И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811)
Текст из файла
И.А.Виноградова С.Н.Олехн и к В.А.Садовничий ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 2 РЯДЫ, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, РЯДЫ ФУРЬЕ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Издание третье, исправленное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям и специальностям физико-математического профиля врофа МОСКВА 2001 УДК 517. !(075.8) ББК 22.161 В49 Рецензенты: чл.-кор. РАН Х 47. Кудрявцев, академик РАН В. А. Ильин Серия вВысшее образование: Современный учебник основана е 2001 году Виноградова И. А., Олехннк С.
Н., Садовничий В. А. В49 Задачи и упражнения по математическому анализу; Пособие рля университетов, пед, вузов: В 2 ч. / Под ред. В. А Садовничего. — 3-е изд., испр. — Мл Дрофа, 200!.— Ч. 2; Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразование Фурье. — 712 сз ил.
— (Высшее образование: Современный учебник). 1БВ)ч( 5 — 7107 — 4295 — 3 (ч. 2) 1ЕВ)ч( 5 — 7107 — 4296 — 1 Учебное пособие (2-е нзв. — 2000 г ) соответствует программе курса мшсматнческого анализа лля стулснтов мсханнко-матсмапвчшких н математнчсскнх факультетов университетов, псяагогнческнх н тсхннчсскнх вузов Задачник шражаст современные тснленннн рвзвнтня мвтсмвтнкн Большннсгюо запач а поссбвн сопровожаастсв рсш нн»- мн, поэтому оно может быть полезно прн самостоятельном изучении п(тлмсга. В книге тзлсикатся слслуаванс разлапы: рялы н бесконечные пронзвелснмя, нссобстенные ннгсгралы н нпгс(ралы с аарвмстрамн; рвлы Фурье; преобразованне Фурье. йш студентов увееерснтееше, шгоюгшсскьх вузов, сузою с уюублсвхнм озучеввем мстсмтвнсв, УДК 517, 1(075.0) ББК 22.101 Учебное издание Виноградова Ирина Андреевна, Олехннк Слав Николаевич, Садовничий Виктор Антонович ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МА1ЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Чаош 2 Зав.
редакцией Н. Е, Рудомазива Ответственный реаактар Ж. И. Якаелеео Художник Е Е. Доброеи»гкая Корректор П. А Александрова (14~ ШП Л( ОЬ)Ь" 4 ~ П7 )097 Г(ЧПЧВ,П»ПСШП,)0040) ф (МЧГООШ)О)в. (ГМЧ. ЭПЧ РВ) .(В ),РНП(УР~«1ВПМСВ П" гтвсф Гзнгю УСЛ ПС( 4 444 ГИРЮ 1ОООО.ЧЭВПУЕ)9(( 000 ' Лр ф. » (27П(Х М шь ( ушев ~ ш вээ 49 По юввр свм прввбрстсгпо врслуьнвн вгш ~сгпс(ве вдр фав обрг(г( ° ~ьсв во взреву; 12701Х, Ы сввэ.()шп шш ьи.49 Тт (ОЧ5) 795-М.ЧО, 7ЧЧ ОЧ.(1 ф. вг (095) 7ш О(.52 1 р шгв лоч вшьгчпвчхв 109172, М сш ..
Ув, Л(4(чгс Лг шпппшл в б, с р (Л Гс. (09() )((и) З(.9) рпыр)()ОЪ ПР В ЬП Св (. Ч ВЧЧПЧЭЧ~Ш В во»0 вмч „ш ш в с и г(. ) и ссьчб ьччбпчгэв (417(Х) ( Ы, „««.)с Ып)м 91 ПРЕДИСЛОВИЕ В России исторически сложилось так, что представление об образовании включает в себя органичное единство школы как системы приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уровня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы духовного богатства человека. В предисловии к первой части этого задачника приведены слова Н.
И. Лобачевского, который на протяжении всей своей преподавательской и научной деятельности размышлял о целях и принципах математического образования, о пользе новых учебных книг. С удовлетворением отмечая успехи своих учеников, он писал, что «они тверды в правилах, понимая все, совершенно уверены в своих знаниях, отвечают со рвением на вопросы с намерением даже сысканные, решают их легко, не подозревая, чтоб в них можно скрываться затруднение, достойное занять взрослых». Эти слова по существу отражают основные творческие устремления каждого преподавателя по отношению к своим ученикам. Во второй части учебного пособия «Задачи и упражнения по математическому анализу» представлен материал по теории рядов, несобственным интегралам и интегралам с параметрами, рассмотрены теория рядов и преобразование Фурье.
Оно позволяет реализовать указанные выше принципы преподавания математики и служит дости>кению поставленных целей. Третье издание задачника, так же как и его второе издание, выходит в двух частях. Часть 1: «Дифференциальное и интегральное исчисление». Часть 2: «Ряды, несобственные интегралы, ряды Фурье, преобразование Фурье». Серия «Высшее образование: Современный учебник», в которой он выпускается, кроме практической ценности, призвана подвести некоторые итоги работы российских ученых и педагогов-математиков по созданию базовых учебников по математике.
Академик Российской Академии наук В. А. Са»о«литий Глава 1 РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ 1Н»ОИЗВЕДЕНИЯ 1 1. числовык ищы Определеыие 1. Последовательность чисел (вообп»е говоря, комплексных) (а„), соединенных знаком плюс, а! +аз+ + аз + + а„+ . называется рядок! (числовым рядом) и обозначается ~ а„. «=! Определеыие2.
Ряда»+<+а»+к+ +а»е +, членами которого являючтя все члены ряда ~~ а„, начиная с (я+1) -го, «=1 взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется остатком я -го порядка ряда ~ а„и обозначается г», т. е «=1 г» = ~~< а„= ~< а»+ ««»»! т=! Определение 3.
Сумма а<+а + . +а» первых й членов ряда ~ а„на<ывается «-ой частичной суммой или частичной «=1 суммой порядка к этого ряда и обозначается Ь». т. е. » «=! Таким образом, каждому ряду ~ а„соответствует по- ««1 следовательность (э») его частичных сумм Обратно, ка- ждой последовательности (А») соответствует ряд ~ а„', где «=1 а! — — А!, а„= А„— А«<, и б И, и > 2, частичными суммами которого являются члены данной последовательности. Поэтому каждое < войство последовательностей перефразируется в некоторое свойство рядов заменой характеристики чле- нов последовательности соответствующей характеристикой членов ряда.
Опредеяеыие 4. Ряд ~ а» называется сходящимся, если »=! сходится (имеет предел) последовательность Яь его частич- ных сумм. Ряд ~ а» называется расходящимся, если последователью»1 ность Я» расходится. Если ряд ~~! а» сходится, то число Я = !пп 5» называется ь-»ао »=! »» его суммой, при этом пишут: э' = ) а». »»! Если ряд расходится, то н его остаток любого порядка расходится. Если ряд сходится, то и его остаток х-го по- рядка г» при любом» сходится, в этом случае остаток г» записывается в виде гь = Я вЂ”,'!» и !пп 㻠— — О. ь-!»» Если члены ряда -- комплексные числа а» = о» + !б„, где (о») н (!у„) — действительные последовательности, то сходимость ряда у а» = ~(а» + !ф„) эквивалентна одно»»! »»1 временной сходимости рядов ~ и», ~~' д» и 5' = ~~',а» = О» »=!»»! »! о» + ! ~ Д„.
Таким образом, исследование свойств ря- »»1 »»! да с комплексными членами сводится к исследованию свойств рядов с действительными членами, поэтому в дальнейшем, в основном, рассматриваются ряды с действительными члена- ми. Приведем несколько примеров, показывающих взаимоот- ношение понятий ряда и последовательности, суммы ряда и предела последовательности. Пример 1. Рассмотрим ряд ~+4+4'+ +~" + .=~~,4" ', »=! где !! — комплексное число и )»!) ф !. Частичная сумма 5» г »-! ! Ч этого ряда есть 1 + з + !! + .. + !! = Так как 1 — у 1!и! )д!» = О при (!!! < 1 н 1пп (!!(» = +оэ при )!!! > 1, то »-»оо »-»о» 1 1нп Я» = — при )д( < 1 н !нп 5» = оо при (!!( > 1. Сле»-~сю 1 — !! »-»о» довательно, ряд ~~» е" при (д( < 1 сходится и его сумма о=! 1 равна —, а при ~д) > 1 расходится.
1 — !1' Записав»! в виде з = (д(е!" = Щсоза+ !зппп), получаем, что ф" = ~~~ (!!!"(созна+ !зппп!!) = о=! »=0 1 1 — (»!( созе+ г(д(з!и а 1 — (д! созе — г!4 з1п а 1 — 2)д) созе+ )!!)г и, следовательно, для действительного числа р, †! < р < 1, имеем равенства: 1 — рсоа а р" ! соз(п — !)а = ~ р" созна = 1 — 2рсоза+ р, Е" рзгп а р згппа = ! — 2рсоза+ рг.
Пример 2. Рассмотрим ряд 1 — !+1 — 1+ = ): ( — 1)" о=! Поскольку для этого ряда 5г ! — — 1, 5г,„= О при любом натуральном и», то последовательность (5!, ) не имеет предела при» -+ оо. Следовательно, ряд ~~» ( — 1)" расходится. и=! й Пример 3. Рассмотрим последовательность А» = —, !с+ 1' » Е И. Членами соответствующего ряда, частичными сумма- ми которого являются числа А», будут числа а„; ! 1 а1 —— А~ —— — —— —, 2 12' и и — ! ! а„= А„— А„ , пбй, п>2.
и+ ! и я(п+ 1)' «« Так как )пп А» = 1, то ряд 5 а,« = 7 сходится и п(п+ 1) сумма его равна 1. Пример 4. Рассмотрим последовательность (А»); А» = 1 я9 ' = —, й б !4. Соответствующим ей рядом будет ряд ~~~ а„, ««=1 1 1 гдеа« =А« — -1,а„=А„— А„~ — — — —,пей, пе (и+1)ч' п > 2. Так как последовательность (А») сходится при д > О н /1 1 расходится при 4 < О,тонряду ап=1+Ъ сходится прн д > О н расходится при д < О.
п Пример 5. Растмотрим ряд ~,—. Чтобы решить вопрос ~ г' ««ы! 1 о сходимости последовательности (.Ь»): 5» = 1 + 2 — + 1 1 +3 -+ .+й —, преобразуем выражение з» следующим обра- 8 2»' зом: /1 1 !'! /1 ! 1'! 5»= ~-+-+.. + —,~+ ~ — + — + . + — )+ -.+ !«2 4 2»,~ '» 4 8 2») Отсюда получаем, что )пп 5» = 2, следовательно, ряд Ъ »-««ю сходится и сумма его равна 2. п=! «Ю 1 Пример 6.
Рассмотрим ряд ~! . Для уп- р»п!< пии ча< гнчных сумм ! ! ! 'й,, 1,, ! +- ! У 2 2 3 4 Iс((<+ 1)(!с+ 2) и!»» Г!ызугм ныраж< ни< для члена ряда а», разложив его на нр<» < ишнг дроби: ! 1(! 2 ! п(в+1)(и+2) 2 'х<< и+ ! и+2 Отсюда получаем, что 1/ ! ! 1! ! /1 ! ! !'! Ье = — ~1-и+г--,у!+; ~г — -+- — -у!+ + 2 З 2) 2!2 2 4 2/ 1/! ! ! 1'! 1/ ! ! ! + — — — — + — — — =- ! — -+ — —— 2 ~й й+! й+2 й+1/ 2 ~, 2 й+2 й+1) Следовательно, !нп Ь» = —, т. е. ряд у схо' к-+. 4' п(п + 1)(п + 2) »=< 1 дится и сумма его равна —. 4 В приведенных примерах последовательность (,У») частичных сумм соответствующего ряда или задавалась заранее, или выражалась достаточно просто, так что существование н величина предела,Ъ» устанавливалась непосредственно.
Таким образом, в силу определения одновременно устанавливались и сходимость, и величина суммы рас:матривагмого ряда. В основном, непосредственный анализ последовательности ( з'„) не представляется возможным, позтому основными задачами в теории числовых рядов являются установление сходимости илн расходимогти данного ряда без вычисления величины его сумм и оценка зависимо< тн остатка ряда г„от номера и (скорость сходимостн ряда). В силу равенства В = Я„+ г„, оценка г„дает оценку по- грешности при замене суммы ряда,з' = " а„частичной суммой ««„. »=1 Перефразируя критерий Коши сходимостн последовательности, получаем Критерий Коши ««ходимости ряда.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
