И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 4
Текст из файла (страница 4)
314) Сама формулировка теоремы сравнения показывает, что для ее применения необходимо наличие достаточно широко- го запаса "эталонных" рядов, сходимость или расходимость которых известна. Ряд ~ д«сходится при О < д < 1 и расходится при ««1 4 > 1. Используя такой ряд, из теоремы сравнения можно вывести: Призван Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами ~ а«, а«> О Чп Е Л, тогда «=1 — а«».! если !нп —, = 4 < 1, то ряд сходится, -+ а« ' и«».! а«е! если — > 1 Чп Е р1, в частности, если 1пп — = 4!> 1, а« «-ьео е« то ряд расходится. На практике, в основном, применяется более слабое услоа«е! вие: если все члены ряда ~ а«положительны и 1пп — =9, «а« ««! то ряд сходится при д < 1 и расходится прн д > 1. Признак Коши (раднкальнын).
Пусть дан ряд с не- отрицательными членами: ~~! а«, а > О Уп Е 14. Тогда ««1 если 1нп (/л„< 1, то ряд сходится, «-«о« если 1пп (/е„> 1, то ряд расходится. «-«аа На практике, в основном, применяется более слабое усло- вие: если все члены ряда ~ а«положительны и 1пп (уа„=д «-+«э «=! то ряд сходится при 4 < 1 и расходится при д > 1. В теории последовательностей доказывается, что для по- следовательности (а«) с положительными членами иэ суще- аа.~.
1 ствоеания предела !пп — следует сущеггвование предела и-+си (пп ~/а„и равенство этих пределов. Следовательно, если для е->со ряда с положительными членами выполннется одно из условий признака Даламбера, то обязательно выполняется и соответствующее условие признака Коши.
Но на практике отношеа„+1 ние — часто аналитически проще, чем радикал с переменап ным показателем,",/а„, поэтому проще применить признак Даламбера. В то же время область применения признака Коши шире, чем область применения признака Даламбера. В частности, для выполнения каждого из условий признака Даламбера необходима монотонность последовательности (а„), а условия признака Коши не требуют сравнения друг с другом соседних членон последовательности (а„). Приведем характерные примеры исследования рядов признаками Даламбера и Коши. 2" + пз Пример 22.
Рассмотрим ряд 7 . Для членов этого ряда имеем: д~.1 ~х а„+, 2"+' -1- (и -ь !)з 3" 4- и !2+ з" ) (! + з.) а„3"+' + (и + 1) 2" + цз (!+ пф3) (! ! гР) + з. а„+1 2 откуда легко получаются оба равенггва. !пп —. = —, и '2 -+о «„3 1!щ,",/а„= —. 3 Итак, данный ряд достаточно просто анализируется как признаком Даламбера, так и признаком Коши. ч (и!) Пример 23. Рассмотрим ряд лз —,. Для этого ряда ~ (2п)! (и!) ° исследование последовательности (/а» = „существен[(2п)!]й аа ы (п з- 1)з но сложнее, чем последовательности — = а„ (2 + 2п)(2п + 1) Так как 1пп — = — < 1, а„+1 ! -+» а„4 то в силу признака Даламбера данный ряд сходится. Замечание.
В теории последовательностей доказывается неравенство ~ — ) < и! < е ~ — ), откуда следует, что (и!) е — е'+ Х л 3 1 'з ((2п)1) Й з," 4 гехз и, следовательно, 1пп фае < ~-~ < 1, Таким образом, а-~сю " 4 данный ряд можно было исследовать и с помощью признака Коши, но при этом пришлось бы испольэовать более сложные соотношения.
ФЭ и е-1 Пример 24. Рассмотрим ряд ~ По, (2пз+ + 1) + скольку члены ряда аналитически записаны в виде степени с переменным показателем, то следует ожидать, что исследование последовательности;,/а„будет проще, чем последоваае+1 тельности —. Действительно, вычисление а„ а„е~ . (и+ 1)"(2пз+и+ 1)+' 1пп — 1пп ан " » и -'(2пз+бп+4)ЯГ- явно громоздко и проводить его не будем. Применим для анализа данного ряда признак Коши: так как а и-и «/а»вЂ” (2+-'+ !ч) з!~ и пз~ 1 то 1'пп фае = — < 1, следовательно, данный ряд сходится. и-+со Д / 2+( — 1)" Пример 2$. Рассмотрим ряд ~~~ ~, ) .
Пока- ~5+ ( — 1)" +') и=! жем, что признак Даламбера непригоден для анализа этого ряда. Так как аи+! ! 2+ ( — 1)"+' ! 1 5+ ( 1)и+э / 3" +' 6" 1 !'9'! "+ 4и+1 1» 6 (,4,/ 1 "+' 4" 1 4 2.!. ( 1)и и = 2й — 1, сходится при и > О и расходится при а < О. Оценим скорость 1 1 стремления к нулю последовательности (а„), а„= —— пе (и+1)е' — а„е1 аи+1 то !пп — = +со и !пп — = О < 1.
Таким образом, и-ооо а, и-воо аи ни то условие признака Даламбера, иэ которого следует схо- димость исследуемого ряда, ни то, из которого следует его расходимость, не имеют места. Попробуем применить признак Коши. Из равенства 1/а„= 2+ (-1)" — 3 , получаем, что !пп О/а„= — < 1. Следова- 5+ ( — 1)"+' и оо " 4 тельно, в силу признака Коши, данный ряд сходится. Итак, вопрос — - каким из признаков — Даламбера или Коши исследовать данный ряд ~~~ а„решается в зависимоии1 сти от конкретного вида последовательности (а„).
Однако, поскольку оба эти признака основаны на сравнении иссле- дуемого ряда с геометрической прогрессией, то ни тот, ни другой не дают ответа на вопрос о поведении ряда ~ а„, ии1 члены которого стремятся к нулю медленнее, чем последо- вательносгь вида (у"), О < а < 1. Для таких рядов нужна другая эталонная шкала, Выделим новую серию эталонных рядов, используя ре- зультат примера 2.
В этом примере было показано, что ряд при 4! ф О. Имеем — — — — 1 — 1+— В силу следствия 2 теоремы сравнения (см. стр. 27) получаем, ! что ряд Ъ вЂ” сходится при р = 4! + ! > 1 и расходится при пг »=1 р < 1; если же р = 1, то перед нами гармонический ряд, расходнмость которого установлена в примере 8, Отсюда следует Признак сравнения. Если для последовательности положительных чисел (а„) существуют такие числа р и С > О, что а„—, П -4 аО, пг то ряд ~~ а» сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1.
»=! 4» Сравнением стем же рядом Ъ вЂ” получается »=! Признак Гаусса. Если а„> О н существует такое число е>О,что о»+! 14 4 ! — = ! + — + О ( — ), и -+ оз, 0 и и+' (2) 31 то ряд ~~4 а„сходится, если р < — 1, и расходится, если »=! и>-! Заметим, что условие признака Гаусса часто формулиа» руется для обрагного отношения —. Приведенная здесь а»а! формулировка подчеркивает связь признаков Гаусса н Даламбера. Оба зтн признака основаны на анализе отношення —. Признак Даламбера рассматривает тот случай, а„е! когда это отношение отделено от единицы < низу или сверху, и сравнивает последовательность (а„) с геометрической прогрессией.
Признак Гаусса рассматривает тот случай, ка- пе+1 гда 1пп — = 1, н сравнивает последовательность )а„) г «-~с а„ последовательностью )п "). Вопрос — каким иэ признаков -- сравнения или!'аусса— исследовать данный ряд ~ а„решается в зависимости от и=! того, какое нз представлений 11) или (2) легче получить. В ап.~.1 частности, если а„или отношение — являются дос гаточно а» гладкими функциями от и, необходимое представление получается применением формулы Тейлора. Рассмотрим характерные примеры. 1 я Пример 26. Рассмотрим ряд 7 — з!и —.
ве г =! я Так как а„—, п -+ оз, то этот ряд сходится прн пя ы р > О и расходится при р ( О в силу признака сходнмости. Пример 2Т. Рассмотрим ряд — — !и ! п+1 Для последовательности )а„), а„= — — — ~(! и —, как от- ~/и и ношение —, так и радикал ~/а„имеют достаточно слож- а„ ный внд. Выделим главную чжть переменной а„следующими преобразованиями: 1 а» = ,/и — + Π—, и -+ со. 1 Итак, е„- —, и -е +оо, следовательно, в силу признака 4п~ сравнения ряд ~ а„ сходится. «=1 Пример 28.
Рассмотрим ряд х 1 4х+.х~ р —, р>0, 4>0, г>0. 2 «=1 1 3 х Чх+г Для последовательности (а„1, а„= р —, как от- 2 ли+! ношение —, так и радикал,",/а„имеют достаточно сложае ' ный вид. Для того, чтобы выделить главную часть переменной а„, запишем а„ в виде а„= 1+ — — — 1+ — + 1+ — + О 1 /11 = — ~2 1и р — 1и 4 — 1и г~ + О ~ — ) = 2п '!,из) = — 1п~ +Π—, и- 11 рх Переменная — 11и — является главной частью а„при 2о ~ 4г1 2 и -ч сю, если 1и — ф О, т. е. р ~,Яг. При этом услодг з вии а„— — !1и —, п -! оо, н в силу признака сравнения 2п~ 4г' /1! ряд ~ а„расходится.
Если же р = ../4г, то а„= О ~ — ), п л=! ОЭ и -! со. Поскольку ряд э — сходится, то в силу следхю п2 «=! гтвия 1 из теоремы сравнения получаем, что в этом случае 00 1 у +г ряд ~ а„сходится. Так как р — = а„, если р > дг. «=! '!" +г" з и ря — — = — а„, если р < дг, то данный ряд сходится, 2 если р = ег, н расходится, если р ф ег. г Заметим, что формула Тейлора позволяет получать точ- А А д +г ную величину константы О в равенстве а„= р 2 1 С вЂ”, р = ег, и -+ со, Но следствие ! теоремы сравнения пз позволяет обойтись без этой величины, что часто упрощает ход решения.
и!е" Пример 29. Рассмотрим ряд р —. В формулу обо" +р р=! щего члена входит функция»!. В таком случае естественно а„+! (и+ 1)!е.+'и.+Р рассмотреть отношение — = . Так как и (и + ])а+Р+!и!еп ' — = е 1 + — = 1+ - — — р +Π—, и -+ оо, 3 3 то данный ряд сходится при р > — и расходится при р (— 2 2 в силу признака Гаусса. Пример 30.
Рассмотрим ряд (2 — я)(2 — !1~)(2 — д1)... (2 — е ). е > О. пм! Прежде всего заметим, что если 9 = 2, и! б !"(, то, начиная с некоторого номера, все члены данного ряда обращаются в нуль, следовательно, ряд сходится. Если же е не является целой степенью двух, то, начиная с некоторого номера, все члены данного ряда не меняют знака. Поскольку он+! = (2 — д)(2 — дэ)...(2 — е )(2-!! Ф!) = а„(2-е ~т), аи+! то естественно рассматривать отношение — = 2 — д "+', !ьз !и! /1 ! е ф 2, гп б !!!.
Так как 2 — !! "+ = ! — — +О ~ — ), и -г оо, и '(,пз) то данный ряд сходится прн 1в е > 1 в расходится при 1пе < 1 в силу признака Гаусса. Окончательно получаем, что данный ряд сходится при е = 2 и е > е, а расходится при 0 < д < 2 и 2 < е < е. Две основные элементарные функции — показательная е« н логарифмическая 1и* — - при я -~ +со не являются бесконечно большими степенного порядка, т. е, для любого а > 0 имеем соотношения я« = о(с*) и!пл = о(я'), я -~ +со. Поэтому ряды, в формулу общего члена которых входят эти функции с бесконечно большим прн и -! +со аргументом, не анализируются с помощью прнзнака сравнения.
Однако, иногда возможно получить оценку общего члена такого ряда через степенную функцию и, пользуясь теоремой сравнения, сделать вывод о поведении этого ряда. Пример 31. Рассмотрим ряд ~~! пзе ~«. Так как ««1 1'пп (/пзе !~« = !пп и е А" = 1, то ни радикальный признак Коши, ни, тем более, признак Даламбера не решают вопрос о сходимости этого ряда. Функция е ~ пря и -+ оо убывает быстрее, чем любая отрицательная степень показателя 4п, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
