И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Решение. Так как при любом х з з зь-1 з(пх=х — — + — — . +( — 1) + ь-1 3! 5! (2й — 1)! тодляхрО з!пх хз хе зй-3 — =1 — — + — — — + +(-1)" ' +.. 3! 5! 7! (2й — 1) ~ 142 имеет место при условии — ! < х < — 1+~/2, Согласно же приведенной выше теореме и замечанию, разложение (15) имеет место во всяком случае для таких х, что 2(х(+ хз < 1, т. е. 1 — Я < х < — ! + ~/2.
Следовательно, равенство (15) верно в более широкой области. Пример 24. Разложить функцию егп х а тогда для функции у =!п — получаем х в)п* / хг х' х' 1п — = ~- — + — — — + ". х 1, 6 120 840 хг хе хе , г 2 6 120 840 (16) .г хе =- — — — + 6 180 Поскольку полученный ряд при х = 0 сходится и его сумма равна нулю, то этот ряд представляет функцию /(х) для всех х. Отметим, что с другой стороны имеем (см.
стр. 74) еж! и=! (17) 1,~. 1 1 хг — 7 — = †, откуда 7 — = — ; хг с-~ пг 6 г 6 ' е=! е=! 1 ~ 1 1 х4 — — — — откуда 2х4 л пе 180' п4 90 «=! ии! Пример 25. Найти первые пять членов разложения функЬ+*)', цииу= в степенной ряд в окрестности е, х=О точки х = О. Решен!ге. Перепив!ем функцию в виде е* ~"1'+~! х ф О, У= е, х=О. м Поскольку для )х) ( 1 имеем .г ,э л !п(1+ х) = х — — + — — . + ( — !)" — + 2 3 п 143 Разлагая этот ряд по степеням х и приравнивая коэффициен- ты соответственно при хг, х~,...
в (16) и (17), находим то 1 хз — 1п(1+х) = ! — — + —— х 2 3 Подставляя зто выражеяие «-! +(-1)" ' — +, 0 < (х( < 1. и в данную функцию, получим, что у=е з з ««+ ( !)«1~"-' + « =ее з+ з +( ) «, 0<(х(<1. Используя ряд для е" и предыдущую теорему, находим з хз «-1 !)«- 2 3 4 и г 1 ( х хз хз „,х" ,з + — ( --+ — — — + " +(-1)"-' — + ) + " + 3!\, 2 3 4 и 1г . з з « — 1 + — ~--+ — — — + "+(-1)«-' — + + "= и!~, 2 3 4 и =е 1 — — + — + — х+ — — — — — — х+ 5 18 8 24 24 16 х 11 з 7 з 7341 4 =с 1 — — + — х — — х+ — х+. 2 24 16 17280 Пример 26. Разложить бесконечное произведение в степенной ряд с центром в точке х = О.
Решепве. При !х! < ! произведение сходится и У(х) ) О. Рассмотрим логарифм Дх): !пДх) = ~ !п(1+4 х). Для (я) ( 1 имеем ьле= Е 1е.* — -ч'"*'~-~' *" — "). 2 3 т=! Так как зтот ряд сходится при замене всех членов в скобках их абсолютными значениями, то 1пу(я) в окрестности нуля разлагается в степенной ряд, а тогда в силу теоремы на стр. 142 в степенной ряд можно разложить н функцию ем ~<'>. Итак, для достаточно малых * имеем Дя)=Ье+Ьгя+Ьзяз+ ° ° +Ь х + ° Поскольку У( ) (1+ )(1+ зя)(1+ 3 = (1+4я)((1+44л)(!+4'.4х) -) = (1+4я)-(у(4 )), то имеем Ье + Ьгя + Ьзя + ' + Ьея + = (1+ дх)(Ье+ Ь|4я+ Ьзд~я~+ .
+ Ь„д" х" + ), откуда, замечая, что Ье = у(0) = 1, имеем Ь~ =4Ье+Ь!Я, Ьз9'+Ь~Я'=Ьз,", Ь„4" + Ь„ ,4" = Ь„, т. е. Ь,= —, Ь,= 9 Ф 1-4 (1 — 4)(! — 4 ) -! 4 е — (! )(! 3) (! 4а) Итак, 1(я) =1+ — л+ "+" + Ч Ч вЂ” (! — 4)(! — 4') а1Л $~ + 4 я" + )(! 3) (! 4е) 145 Заметим, что поступая формально, получаем: /(х) = = (1+Чх)(1+Чгх)(1+Чзх)(1+Ч" х)... (1+Ч" х) .. =1+(Ч+Ч +Ч + '''+Ч + ''')х+ + (Ч'Ч + (Ч + Ч )Ч + (Ч + Ч + Ч )Ч + ''') х + ''' = = 1+ Ч(1+ Ч+ Чг+ ..)х+ + Ч (Ч + (Ч + Ч ) + (Ч + Ч + Ч ) + .) хг + !+ Ч +(,(г+ з+ л+ )+ 1-Ч + Ч (Ч + Ч + Ч + ' ') + Ч (Ч + Ч + ' ' ) + ' ' '+ +Ч (Ч +Ч л + '''+Ч + ''')+ ''')хг+ +( г з+ ) з+ 1 + Ч + ( з(! + + г + ) + 1 — Ч + Чз(1+ Ч+ Чг + ' ' ') + +Ч (!+Ч+Ч+ )+" ) г+(Ч.Ч~.Ч~+" ) 'з+" = =1+ — х+~ — + — + — +- - х+ Ч Г Ч' Ч' Ч' 1 — Ч ~! — Ч ! — Ч ! — Ч +(Ч +.
)х + Ч Ч з =! + — х+ — (1+Ч +Ч + .. )х + г я ! — Ч + (Ч'+ " )*'+ з =1+ — х+ — — х + 1 — Ч 1 — Ч! — Чг е) Деление степепиых рядов. Важным применением теоремы о подстановке ряда в ряд является деление степенных рядов. СЮ Рассмотрим степенной ряд Ч~~ а„х", где ае ф О, х Е о=О Е (-Йг, Й~). Представим этот ряд в виде а1 аэ э аа ао !+ — х+ — х + .+ — х + .
=ао(1+у), ао ао ао где а1 аэ э а„ у х + х + + х а + ао ао ао Тогда 1 1 ао+а1х+ .+а„х" + ° ао 1+у ! — у+у' — - +(-1)"у +" ао (18) Радиус сходимости ряда ~~~ ( — 1) у есть 1. т=о Подсгавляя вместо у соответствующий ряд в (18), полу- 1 чаем в силу общей теоремы выражение в виао+ а1х+ де степенного ряда с центром в точке хо = 0 для достаточ)а1 но малых значений х (например, для таких, что ~ — (х( + ~ао + — )х) + . + —" !х)" + ° . < 1), т.
е. 1 = со + с1х+ . + с„х" + ао+ а~я+воя + (Ьо+Ь1х+ ..+Ь„х" + ) (со+с~я+сох + .+с„х" + .), т. е. представлено степенным рядом Ио+а1х+аэхэ+'''+И х +''' ° 147 Пусть есть еще ряд ) Ь„х" с радиусом сходимости Вэ. То=о Ьо+Ь1х+'''+Ь х + гда частное может быть записано во+а,х+ . +аах" + в виде Коэффициенты Иь 2 = О, 1, 2,..., можно определить, например, методом неопределенных коэффициентов, исходя из равенства (ао+а1х+ +аих" + .)(Ио+й1х+ +Них + ' ') = =Ь +Ь,х+ -+Ь„х" + (19) производя перемножение рядов и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях равенства.
Пример 27. Написать несколько членов разложения фун- хфО, кции у = 1"(1+ х) в ряд по степеням. х. 1, х= О Решение. Для (х( < 1 имеем .2 3 Хи 1 и ( 1 + х ) х + + ( 1 ) 4 4 + 2 3 п Поэтому х2 хэ х х2 хэ х4 х — — + —— 1 — — + — — — + —— 2 3 2 3 4 5 2 „З вЂ” 1 — --+ — — — + — — . + 2 3 4 5 2 З 2 + ~ — -+ —,— — + — — -) 2 3 4 5 з 2 З 2 3 4 5 х хг з --+ — — — + —— 2 3 4 5 2 1 з 17 4 3 з =1+-х — — х + — х — — х — — х + 2 12 24 288 20 зх) Почленвое пцггегрнрованже ряда. Пусть Дх) представляется в виде у(х) = /(хо) + р(С) Й, па где разложение р(х) = у а«(х — хо)«известка или доста«юо точно легко получается.
Тогда в силу общей теоремы (см. стр. 110) равенство у(х) = У(хо) +,у, " ««О (20) справедлнво внутри общего интервала сходимости рядов Е (*-*.)- ° Е- ап(х хо) п«о «О Втораи теорема Абвяя. Пусть  — радиус сходимости сгепенного ряда и Я(х) — его сумма для х Е (-В, В). Есля ряд сходится в точке х = В (х = -В), то его сумма является функцией непрерывной в точке х = В ( х = -В), т.
е. 1пп ~юа„х" = Ц~~ а«В« и-о «юо «юо < 1пп ~, а,*« = ~ а«( — В)« п«о ««О Из отой теоремы следует, что если ряд ~~~ а«(х-хо)«или ряд Е'"* *; а (х — хо)«+о «юо сходится в одном нли обоих концах промеи+1 жутка ( — В, В), то и равенсгво (20) имеет место при соответствующих значениях х (х = В, х = — В). Пример 28. Разложить функцию у = агс18 х в степенной ряд с центром в точке хо = О. 149 г ах Решешае. Поскольку агсгух = ~ —, то, разлагая ./ 1.1-хг 1 о функцию — в степеныой ряд с центром в точке хе = 0 и 1+ хг иатегрируя почленыо полученный ряд, имеем агсгых = (! 2+ 4 6+ + ( 1)п-1 гп-2+ ) / е ХЗ Ь 7 ( !)и-1Х2п-1 3 5 7 2и — 1 1 Разложение функция справедливо для х, удовлетворя- 1+ хг юцгих условию (х( < 1.
Для зтях же х верно и разложение ,з,з !)и-1 гп-1 агсгы * — х + + + . (21) 5 2п — 1 Отметым также, что одновременью получено разложеыие в степенной ряд с центром в точке хе = 0 функции у = агсс!и х, так как агсс!их = — — згсгйх т. е. 2 з а ( 1)пхгп-1 агссгйх — — х+ — — — + . + + .
(22) 2 3 5 2п — 1 Заметим также, что в силу сходимости ряда (21) в точках х = +1 и х = — 1 из второй теоремы Абеля (стр. 150) следует, что разложения (21) и (22) справедливы и для этих значений х, т. е. 3 ( !)и-1 2п-1 агсайх=х — — +.. + + для(х~<1, 3 2п — ! З ( !)и гп 1 агссгк х = — — х + — + . + + для (х( < 1. 2 3 2п — 1 Пример 29. Разложить функцию у = агсгы х в степенной ряд с центром в точке хе = О.
Решение. Возводя в квадрат ряд для у = згсай х, имеем хз хз ( !)и-1 2п-1 агсгй х= х + — + + + 3 5 Т 2п — 1 (х) < 1, т. е / 21 « /! 1 11 агс!5 х = х + ~--) х + ~ — + — +-) х + 3) (,5 5 9) ~, 2н-1 2««-1 3 2н-3 +х — 1+ — — + 1+ -+— е 1+-+-+-) — +" + 3 5 7) 4 2«« +(-1)"-' 1+-+-+ "+ — ) — + ". 3 5 2а-1) н Итак, асс!5 х = ~~«(-.1)" ~1+ — + ° + — ! —, )х(< 1. 3 2н — 1«н ' тюбе! Для доказательства формулы общего члена полученного 1 1 ряда а„= 1+ -+ . + — можно воспользоваться методом 3 2н — 1 математической яндукции (проверьте!).
с Пример 30. Разложить функцию У(х) ах, где е )в(1+ г) У(х) = 1, х= О в степенной ряд с центром в точке хе = О. Решение. Разложение функции у(х) в степенной ряд с центром в точке хс = 0 есть хз .з «« + + +» 1)««-1 + х~, 2 3 а -1<х<1, х!60, т. е. есть .2 «-! У(х) = ! — — + — +" +(-1)" ' + 2 3 и !5! ;)то разложение верно и в точке х = О, т. е. для всех х из промежутка — ! < х < 1. Следовательно, Х х- хз у(х)ь!х = х — — + — +. +( — 1)" ' — + 4 9 из о Предложенный способ находит широкое применение при приближенном вычислении определенных интегралов, когда найти первообразную в конечном виде не представляется возможным (см.
далее гл. П 2 2). Прамер 31. Разложить функцию у = 1п(х + ь>>1 + хз) в степенной ряд с центром в точке хо — О. Решение. Для производной данной функции имеем у'=(!+х ) Эта функция разлагается в степенной ряд „(2и — 1)!! (1+ .2)-4 1+ ~~,~~( !)о( )" .2>ь »иь Интегрируя почвенно этот ряд от О до х, имеем ь(х !п(х + Ь/1 + хз) = )! 1 '(+* о е СО !)» (( )" 2» 1 /' - ( 2п — 1!! ./ (2и)П о о их+~ ( — !)" — -х", )х)< !. (2п — 1)!! 2„+, (2и+ 1)(2и)П Поскольку этот ряд сходится и в точках х = х! (проверни е!), то по второй теореме АГ>еля отсюда имеем, что полученное разложение <праведливо для всех (х) < ! В чаьп ности, получаем, что 1 13! 1 — —,, + — — — + 23 245 +(-1)", ", — + .
! (!+,Гг), „13 ... (2и — 1) ! 2 4 ... -(2и) 2и+ 1 152 1 131 — 1+ — — — — + .+ 23 245 + (-1)"+' '" + " !и(/2-1). „„13.,(г -!) 24.....(2п) 2п+1 з) Почленное дифференцирование ряда. Суть метода состоит в следующем. Пусть надо найти разложение некоторой функции в степенной ряд. Если удается найти такую функцию у(х), что ('(х) = у'(х), то, разложив функцию у(х) в степенной ряд и продифференцировав его почленно, получим разложение в ряд функции у(х).
Пря этом полученное разложение верно всюду, где соотвечствующее разложение было верно для функции у(х). 1 Пример 32. Разложить функцию у = в степен- (1 — х)з ной ряд с центром в точке хо — — О, Решение. Поскольку — = ~ 1, то имеем (1 — х)з 1,! —.х ) ( (1 — х)з ~, 1 — х/ — = (1+х+х +х + .. +х" + .. ) = = 1+ 2х+ Зх'+ "+ пх"-'+. Так как при дифференцировании интервал скодимости степенного ряда пс меняется, то найденное разложение имеет место прн х, удовлетворяющих условию — 1 < х < 1.
и) Представление степенным рядом неявно заданной функции. Пусть функция у(х) определяется уравнением г"(х,у) = 0 и условием у(хо) = уо (числа хо и уо должны, естественно, удовлетворять равенству г'(хо, у(хо)) = 0). Теорема. Пусть функция Р(х,у) в окрестности точки (го, уо) рязлагаечпя в ряд по степеням х — хо н у — уо и коэффициент при у — уо этого разложения отличен от нуля (Р„'(хо,уо) Ф 0) Тогда функция у(х), определяемая уравнением Р(х,у) = 0 в окрестности точки хо, разлагается в ряд по степеням х — хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
