды ~69, ~ с, сходятся (ряд ~ ад„получен дп1 г=1 д, =! произведением рядов ~69 и ~~! с„), то двойной ряд ) а„„ 9=1 г=1 д, =1 сходится н его сумма равна ~~~ 69 ~ с„.
9=1 =1 ( 1)п+пг Пример 4. Рассмотрим ряд ~ . Так как тл п,гп п1 170 цп+~» ( цп+! ( цпъ|! '' ( цп+! и ~ ~= !п2, то, слеп!и и и! и п»1 довательно, данный двойной ряд сходится н его сумма равна!вп 2. Пример 5. Доказать сходнмость ряда 7 и! + и!! ~л,пп! Решение. Поскольку для любых и и о! справедливо неравенство 1 1 ( не+ о!4 2щэпз' то для сходимосги данного ряда достаточно установить схо- 1 димость ряда пу —. Так как члены этого ряда получеи»ип! 00 ОЭ ч 1 ч 1 ны умножением двух сходящяхся рядов пз — и ~ —, то 2 1 2 пп тп! ««1 ряд у,, сходнтся, а значит, сходится и данный ряд. и»пп! ( ци+т Пример 6.
Рассмотрим двойной ряд ~ . Ра!/йн! и»«=1 ( цп+т ( цп+1 ( цел+1 венство — показывает, что этот 1/Пй! ~/й 1/щ двойной ряд представляет собой произведение сходящегося ( ци+ 1 ( цп+т ряда 5 на себя. Следовательно, ряд 7 ,/й ~/во! пп! т,«=1 ( цп+1 сходится и его сумма равна квадрату суммы ряда у ип! В то же время, как показано в примере на стр. 58, произ- ( 1)«+1 ведение ряда ~п на себя в форме Коши является «=1 расходящимся рядом. Этот пример показывает, что определенное выше (стр. 17Ц представление проязведения рядов в виде двойного ряда не эквивалентно ранее рассмотренному (сгр.
57) представлению этого произведения в форме Коши. 171 !)а+1 (-1)" 1 -1 1 -1 1 — 1 й" Я 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ! 2 Я" Я' 1 1 1 и! 1 ! и! Каждый ряд по строке этой матрицы имеет вид ( — 1)"с и является расходящимся. Покажем, что двойею! ной ряд сходится к нулю. Действительно, поскольку ~~! аьгг 1, + ~ а! „ = О для г=! г=! любых и! и п, то Я! „= О; точно так же 5 1„= О для Теорема. Если сходится двойной ряд ~ ~а„г и сходятаг=1 ся все ряды по строкам (или столбцам) ~ ~а „, е = 1, 2,... г=! (~ ~л „, г = 1, 2,...), то сходится и повторный ряд ~~! (~~ а,) Ч=! д=! ° =1 ( ( у а )) и его сумма равна сумме двойного ряда. ° =1 е=! Заметим, что условие сходимости всех рядов по строкам не следует вэ сходимости двойного ряда, т. е.
это условие не может быть пропущено в формулировке теоремы. Пример Т. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: любых га и и. Далее, З2»+12н+! = ( — О2нс 2н+1 + + + + / га гп еп гп т,/ П1 !и 2н членов Полученные равенства показывают, что !пп Я = О. о-++во СО ОС-С+ОС оо Пусть для ряда ~ а„,„сходятся как все ряды ~~с а„„, н,со=! СО снн! по строкам, так и все ряды ~~с а„по столбцам. Тогда в ИО! силу приведенной теоремы условие сходимости н равенства СО СО СО ОО сумм повторных рядов ~ ( ~ а„„,) и ~ (~~ а„,„) необО=1 сон! ос=! ОО1 ходнмо для сходимости двойного ряда ~~с а„.
Однако, н,нс=! как показывает следующий пример, это условие не является достаточным. Пример 8. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: 1 — 1 О О О -1 1 О О О 1 1 1 1 ΠΠ— --- — -О О О-.. 2 2 2 2 ! 1 1 1 ΠΠ— — — —, — — О О О.. 2 2 2 2 О О О О 1 1 1 О ЧЧ с7 о членов 1 1 О --. Ч Я Е членов 1 1 О. Ч Ч Е членов 1 1 1 О Д Ф Ч Е членов 2 1 2 аз, — —,()(я — 1) < »и < д, аз~ ! — — — —, Ч < гн < я(Ч+1), Ч Ч аз 1,„— — О для всех остальных индексов »п, азч,„= — азд- ! и, Каждая строка и каждый столбец этой матрицы содержат только конечное число отличных от нуля членов; половина из них положительны, половина — отрицательны, причем абсолютные величины этих членов равны.
Итак, все ряды Е- ап я ~пи сходятся к нулю, откуда следует, что и и»=1 пп! о» со оо оба повторных ряда ~ ( ) а„) и )~ (~ аи ) сходятся Лп! п»п! и»п! ип! и суммы их равны нулю. Покажем теперь, что двойной ряд ) ап расходится. п,»ли! Действительно, и (»л+1) ( а+1)» ~2 ( +1)' = ~Л' ( ~Л' Озд-! + ~ азее) = О, еп1 »п1 эзар+!(п~+!)» = 1 1 — '»2и» (и»+1)* + + + ' '+ = 1.
н»+1 »п+1 п»+1 ( л+1) членов Полученные равенства показывают, что предела Я„при и -+ +со, и» вЂ” > со не существует. Определение. Двойной ряд ~~~ а п называется абсоп»,ип! ео лютно сходящимся, если сходится ряд ~~! )а „(. п»,пп! Как н для простых рядов, из абсолютной сходимости двойного ряда следует его сходимость.
оо Если двойной ряд ~~~ а „сходится абсолютно, то люп»,лп1 бой простой ряд, составленный иэ чисел а „, также сходи'гся абсолютно. Отсюда следует, что а п стремится к нулю 174 не только при одновременном возрастании обоих индексов т я п, но и при возрастании хотя бы одного из этих индексов. Отсюда же следует, что множество (а„,п) ограничено.
Если же ряд ~ а „сходится неабсолютно, то множество (а и ) п1,п=! может быть н неограниченным. Пример 9. Рассмотрим ряд, определяемый матрицей: О 1 2 1 — 1 — 2 2 — 2 О 3 4 — 3 -4 О О п1 — оп О О О О Я „=~~ ~ !аь~~= ьп1 ш! = (1+2+. +(и — 1))+ (1+ 1+2+ - +(п — 1))+ + 2 2+ .. + 2(гп — 1) = = (и — 1)(п — 2) + 1 + 2 (2 + 3 + .. + (п1 — 1)) = = (о — 1)(п — 2) — 1+ (гп — 1)пз -+ +со при и -+ +оо, гя -+ со. !75 Для этого ряда о „ = 1, когда гп + и ) 2, следовательно, он сходится к 1,но множество (а и) его членов неограничено. Обратим внимание на то, что в силу сходимостн двойного ряда ~~~ а „имеем, что 1пп а „= О; такам образом, пЬп-о+оп т,пп1 для множества (а„,п) чисел, занумерованных двумя индексами, существование предела 1пп а „не влечет ограниченпз-++по и-о+оп ности этого множества в отличие от множества чисел (а„), занумерованных одним индексом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
