И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

е. ряд ~~! ип(л) сходнтся равномерно на отрезке [0,1]. ««1 1 ОЭ С другой стороны, Мп = впр [ип(*)[ = —, т. е, ряд ~~! М„ пе(е,11 пп! расходится. Итак, для абсолютно (поскольку ип(я) > 0 для всех я Е [0,1]) и равномерно на [0,1] сходящегося ряда Й- ип(л) не существует сходящегося числового мажорантноп«! го ряда. При анализе функционального ряда ~ ип(я) методом пп! Вейерштрасса оптимальным — с наиболее точной оценкой— мажоры!тным рядом является ряд ~~! впр ]ип(л)].

Однако чап«1*Ел сто бывает достаточно более грубой, но легче получаемой оценки для ]ип(х)[. Приведем несколько характерных примеров. ОО ч 1 Пример 12. Проверим, что ряд у — (хп + Зх и) равиои! 11 1 «и! мерно сходится на ~-,2~, 12' 1 Решение. Первое слагаемое в сумме х" + З.е " принимает наибольшее значение в точке х! — — 2, второе -- в точ- 1 (1 ке хз = —. Следовательно, для всех * Е ]-,2 имеем, что 2 1 „„4.2" 0 < †,(х" + Зх ") < †,, и в силу признака Вейерштрасса и! и! Г] получаем, что данный ряд сходится равномерно иа ~-, 2 .

Ь Замечание. Точная оценка /1 — (х" + Зх ") < епр — (х" + Зх ") и! ,е!( з] и! ,= ЗЗ" дает мажорантный ряд Ъ вЂ”, члены которого имен>т тот и! ««! же порядок малости, что и полученный. е<п ях Пример 13. а) Проверим, что ряд ~ равно- , ~/а~+ хе мерно сходится на К. «< с а!о — „., б) Проверим, что ряд ~ " равномерно сходится </пз + хз на К. «=! Для любых а имеем неравенство )в<па) < ппп()а),! ).

От- сюда видно, что, желая получить лучшую оценку для [вша), надо брать оценку )<йпа) < 1, е<ли а принимает значение вне отрезка [ — 1, 1), и оценку ) я!па) < [а), если а Е [ — 1, 1]. В пункте а) при х ф 0 аргумент синуса принимает сколь угодно большие значения, поэтому удобна оценка [ айп пх) < 1. Итак. гйп пх 1 1 [н.(хН =, -~ <, <— Фт+.') Ке+ 1 для всех х Е К, следовательно, я силу признака Вейерштрасса е!и пх ряд 2 сходится равномерно на К. </пе + х4 ««! В пункте б) для любого х Е К имеем — -е 0 при п -+ оо, пэ поэтому удобна оценка )в!и — ! < ~ — ~. Итак, (н„(х)) = — "- <— (в!и -ех 1 ф ( <— ,/„~+ хз пз„/„э+=хе пз двв всех х Е Й, следовательно, в силу признака Вейерштрасса се в!и г рлд ~ — в — сходнтсв равномерно на Й. 2.,ДГ-;1 Проверьте, что в пункте а) оценка ) е!и пх( < !пх(, а в пунк- те б) оценка )л!и — ~ < 1 не дают сходящихся мажорантных пз рядов.

Внимание! Прн анализе ряда в пункте б) использовалось неравенство (е!и а( < )а), а не соотношение эквивалентности в!па а, а -+ О. Из соотношения и„(х) е„(х), и -+ оо, вообще говоря, не следует одновременная равномерная или СО с > неравномерная сходимость рядов ~~! н„(х) н ~~! е„(х) даже и=! юа=! прн условии и„(х) > О, е„(х) > О.

Приведем соответствующий пример. х х Пример 14. Рассмотрим ряды 2 и ~~! п(хз+ пз) пз е= ! и=! г г. х Е К С одной стороны имеем, что —, п -+ оо. пхз + пз и'! С другой стороны, неравенство х ! (хп( ! — < —,, хЕЙ, п(хз -ь аз) и! хз ч-пз 2пз' в силу признака Вейерштра!та показывает, что ряд ~( )" х сходится равномерно на Й, а соотношение , п(хз з- и!) «=! )х) Г х \ еор — з — — +со -- что последовательность 1 — ) неравномерно сеп и пз сходится к нулю на Й и, <лсдовательно, ряд $ — неравноп мерно сходится на Й.

«=! Прамер 15. Проверим, что рлд ) х~е "* равномерно н=! Вб сходится на [О, 1]. Решение. Поскольку ецр хг = 1 н епр е "* = 1, то *е[е,!] се[а,!) оценка епр х е "* < епр х анр е " = 1 недаетскодя*е[е,г] ее[О,г] се[0,!] щегося мажорантногоряда. Найдем епр хгс " . Поскольку ее[0,!] г — ~2~ -г (хге "е)' = хе "*(2 — вх), то енр хге "' = -) е г = за[0,!] ~в) 4 = †, следовательно, 0 < а е < †, * в [0,1], и в -пе 4 егвг ' егвг силу признака Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на [0,1]. х (пг+ хг) Пример 16. Проверим, что ряд ~! — [п ве -[- хг не+ х4 в=! сходится равномерно на й. х (вг+хг)г Решенно. Найтн впр — 1п технически слоеен ве+хг ва+х4 жно, позтому попробуем провести оценки каждого из сомножителей.

Используя неравенства ]п(1 + а) < а, а > О, и 2]ху] < хг+ уг, получим, что (вг+хг)г / 2пгхг ~ 2вгхг ил+ хе [, ве+ х!) не+хе Так как =, то и х ~ ~ | м ~ ! ~ ~ ~ ~ | в~ — хг ~ х 1 вг 1 < ве + хг [ (в4 + хг)г ] ве+хг ) не+не 2вг х (вг+ хг)г н, следовательно, !и „4 < —.

Итак, в си' не+аз в" +х4 2вг лу признака Вейерштрасса, данный ряд сходится равномерно на й. Определение. Последовательность (у„(х)) называется равномерно ограниченной на множестве Е, если существует такая константа М, что неравенство ]~„(х)] < М справедливо для всех и в ]![ и всех х в Е. Признак Днрнклв. Если члены функционального ряда и„(х) могут быть представлены в виде и„(х) =а„(х)6„(х), лю! где ~« а) последовательность сумм ~~! а„(х) равномерно ограни- чена на множестве Е, б) для каждого хе Е Е последовательность 6„(ле) моно- тонна ((Ь„(л)) монотонна относительно параметра и), в) последовательность (6„(х)) сходится к нулю равномер- нонаЕ, ОО то ряд ~~ и«(л) = ~ а«(х)6«(л) сходится равномерно на Е.

«=! «=! Прмэмвк Абеля. Если члены функциона!!ьного ряда <« в«(л) могут быть представлены в виде и«(я) = а„(х)6«(х), ««! где СЮ а) ряд ~~~ а„(х) равномерно сходится на Е, «=! б) для каждого ле Е Е последовательность (6„(яе)) моно- тонна (последовательность (6„(л)) монотонна относительно параметра и), в) последовательность (6«(х)) равномерно ограничена на Е, «о 0« то ряд ~ и„(х) = ~~! а„(л)6«(х) сходится равномерно на Е «=! «=! Так же, как и для числовых рядов, область применения признаков Абеля и Дирихле — неабсолютио сходящиеся ря- ды При исследовании конкретных рядов с помощью этих признаков монотонность последовательности (Ь„(л) ) относи- тельно и часто не требует особого анализа — она очевидна.

Но грубой (и частой!) о!пибкой является пропуск указания на то, что это условие выполнено. Отметим, что именно при применении признаков Абеля и Днрихле иногда возникает необходимость рассматривать числовые последовательности или ряды как равномерно сходящиеся на данном множестве. е а!и пя Пример 17. Рассмотрим ряд ~ и ««! а) на интервале (е, 2л — е), 0 ( е < л; б) на интервале (О, 2!г). ЗВ »Ф 1 а)Танках ~ вшпх < г-: — т, х ф 2хе, в б Е,то )в!и э) 1 для х б (в,2х — в) имеем, что ~~! в!ппх < ~ — т < «и! 11\ Последовательность ~ — э монотонно сходится к нулю при 1В1 и -р оо. А поскольку зта последовательность числовая, то сходимость равномерна на любом множестве, в том числе и на (в,2в — е). Итак, в силу признака Дирихле на иитервач вшах ле (е,2х — е), 0 < е < в, ряд '! — сходится равно- и ии! мерно.

б) На интервале (О, 2х) приведенное в пункте а) рассужде- 1 ние уже неприменимо, так как оценка у в!пах < —,— ! ии! ) 1"-) не дает возможности равномерно ограничить последователь(! ' *) (0,2). Э д п«1 можиость утверждать„что для любого фиксированного вш вх х б (О, 2х) ряд ~ сходится (этот результат был полу«и! чен при рассмотрении числовых рядов), т. е. интервал (О, 2х) входит в множество сходимости рассматриваемого ряда. Пользуясь критерием Коши, покажем, что на (0,2х) ряд Й в!и пх сходится неравномерно, т. е. можно указать такое и ии! число г > О, что для любого номера Ф найдутся такие энаи+р е вш ххи ченияр, пбИ,и>Ф,нх„б(02х),что у " >е. в«» Прежде всего подберем хи б (0,2х) так, чтобы на досгаточно большом промежутке изменения х: о < х < п+ р величина ып хх„была отделена от нуля.

Если взять хи = —, то бп 1 для и < й < бп имеем, что в!пхх„> г. Для произвольного 2 номера Ф положим и = Д/+ 1, тогда е1пйя< 1 1< ! 1 2 й ~ 2 „ й~ 2 5п 5' ч е!и и* следовательно, ряд сходится неравномерно на и (О, 2н). Заыечажже 1. Еще рез обращаем вннманне на то, что првзнакн равномерной сходнмостн Вейерштрасса, Абеля н Днрихле — достаточные.

Для утверждения, что даннын ряд сходятся неравномерно, обычно опнраемся нлн на крптерий Кошн, нлн на его следствие — необходимый признак равномерной сходимостн. ОО т-с е!и пя Замечажже 2. Сходимость ряда ~ на (0,2я) моя е=! /1 11 жпо обосновать и так: (0,2х) = < ) ~ —,2я — — 1; на ка,~т шl /1 1! ждом интервале ~ —,2я — — ! данный ряд сходится (даже равномерно), следовательно, этот ряд сходится н на (О, 2я) = << /! 1~ < ~ —, 2х — — !.

Здесь отчетливо видна разница между , 1,гл ш( глобальным (рассматривающнм множество "в целом") свойством равномерной сходнмости н локальным (рассматривающим множество как совокупность точек) свойством поточечнай сходимостн. Локальное свойство естественно сохраняется при объединении множеств — оно имеет место в каждой точке каждого множества, следовательно, н в каждой точке нх объединения, — а глобальное свойство при таком объединении может н не сохраняться, что и имеет место в данном примере.

(Ю з|п пх Замечание 3. Из того, что ряд ~ — на (0,2х) схои «ю! днтся неравномерно, следует, что последовательность < сю *) р р р ы (0,2). «х! Более глубокий аналнз, выходящий за обычный объем нашего 1 курса, показывает, что оценка Э в!и пх < ~ — я завыше- )е!и з) на, но отражает качественную характерястику — неограниченный рост апр ~~» ешпх при е -» О+ и и» вЂ” » +со. «е!» 3«»! )« (сов пх)»йп х агсеб пх Пример 16.

Проверим, что ряд ~ »(пч + х сходится равномерно на й. Так как ! ПВ )»« (сое их) в!и х = ~ ~~», -(е!п(п + 1) х — е»п(п — 1) х) = 2 «=1 ««1 1 3 = -)е!п(п»+ 1)я+в!пп»х — е!пх) < —, Г агссбих ) то достаточно показать, что последовательность ~ 1л+. ) монотонна относительно и и равномерно сходится к ыула» на !й. Второе утверждение следует ю неравенства < —, хс)й, а первое требует более глубокого анализа. Поэтому приме- ч сов ихе»пх ним другой способ.

Рассмотрим сначала ряд э ~-,,Г +х Из полученных выше соотношений следует, что этот ряд удовлетворяет условиям признака Дирихле, если а„= (сое пх)в!и х 1 и 6« =, следовательно, сходится равномерно на Й. ~~~+ хз Последовательность (агс!б нх) монотонна относительно и (на зто достаточно указать) и равномерно ограничена: ) агсских~ < —, и Е И, х б Ж. Следовательно, в силу призна- (сое пх) е!и х агс!б пх ка Абеля ряд ~ сходится равномерно пз + хз на Й.

Внимание! Иногда при применении признака Дирихле ю неравенства О < 6«(х) <»9«, х Е Е, где Д, — монотонная бесконечно малая последовательность, делается совершенно 91 необоснованный вывод о монотонности последовательности в„(х) относительно и. Это является грубой ошибкой. (1 — сов пх) сов пх Пример 19. Рассмотрим ряд ~~! . Для и в=! ( 1 — сов пх ) всех х Е К члены последовательности С у удовлеи 1 — сов пх 2 творяют неравенству О < < †, следовательно, и и ! — сов пх ~О на ЗЗ Если бы зга последовательность была н мои 00 (! — сових)сових потопив относительно и на Й, то ряд ~ и еи! Г !г 3!г! !г сходился бы равномерно на ~-, — ~. Положим хе —— —, тогда 14' 4~ 2' О, п=4й, О, п=4й+1, (1 — сов пхе) сов пхе 2 — — н = 4/г+2, 7! О, п=4в+3. ч — 2 Так как ряд у расходитгл, то расходится н ряд 4й+2 ггж ! ~ (1 — сов пхе) сов пхе и=! (!г Зя) ~--[ ----------[--1 --" (4' 4~ л=1 ( 1 — сов пх 1 вательность С у равномерно стремится к нули> на [ !г Зя) ~- (1 — сов п,г) сов пт —,-~, ряд~ не только не сходится рав- 2- и Гг Зя) номерно на ~ —, — ~, но даже расходится, по крайней мере, в 14' 4 ~' одной точке этого отрезка.

Характеристики

Список файлов книги