И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Определение равномерной сходимости ряда непоп+1 сред! твенно переносится на ряды в комплексной плоскости; теоремы о почленном интегрировании н дифференцировании рядов также справедливы в комплексной области. Из формулы Коши-Адамара немедленно следует, что ряды «+1 и а«л (почленно проинтегрированный и+1 ««О п«О ряд А), С: ~~! папе« ' (почленно продифференцированный ««1 ряд А) имеют один и тот же радиус сходимости. Теорема. Если И > О есть радиус сходимости ряда Е -". а„г", то для любого г, О ( г с Я, этот ряд сходится п«О равномерно на множестве (г: 1О1 < г) (на любом круге с центром в нуле, лежащем строго внутри круга сходимости данного ряда). Следствие.
Сумма Я(з) степенного рида ~ а«з«беско- «=О печно дифференцируема в круге сходимости, при этом Ь! 1(О) = ~~! п(п — 1)... (и — пз+ 1)апл« «+1 функция г'(г) = у а«являетсл в круге сходимости и+1 первообраэной для Я(г), принимающей нулевое значение при О = О. ()пределенже. Функция !'(О) называется аналитической в точке ОО б С, если существует степенной ряд ~~! а„(л-ОО)", п«О 109 сходящийся к ~(») в некоторой окрестности У(»о) точки»ц. 1(») = ~~~, ап(» — »о), У» б У(»о).
Точка»о в этом случае пап«О ОО зывается точкой аналитичности функции У' ряд ~~~ а (» — »о) «=О называется рядом, представляющим функцию у в У(»о). Из определения немедленно следует, что сумма степенного ряда,) ап(» — »о)", радиус сходимосгн которого не равен ппо нулю, валяется аналитической в точке »О. Более глубокое утверждение теории функций комплексного переменного состоит в том, что каждая точка круга сходимости степенного ряда есть точка аналитичности его суммы. Если»о — точка аналитичности функции у, то эта функция бесконечно диффереицируема в точке»о (как сумма степенного ряда) и коэффициенты степенного ряда, представляг'">(") ющего эту функцию, определяются равенством а„= ~ Р «1(") л! Ряд Ъ (» — »о)п называется рядом Тейлора функл! ««О ции / в точке»о. Итак, с одном стороны, каждый степенной ряд есть ряд Тейлора для своей суммы; с другой стороны, существует единственный ряд вида ) ап(» — »о)", представляющий дан«по ную функцию в некоторой окрестности точки»о, именно, ряд Тейлора этой функции.
Как уже говорилось, степенной ряд ~~~ ап(»- »о)", радну- «=О сом сходимости которого является положительное число В, н круге сходимостн К = (»: )» — »о) ( Щ определяет функцию Я(») = ~~~ а (» — »о)' п«О Предположим, что два ряда ~~~ ап(» — »о)п = 51(») и п=о 110 Ь„(г — ЕО)п = ЯЭ(г) ИМЕЮТ ЧаетнЧНО ПЕрЕСЕКаЮщИЕСя КруГИ ппе сходимости К1 и КО, соответственна, и их суммы совпадают на общей части этих кругов: Я1 (е) = ЯО(г), Чг Е К1 П Кэ. То- гда каждая точка части окружности одного круга, лежащей внутри другого, является точкой аналитичности функции Я1(э), ° Е К1, ~(е) = Яэ(е), О Е Кэ ° Определение. 1. Точки с окружности круга сходимости ряда ~~1 ап(Π— ОО)", обладающие такой окрестностью У(~), п«О в которой существует аналитическая функция у(е), совпада- ющая с суммой данного ряда на пересечении его круга схо- димости с У(~), называются правильными или регулярными точками данного ряда.
2. Точки ~ окружности круга гходимости, не обладающие такой окрестностью, называются особыми точками данного ряда. Теорема. На окружности круга сходимостн степенного ряда находится, по крайней мере, одна особая точка этого ряда. СО Пример 5. Найти регулярные и особые точки ряда ~ е". пп п«О Решеиае.
Радиус сходимости ряда ~~~ Оп равен 1, и для сю п«О всех е, )х( с 1, имеем равенство У гп = —. Функция !в 1 «=О Де) = — определена для всех г ф 1. Покажем, что для 1 — О любого а ~ 1 функция у(е) представляется степенным рядом в некоторой окрестности точки а. Обозначив 1 = е — а, получим, что 1 1 1 1 1 1« 1 — г 1 — а — 1 1-а 1 — — 1 — а ~Х~ (1 — а)п 1-а «О 1 — (е — а)п, )е — а) С )1 — а).
(1 о)п+1 ««О 111 Итак, все точки окружности (х( = 1 кроме точки го = 1 являются регулярными точками ряда ~~~ ги. Поскольку в силу поо приведенной выше теоремы на окружности )у( = 1 должна быть хотя бы одна особая точка этого ряда, то таковой является точка го — — 1. со Обратим внимание на то, что ряд ~ ~гн расходится во =о всех точках окружности Ц = 1 как в особой точке, так и в регулярных. Выше был приведен пример степенного ряда, сходящегося во всех точках окружности круга сходимости также независимо от того, особые это точки нли регулярные. Таким образом, сходнмость степенного ряда в точках окружности круга сходимостн, вообще говоря, не связана с регулярностью его точек.
Для функций комплексного переменного справедливо утверждение: если функция у дифференцнруема в каждой точке области С, то каждая точка этой области является точкой аналитичности функции у'). Стивеииые рады в действительной области Если все коэффициенты степенного ряда ~ и„(л — яо)' и =о точка ло действительны, то его сужение на действительную ось дает степенной ряд ~ по(х — яо) '. Теперь в дальнейшем но о будем считать числа п„действительными, но оговаривая этого специально. Вместо круга в ходимости (с: (д(< )ь) на комплексной плоскости на действительной оси получаем интервал сходимости 1х: (х~ < й). Множество сходимости РЯда ~~~ аи(Я вЂ” Яо) иоО 1 )Можно было обосновать аналитичность функиин у'(е) = — в лкь 1 — в бой точке г 4 1 ссылкой иа лту теорему, но мы предпочли дать прямое доказательство лчосо свойстиа /(г).
112 Ряд с членами ( — 1)" ~ — ) + — ' ~ — ) ~ сходится абсо- ~М) „2~М) 1 лютно, ряд ~ —,сходится условно. Следовательно, в — (-1)" и и=! точке л! = — В данный ряд сходится условно. 1 Для л = — имеем равенство Ь Следовательно, в точке лз = В данный ряд расходится. 1 а Ш. М = с > шах(а,Ь).
Тогда В = — и О « — 1, с М Ь 1 О « — 1. Для !я~ = — имеем равенство М с Следовательно, данный ряд абсолютно сходится как в точке л! —— — В, так и в точке лз = В. Итак, окончательно получаем, что а) если шах(а, Ь, с) = а, то множество М сходимости данного степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: М = б) если шах(а, 6, с) = 6 > а, чо множество М сходимости 1 1'1 данного степенного ряда есть полуинтервал — †, -!, т, е. Ь'Ь)' интервал сходимости зтого ряда с добавлением левого конца; в) если и!ах(а, 6, с) = с > гпах(а, 6), то множество М схо- 1 11 димости данного степенного ряда есть отрезок — —, -~, т. е.
с с~ интервал сходимости зтого ряда с добавлением обоих концов. Предлагаем читателям проверить, что зти три случая исчерпывают все возможные взаимные соотношения между числами а, 6, с. 114 Из равенства )а„(-А)") = )а„В») следует, что абсолютиаа схоДимость степенного РЯДа ~ ап(Я вЂ” ЯО)п на оДном нз концов интервала сходнмосги влечет абсолютную сходнмость его и на другом конце этого интервала. Такам образом, множество сходнмости степенного ряда может быть полуивтервалом только тогда, когда в соответствующем конце этот ряд сходится условно. Из этого же равенства видно, что если рас- ХОДНМОСтЬ РЯДа ~~~ ап(Я вЂ” ХО)" На ОДНОМ Иэ КОВЦОВ ИитЕРВапа ппе сходимости следует вз того, что последовательность (а«В») не является бесконечно малой, то и на другом конце интервала сходимости этот ряд расходится по той же причине.
Иэ формулы Коши-Адамара следует, что 1нп фа„й") = 1. Отсюда видим, что ни радикальный признак Коши, ни признак Даламбера не дают возможности установить сходимость ~о степенного РЯда ~~~ ап(Я вЂ” ЯО)п в концевых точках интеРвап»О ла сходимости. Однако, расходимость этого ряда в концевых точках иногда устанавливается с помощью этих признаков в допредельной формулировке.
1 2 и Пример у. Найти множество сходимостн ряда~ (2п)! Репзежне. Так как п«О )о„( (2п+ 2)(2в+ 1) и-++»» )а«Е~/ и-++ее (П+ 1)2 1 4п( 1)2 то г1 = —. Положим Ьп = ', . Тогда, если х = 4, то 4 (2п)! а«Я» = 1',Ьп, а есла Я = — 4, то ~' апх" = ~,( — 1)"Ьп. ««О п»О «=О ппо Ь+, 2( +Ц Так как —" = > 1, то оба РЯда ~ Ьп и ~ ( — 1)«Ь„ Ь» 2п+ 1 расходятся. Таким обрезом, множество М скодимостн данного ряда совпадает с его интервалом сходимости: М = ( — 4,4).
Пример 8. Найти множество сходимости ряда [4 + (-1)"]« «=! Решение. Если последовательность (о„) имеет предел, то для любой последовательности [Ф„) имеем равенство: !пп а„!у„= !пп о„. !пп «-++о««-~+о««-«+о« 11ольэуясь этим свойством, получаем, что 1пп — [4+ ( — 1)"]" — !пп [4+ ( — 1)«) = 5. « -~+о« и «-Фа« 1 следовательно, Я = —. Положим 5 и = 2пн 4+ (-1)" " 1 и = 2п! — 1. С« х= —, то а„л" = ~~! 6„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
