И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Определение. Рид называется безусловно сходлшимсл, если для любой перестановки Ч!(и) натурального ряда (р есть биекцил 1Ч на !Ч) ряд ~~! а„,1„! сходится. «=! ОЭ Теорема. Ряд ~ а„сходится безусловно тогда и только ««! тогда, когда он сходится абсолютно. Теорема. При любой перестановке абсолютно сходящегося ряда сумма полученного ряда равна сумме исходного. Часто используется краткая формулировка этой теоремы: сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов.
Такая формулировка удобна, если речь идет о сумме некоторого счетного множества чисел, нумерация которого еще не установлена нли устанавливается произвольно. В силу вышесказанного, для числовых рядов принято вместо термина «неабсолютная сходимость«испольэовать термин "условная сходимость". «« Теорема Римана. Если ряд ~~! а«с действительными ««! членами сходится условно, то для любой точки А расширенной числовой прямой найдется такая перестановка натурального ряда !е(п), что для последовательности Я„частичных сумм ряда ') ае(«! имеем; 1пп э« = А. «->с« 1=1 Пример 17. Рассмотрим ряд ( !)«+! 1 — -+- — -+" =~ 2 3 4 ~ и 1 1 1 Последовательность *„= 1 + — + — + + — — 1п и имеет 2 3, и предел.
Обозначим этот предел через ! „, тогда 1 1 '1 !+ — + — + + — — !по+с,+е„, и где 1пн с« = О. Для частичной суммы 5эе четного порядка «~о« ( 1)«+! ряда ~~! отсюда получаем равенство: и «=1 1 ! 1 1 Яэь=! — — +- — — +'' +— 2 3 4 2Й вЂ” 1 2й / 1+ — +-+ + — ) — (!+-+ — + . +-) = 2 3 2й) (, 2 3 й) = ! и 2й + С, + еэе — (1п я + с:,, + ее ) = 1п 2+ еы — сл 1 н, следовательно, 1пп .Ъ, = 1п 2. Так как 52»+! -— 52»+ —, »-ооо 2й+ 1' то 1пп 52»+! = !пп 52» = 1и 2, »-+оо »-ню откуда получаем, что !пп Я„= !и 2, т.
е. «~оо Я =,~ =!п2. ( !)и+1 и=! Сделаем перестановку членов этого ряда таким образом, чтобы за двумя положительными членами шел один отрнцательный, тогда получим ряд !+ + + — — — +...— ~ ~а„, 1 1 1 1 1 7 4 ио! 1 ! ! где озй-2 = —, аз» ! = —, аз» = — —, й Е 14.
Обо4й — 3' 4й — 1' 2й' значим через 5'„частнчные суммы этого ряда, тогда для л2обого натурального л справедлнвы соотношения 1 1 1 5зй-! = 23» + 1 5з»-2 = оз» + 2й' 2й 4й — 1 Следовательно, полученный ряд будет сходнться, если сходятся последовательность (очз») н прн этом справедливо равенство 5 = !пп Я„= !2ш 5зй. и-+со " »~оэ' Так как 1 1 1 ! 1 1 1 1 5зйоо 1+ — — -+ -, + — — — +. + +— 3 2 Ь 7 4 4й — 3 4й — 1 2й !/ ! !'! 1Г ! 1! = !+г+" + — —;~1+к+ + —,(--,~1+-+" +-) = 2 4Й 2~, 2 2яу 2~ 2 йу ! ., 1 = 1п 4»+Со+с!» — г(!и 2Я+С,',, +гз») - -(!и Я+Со+с») = 2 ' 2 3, 1 ' ! ! и 2 + е4» —,— з2» — -е», 2 2 2 21 8 то )йп биз« =- —,)п2. Итак, сумма и перегтавленного ряда «- 2 3 равна — )и 2 и не совпадает г гуммон з' =- )п2 исходного ря- 2 да, Это, как показывает сформулированная выше теорема Римана.
е~ ть гл1дствие неабголютной (угловной) сходимогти )( !)и+! ) данного ряда. Действительно, ряд 7 ~ ~ = ~~! ' — есть и и «и! »и! гармоническии ряд, рагходнмость которого уже была установлена в примере 8. Как указывалось выше, сходимость ряда ~~! (аи + 2Ь„) с ии! комплексными членами эквивалентна одновременной сходимосги двух рядов с,действительными членами; ~ аи и "! Ьи. ии! ии! Из неравенств и+р п+р ! и+у и+р 1+р !а«( + ~ )Ь«(~ < ~~~ )а« + !Ь«) < ~~ )ад! + ~ (Ь«( Ми« «ии «ии «и ~ 1сии в силу критерия Коши следует, что и абсолютная сходимость ряда ~~~ (аи + !Ь„) эквивалентна одновременной абсолютной «и! О Ш сходимогти двух рядов ~ аи и у Ьи г действительными чле- ии! иж! нами.
Приведем несколько примеров анализа абголютной и не- абсолютной сходимогти рядов с комплексными членами. и Пример 18. Ряд»2, сходится абсолютно, так (! .! !)2« «и! ОО и и и как —,, = —, а сходимость ряда ~ -- угтановлена в ((! ! !)2« 2» ' 2.ф»« и=! примере 5. Так «ак и и (! +;)2« 221 и и ~,«~( !)«~!2«+ иу«~( !)2( 2~-! 2 ь=! то нз абсолютной сходнмостн ряда ~, следует схойг (! + !')эп «и! днмость рядов ~~! ап н ~ Ьп, где пп! пп! н Ьи — ~ ( 1) Сз» п т ! Прммер 20.
Рассмотрим ряд ~ —. Так как и пп! 1 — п=4й, и ! — п=4Ь+1, п 1 — — и =4Ь+2, и — — и = 4Ь + 3, Ь Е 1!1, п аи = — ~~! ( — 1) Сз„ Кп! кп! Пример 19. Рассмотрим ряд ( 1)п+!(1+ !+ и!) п(п + 1) Сходнмость (абсолютная сходнмость) этого ряда эквивалентна одновременной сходнмостн (абсолютной сходнмостн) ря( !)п+! "~ ( 1)и+! ( 1)п+! дов У н 1! . Так как ~-' п(п+ 1) ~-' и (п(п+ 1) ( п(п+!) .
у 1 ( !)п+! вряд Ъ сходится (см. примерЗ), торяд 7 п(п+ 1) п(п+1) пп! ип! ( 1)и+1 сходится абсолютно. Ряд T, как показано в приме- и п=! ре 17, сходится условно (неабсолютно). Итак, ряд ( 1)п+!(1+ 3+ и!) п(п+ 1) сходятся условно. то сходнмость (абсолютная сходимость) данного ряда экви- валентна одновременной сходнмости (абсолютной сходимо- сти) радов и = 4/с, ап, где ап = Е 1 н и = 4/с+2, «п! О, и = 2/с+ 1 1 пэ и 6«, где 6„ = и=! и О, и = 4/с+3, и= 26. сходится условно Пример 21. Рассмотрим рлд ~~! ( —,) . '(ак как Ь-,/ ! 1 + .(п 2п/2 пп! — — — = 1, то данный ряд расходитсся -- для не- ! ~ 2п/2 Следствие 3 утверждения о группировке членов ряда (см.
сгр. 17) говорит, что сходимость ряда ~ ап эквивалентна ц» пп! сп сходимости ряда Чс —, а сходимость ряда ~ 6« эквива- 26 »и! пс ( «п! лентна сходимости ряда у . Сходимость рядов „'- 2/с — 1 1)» ~ ( 1)» чс — и тс — устанавливается так же, как и схо- 26 „с-; 26 — 1 ( 1)п с-! и димость ряда 7 в примере 17. Итак, рлд '5 п и пп! ~п! сходится. Ряд же ту — '~ = ту — расходится -- это гар. п~ и пп! пп! с х сп монический ряд (см. пример 8). Следовательно, ряд у п и=! го не выполнено необходимое условие сходимости. Так как .1и /и и Ии Ьи! ь=! то, следовательно, расходится, по краинеи мере, один нз ря СО дов ) аи, где аи = — ~~(-1) Сг„~, нли ~ ~Ьи, где Ь„= гь ии! ьи! ии1 = —,'„Е(-~)" ~:~."-' Поскольку нз абсолютной сходимости ряда следует его сходимость, начнем с изучения исследования сходимости рядов, члены которых действительные неотрицательные числа.
Заметим еще, что для ряда, члены которого, начиная с некоторого номера, не меняют знака, сходнмость эквивалентна абсолютной сходимостн. Все дальнейшие утверждения относятся только к действительным последовательно< тям (аи), поскольку в этих утверждениях явно или неявно используются условия, содержащие неравенства.
Ряды с иеотрицатеэгьиыми члеиами Если все члены ряда ~ аи неотрицательны, то последоии! вательность (Яь) его частичных сумм не убывает. Для неубывающей последовательности ее сходнмость и ограниченность эквивалентны. Поэтому длн рядов с неотрицательными членами -- н только для них! — вместо слов иряд сходитсяи и иряд расходится" употребляют соответственно символы Е- а„< +со и ~ аи = +ею. и=! ии1 СО Теорема сравнения. Пусть даны два ряда А: ~ аи, 00 ии! аи>0 Чпбй, и В: ~~! Ьи, Ьи>0 Упб!!!. Если аи > Ь„Уп б !!!, ии! то из сходимостн ряда А следует сходимость ряда В, из расходимости ряда В следует расходимость ряда А.
Следствие 1. Еглн и«> О, 6«> О <и б И и а« = 0(6«) при и -< оо, то из гходнмости ряда ~~< 6«следует сходимость «! ряда ~ а«. «=! Следствие 2. Если а«> О, Ь«> О <<и б И и а«Ь« при и -+ оо, то ряды ~~< а«и ) 6«сходятся или расходятся «=! ««! одновременно Внимание! Если в ходе анализа ряда ~ а«, а« > О, полу««! чена оценка а« ( 6«, или а« = 0(6«), и -! оо, или а« <« о(6„).
и -+ оо, где ряд ~) 6„ расходится,то такие оценки не дают ««! «о возможногти сказать, <'ходичтя или рагходнтся ряд ~~< а«- ««! они не информативны в вопросе о гходимогти ряда ~ а«. ««! Пугть (а«) и (Ь«) - — неотрицательные б< скопгчно малые погледовательности, '1огда из теоремы сравнения получаем следующие утверждения. Если а«и 6«бесконечно малые одного порядка, т, е.
а« = 0(Ь«) и Ь« = 0(а,) при и -+ го, то ряды ) а«и ~ 6„ ««! сходятся или расходится одновременно. Если последовательность (а«) стремичтя к нулю быстрее последовательности (Ь«),т. е.а« = о(Ь«) прн и -< оо,то из гходимогтн ряда ~ ~6« следует гходимость ряда ~~< и«, а из ««! ««! расходимости ряда ~ п«гледугт рагходимоггь ряда ~ ~6«. ««! «=! Таким образом, сходимость ряда г неотрицательными членами связана го скоростью стремления к нулю его членов К сожалению, не существует такой "граничной" последовательности (и«), о«> О Чп б И, (<<п а« = О, для которой «-<«« все ряды, члены которых стремятся к нулю быстрее, чем а«, сходятся, а все ряды, члены которых стремятся к нулю мед- леннее, чем а«, расходятся (см, задачи 9, 11, 13 и вывод нз них, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
