И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. е ~ = о(п «) 1 при и -е со (а > 0). Если ае > 6, то ряд ~~! —,„сходнт„, пч ся."В силу теоремы сравнения отсюда делаем вывод, что ряд ганзе !'" сходится. «=1 Заметим, что оценка пзе !'" = о(пз +) верна и для 0 < ао < 6, но, как указывалось выше, такая оценка не информативна в вопросе о сходимости ряда ~ п~е ун, поскольку С« ««1 ряд Ъ з, ае < 3, расходится. с г п2-«о ' ««! С« «-~ 1пп Пример 32. Рас!.мотрим ряд ~ —, е > О.
Из неравен- 2.г пе ««! 55 !пи 1 ства — > †, и > 3,>! > О, в силу теоремы сравнения слепе ие дует, что данный ряд расходится при О < >! < 1. Пусть ! > 1. Так как (п и = о(и') при и — ! оэ для лк>бого а > О, то для ка(ни 1 ждого а > О найдется номер >!/(а), такой, что — < — для и>> ич а всех и > Л((а).
Чтобы из этого неравенства сделать вывод о ! ходимости рассматриваемого ряда, необходима сходимость 1 ряда ~~ —, а для этого, в свою очередь, необходимо услог ~~яд — а' и=! вие а — а > 1. Итак, для каждого фиксированного !1 > 1 берем а — 1 зависящее от д значение а = —, тогда для всех и > Ф(а) 2 (пи 1 справедливо неравенство — < —,, откуда в силу теоремы ие и*4' ' ч !пи сравнения сделаем вывод, что ряд ~ — сходится.
Окончаие »=! тельный результат таков: данный ряд сходится, если а > 1, и расходится, если О < а < 1. Поскольку и признак сравнения, и признак Гаусса основаны на сравнении членов исследуемого ряда с последова- ( 1 \ тельностью вида ~ †),то ни тот, ни другой не дают оч- ~иР) вета на вопрос о поведении ряда, члены которого стремятся 1 1 к нулю быстрее, чем —, но медленнее, чем — для любоп и!+! 1 го е > О. Рассмотрим, например, ряд Р .
Так как '-~ и1пи — = о ( -), но — = о ~ ) при и -+ оо для любого и1п и ~,и) ' и'+' ! и!п и) е > О, то признак сравнения не решает вопрос о поведении этого ряда. )очно так же отношение (и+1) !п(и+1) 1 1 (1 1 — 1 (и + 2) !п(и + 2) и и !п(и + 2) \,,и' / ' не представляется в виде (2). Итак, данный ряд не анализи- . (1'! руется сравнением со шкалой ~ — ). ~ иР ) Интегральный признак Коши. Если/: [1, +ос) — Р й— Зб неотрицательная, невозрастающая, непрерывная функция, то ряд 1) Дп) сходится илн расходится одновременно с интеии) + ОО ° л ) Х(*)л*: л л2,1() ° 1 ии1 +оо +ОО /(л)(2л < ги < / Дх)(!л, и-1 где ги оо ~ у(/с). Иии+1 1 Пример ЗЗ. Рассмотрим ряд у Р, р > О.
Так как ~- 1пп ВО2 У'!'1 1 / 1 0( — /, р > О, ио = о,, р > О, для н1н' и 1,п,/ и'+' 1,п!и" и,) ' любого г > 0 при и -1 оо, то признак сравнения не решает вопрос о поведении этого ряда Не должен давать ответ на этот вопрос и признак Гаусса; действительно, отношение (и + 1))пР(п + 1) 1 1 ( 1 л) = 1 — —— + Π— не пред(о+2)!пР(я+2) и рп!п(я+2) 1,п2/ ставляетгя в виде (2). 1 Положим у(л) = —, л > 2. Функция Дл) удовлетвол (пР л рвет всем условиям интегрального признака Коши. Так как 1 интеграл р (1л сходится при р > 1'и расходится при у т.!пе.с 1 р < 1, то ряд ~ сходится при р > 1 и расходится 2.~ „!нР„ ии2 СО при р !.
Таким образом, мы выяснили, что ряд 7 ~-~ и1пп ии2 расходится ! Пример 34. Найти сумму ряда 2 — с точноггью до 10 пи и=) Решение..'Задача поставлена корректно, так как данный ряд сходится. В силу интегрального признака Коши получа- ем, что !и — В В» ~~ ! ал 1 з4 3(и — 1)з' и — 1 Е 1 — с заданном по»4 п«1 Следовательно, для вычисления В = грешностью достаточно взять сумму 1 1 1 1 ! Ве=1+ — + — + — + — + — + 24 34 44 54 64 1 1 1 " " " 3,7з 3,343 10з 1 1 — +— 74 84' Рады с членами произвольного знака Признак Абеля. Пусть дан ряд ~! а»6«. Если последо- ««1 Ои вательность (ап) монотонна н ограничена, а ряд ~~! 6« схо- ОО пи! дится,то ряд ~~! а«6« сходится.
пп! ОЭ Признак Днрнхле. Пусть дан ряд ~~! а«6«. Если поп »=1 СЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ (Вп), Вп = ~~! 6», ОГраНИЧЕНа, а ПОСЛЕдана»=1 ОЭ тельность (ап) монотонно стремится к нулю, то ряд ~~! а«6« п«1 †, и -1 оо,то ряд Ъ и — !пи и '-' ! и — 1п и ) '-' и — !и и «=1 ««1 сходится. Следствие (признак Лейбница). Если посл»цовательность положительных чисел (ап) монотонно стремится к нулю. то ряд ~~! ( — 1)п ап сходится и его остаток ги удовлепи! творяет неравенству !г„! < а«+1.
( !)и+! Пример Зб. Рассмотрим ряд у . Так как ап = йи и — !пи пп! расходится. Итак, если данный ряд сходится, то он сходится условно. Последовательность (а„) положительна и стремит- 1 ся к нулю при и -г оо. Так как (х — !пх) = 1 — — > О, х х > 1, то зта последовательность монотонна. Итак, данный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и, следовательно, сходится условно. «+, 1п(п + 1) Пример 36.
Рассмотрим ряд ~ ( — 1)«+' агс!я Так как !п(и + 1) < з/и + 1 для и > 2, то 1п(и+ 1) 1п(и+ 1) 1 О < агс!я « †-г, и > 2. Из этого неравенства в силу признака сравнения следует, что !п(и+ 1) ряд его!к сходится, следовательно, данный ряд (и+ 1)2 сходится абсолютно. ОЭ а „и~о г дэ» Пример 37. Рассмотрим ряд ') ( — 1) ~сов -), При и ««! а! а любом а для достаточно больших и имеем, что ~сов — ~ = сов —. п~ и ОО «г д « Для исследования сходимости ряда (сов — ~ используем «=! радикальный признак Коши. Так как э(а 1.зад г 3 1пп и (сов — — 11 = — 1пп п .— = — —, »-ню ~ г! ) «~с» 2г$г 2 ' то 1пп " (сое — ) = !пп е«!-"(~ ~й) = »+ ! п »-»сю Нт»'(см«-!) г = е" =г ! »» »~ д» Следовательно, ряд (сов -~ сходится при а ф О.
Если же и! ««1 дэ« а = О, то (сое-) = 1 для всех и Е 1Ч,т. е. не выполнен не- и э!е+,1, а Х и' обходимый признак сходимости и ряд ~( — 1) 1 ~сое -) и пп! расходится. Итак, данный рлд абсолютно сходится прн а ~ 0 и расходится при а = О. ( !)п+! Пример 38. Рассмотрим ряд У ск Так как 4ип пп! и -+ оо, то данный ряд сходнтсе абсолютно при д > 1. Так ( — 1)+л +! и как Фк = ( — 1)!п+ ! !к — и положительная после4ич 4ич довательность 1к — (4 > О) монотонно стремится к нулю 4ие при и -+ оэ, то в силу признака .Пейбница данный рлд сходвтсв условно при 0 < 4 < 1, Если же 4 < О, то данный ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие гходимости. ап+! Замечание.
Условии — > ! и 1!гп ~/ап > 1 расходимоап сти рида соответственно в признаках Даламбера н Коши, как это видно из их доказательств, ивляютсл условиями нарушения необходимого условия сходимости ряда. Поэтому, если рлд ~ )а„! удовлетворяет этим условилм, то не только он, и=! но и ряд ! ап расходится,так как последовательность (ап) пп! не являетсл бесконечно малой при и -+ со. с-и 4 и! Пример 39. Рассмотрим ряд у —. Начнем с исслеИп пп! ) (п дования абсолютной сходимости. Пу<!гь ап = -, тогда ип а +! 141(и+ 1)ип 14) Если !ф < е, то в силу ап (и+ 1)пь' (1+ -') п а„п! 14) неравенства !пп — = — < ! признак Даламбера показы-+ ап е вает, что данный ряд сходится абсолютно.
Бели ) 4)) е, то дди любого натурального и верно неравенство а +1 !ч) п >1, ап (1 + 1) следовательно, в силу сделанного выше замечания данный ряд расходится. ( 1)п+1Ип+й Пример 40. Рассмотрим ряд ~ —, „, д > О. ««1 ~ и Начнем с исследования абсолютной сходимости. Так как 1 ип+ и'+ х 1 —,, то !цп фа„) = —. В силу радн(4и+ -') 4и+ -„' -" Ч кального признака Коши данный ряд сходится абсолютно при д > 1 и в силу сделанного выше замечания расходится при 0 < е < 1.
Осталось выяснить поведение данного ряда при д = 1, поскольку радикальный признак Коши не дает в этом случае определенного ответа. Рассмотрим поведение послеип+ й довательности )а„~ =, п при и -+ оо. Из соотношеи+1 и - п!п(1+ ЗГ ) ( 1! ! ний )ап) = „= и е ( ') ни!в~1+в и -+ со, следует, что !пп )а„) = 1. Итак, последователь«-пии ность (ап) не ЯвлЯетсЯ бесконечно малой пРи и — 1 оз и, слеДовательно, РЯД ~~1 ап РасхоДитсЯ. ОбьеДнЯЯЯ все сказанное, «и1 получаем, что данный ряд абсолютно сходится при д > 1 и расходится при 4 < 1.
Абсолютная сходимость ряда, как уже говорилось при рассмотрении рядов с неотрицательными членами, обусловливается скоростью стремления членов ряда к нулю. Это хорошо видно в формулировке критерия Коши: при условии, что все и+р <жагаемые неотрицательны, малость суммы ~оп требует лип малости каждого из слагаемых, Если же слагаемые имеют «+р разные знаки, то малость суммы ~ аь может быть обязана пе малости каждого слагаемого, а взаимной интерференции положительных и отрицательных слагаемых.
Перестановка членов ряда меняет порядок этой интерференции — в этом суть теоремы Римана. ,')тот факт позволяет ожидать, что условие ап Ьп, и -+ оо, не гарантирует одновременную сходимость или расходимость рядов ~ еп и ~ ~Ьп, если чипп! п«1 ела ап (следовательно, и Ь„) меняют знак. Покажем, что это действительно так. /( 1)п+! Пример 41. Рассмотрим ряд ~~! ~ + — (. Ряд ~/Н! П( Е ~- ( !)и+! сходится в силу признака Лейбница, гармониче,/й пп! ! ский ряд ~ — расходится, следовательно, данный ряд раско,п 1)п+! ! ( 1)«+! дится.
В то же время + —, и -+ со. Итак, ,/и и ~/и! последовательность членов данного расходящего~я рядаэквивалентна последовательности членов сходящегося ряда. Внимание! Делать вывод о сходнмогти или расходимости ряда ~~! ап по поведению ряда ~ 6«, где ап Ьп, и -+ оо, п«1 «и! возможно только для рядов с неотрицательными членами! Тот же эффект интерференции положительных и отрицательных слагаемых лежит в основе признаков Абеля и Дирихле. Хотя в отличие от признака Лейбница в формулировках этих признаков формально не указано, что рассматриваемые ряды имеют члены разных знаков, но область их применения — именно такие ряды.
Действительно, в силу условия монотонности члены последовательности (ап) в обоих этих признаках могут беэ ограничения общности считаться положительными. Если и члены по!ледовательности (6«) неотрии цательны, то ограниченность последователы!о!ти Вп = ) Ьь и Ьп! и сходимость ряда ~~~ 6« эквивалентны, а так как при этом «и! 42 о„Ь„= 0(Ь„), п -+ оо, то сходнмость ряда ~~( а„Ь„следу«=1 ет просто из признака сравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
