И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ряд У а„схо»»! днтся тогда и только тогда, когда для любого положительного числа е найдется такой номер Ф = «'«'(е), что для любых натуральных чисел р и и, и > Ф(е), справедливо неравенство »+«« аь <г. ь»» Приведем формальную запись критерия Коши сходимости ряда: а„сходит«я с=.з ««г > 0 зУ(г) Е И: »=! »+р ««рс И, '««и б И, «! > Ф(е),==ь ~~ аь < с. ««»» Заметим, что, как и при анализе последовательностей, критерий Коши редко применяется для доказательства сходимости конкретного ряда из-за технических трудностей.
Область применения критерия Коши — как правило, или утверждения, в которых нз гходимости одного ряда выводится сходимость другого, или установление расходимостн ряда. Пример 7. Покажем, пользуясь критерием Коши, что всякая бесконечная десятичная дробь О,а«азаз...а„... х а«« у —, 0 < а„< 9, и е И, определяет действительное 10» ' »=! а» число о, т. е. ряд у — сходится. 10" »=1 Возьмем произвольное натуральное число и н оценим сум««+«« ч ае му у —, при любом р Е И. В силу условия 0 < аь < 9 ««=» получаем, что ~не ~ 1 1 < 1 1<< О<~,— " <Ч,-- ~!+ + + !О 1Оь-' 1О»- ~ И1 1О ) л»» ь»» < <о Ф вЂ” ( 10»-<' 1 < 1О -<' Го Для произвольного положительного числа е положим Л<', = 211 = и<ах 1, !и -~ ) + 2, тогда из полученной оценки следует, е что для любых натуральных р и п, п > Л<',, имеем: ~аь 2 2 И1ь ( 10 -< ( !ОХ,=< ( е М»» ч Итак, в силу критерия Коши ряд ~ —, О ( а„( <1, <.ходит- 2-!О - ™-' »»< ся.
1 1 ~ 1 Пример 8. Ряд 1+ —, + г + . 1- — +. =- 7 — назь<вается 2 3 п ~- и »»< гармоническим рядом. Пользуясь критерием Коши, покажем, что гармонический ряд расходит< я. <!ля зтого надо указать такое число ео > О, что для любого номера Л<' и некоторой пары натуральных »ер чисел р и и, и > Л<, имеет ме<.то неравенство ~~ — > еа, х ь ь=» Возьмем произвольное натуральное чн<ло и. Тогда 1 1 1 1 и 1 7 -=-+ — -+ "+ — > —," — --,.
~-~ 1< и и+1 2п 2п 2 ь»» 1 Таким образом, для ео —— —, и произвольного номера Л<< найде- 2 ны натуральные числа и = Л< -Ф 1 > Л< и р = и, длн которых 1 1 У вЂ” >; = еа, что н требовалогь установить. Следонатель- ~.~ я 2 и»» < но, гармоничегкий ряд ~~< — ра< ходится. и »=< 1О Из критерия Коши непосредственно следует Необходи!мое условие сходимости ряда.
Если ряд Й. ап сходится, то )пп ап = О. и-э ос пп! Гармонический ряд является примером расходящегося ряда, для которого 1пп ап = О. Следовательно, условие о-эсо (пп ап = О недостаточно для сходнмости ряда. и-э со Пример 9. Ряд ~~~ э!по расходится, так как погледовапп! тельность (ээп и) не является бесконечно малой (зта последовательность не имеет предела)' ) Пример 10. Как было показано (см. пример 2) ряд А: 1-1+1 — !+1 — 1+ =~~ ( — 1)" «и! расходится Рассмотрим ряд В: (1 — 1) + (1 — !) + (1 — 1) + .
+ (1 — 1) + . Если в ряде В опустить (раскрыть) скобки, не производи сложении внутри ннх, то ряд В превратится в ряд А. В таких случаях принято говорить, что ряд В получен группировкой членов ряда А. Если жг сделать сложение внутри скобок ряда В,то получим, что о В. О+О+О+ +О+' ..= ~ О по! Вге частичные суммы Вэ этого ряда равны нулю, следова- тельно, рнд В сходитсн и гго сумма равна нулю. '!Пусть пэ = 12ек), Ь б Й, тогда 2ял < пэ + ! < 2ее + 1 и, следовательно, мп(пэ + 2) — мп пэ = 2мп1 соэ(пэ + 1) > 2 э!п! соя! = ип 2.
таким образом, для е и эш 2 и любого числа М найдутся натуральные числа к!, > М и р = 2 такие, что)мп(пэ+ 2) — Пппэ! > э, следовательно, в снлу кри'серия Коши последовательность еп — — мп и не имеет предела. 11 Итак, группировка членов ряда может превратить расходящийся рнд в сходнщийсн..)то утверл денис Гзыло доказано на примере ряда ~ ( — 1)", не удовлетворяющего неоГи<оди° <=< мому признаку сходимости -- последовательность (( — 1)и ) его членов не являетсн бесконечно малои. Покажем, что группировка членов мож< т превратить расходящийся рнд в сходящий<.я и в том случае, когда по<.лсдоват< льно<ть члешав ряда является бесконечно малой Пример 11.
Рял 1 1 1 1 Л. 1 — 1+ —,+и — —,—;й 2 2 2 2 ! 1 ! + — + — + .+ —— и и и и !а<аз ! ! 1 1 и и и <а+1 н 1аа.а расхояитсн. Доа<аажсм»т<а, пользуясь критерием Коши. <1<й<та<ит< льни. Ллн ли<6< го натурального <а< с<миг тнуиап таки< натуральныс числа и > <Ч и р, что ! ! 1 <аи а. а:., <аи е а:,..., оп+а !а' р !а и+а следовательно, ~ ~а„= 1.
У<'ливне Коши не выполнено, л=» <-а по:атому рнд Л расходит<.н Рассмотрим рнд — — + .+ полученный группировкой членов ряда И. Поскольку каждый член ряда В ранен нулю, то ряд Г1 сходится и его сумма равна нулю. Проанализируем проблему группировки членов ряда н об- щем виде. Пусть дан ряд ~~с а«, Сгруппировать члены этого пн! со Оо ряда — зтозначит вместо ряда ! аи рассмотреть ряд ~А», «с — 1 и«1 1с=! где А» = ~~с а«, 1 = пе < и, < пз < ...
< я» < ..., т. е. нн«с-с А» для каждого й есть сумма я-ой группы !скобки) членов ряда, Пусть .Ч'„— частичные суммы ряда ~ а«и Я, — чанс п«1 стичные суммы ряда ~~с А». Для конечных сумм раскрытие »«1 скобок законно, следовательно, бн» = А1+ Аг + .. + А» = н,— 1 пс — 1 пс,— 1 а«+ ~~с а«+ . + ~~с а« и«1 оп с попс + О*сс-1 = Эпс-1, = а!+ аз+ рядов это означает, что если сходится ряд ~~с А», то !с«1 а«может и расходится, это и показывают примеры 1О Для оо ряд ~~с «н! и 11.
13 т е. последовательность эн» есть подпоследовательность по- следовательности .э'„, именно, и» = Ь'„„ Из теории пределов последовательностей известны следу- ю!ние утверждения: Если сходится последовательность ои, то последова- тельнос:ть эн, ! сходится и 11и! з'„= !пп э'„, н-с с»-со» ос Для рядов:это означает.
что если сходится ряд ~~с а«, то с п«1 сходится и ряд ~~с Л» и суммы обоих рядов равны. »н! 2. Сходимость последовательности 5н, 1, вообще говоря, не влечет < ходимости последовательности .э'„. Утверждение. Пусть дан ряд ~~с аи, Пусть далее ии! ис-! Ак = ~ аи, ! = пц < и! < пз < ... < пр < и ряд р Аь сходится. Тогда для того чтобы сходился ряд /с=! Й.
аи, необходимо и достаточно, чтобы ип! с (...(/ ~,,„/, „,, с.с„, — !)) =с сипис Докажем зто утверждение, используя критерий Коши. Для произвольного числа л > О в силу условия найдутгя натуральные числа К н О, такие, что для всех натуральных я > Е н для всех натуральных р и д > Ч. Для натуральных и > ! и р положим йе = гпах(й: и > пь~ и й! — — тах1к: и+ р > пл), тогда йе < й!. Используя зти обозначения, запишем пс -1 с и-! р+и и+р апс ~' лсп + Л~~ псп сип»п, псп'ссс сппис и — ! р+п !с! — АЛ вЂ” ~ оси+ ~~ а,„. лпьс+! испи!, пспис, Так как из определения йе и й! следует, что пь, < и < пк,+! и пь, < и+р< пу„е!,то Положим Ф = !пах(пк, по).
'1 огда, если и > М, то яе+ 1 > Я и я! + 1 > йе + 1 > К, следовательно, в силу определения К и !и! получаем, что Итак, ряд ~ аи удовлетворяет условиям критерия Коши и, »и! следовательйо, сходится. С другой стороны, если ряд ~~! аи сходится, то условие и ~и! ° - ~ у; ..~=о .,у. /с-иии ир 1<и<и!-! иииа-~ и в „=о.,„„,( ~ =1...— и!.
Ь.иоа лаиид Ои ии — ! Следствие 1. Пусть дан ряд р аи и Аь = ~~! аи, ии! «иии 1=пц<п! <нз< ... Если Ьп! аи пОиаир(пь — п!, !)< и-иии ь < + оо, то ряды ~~! аи н ~ А» сходятся или расходятся ии! одновременно. ии — 1 Следствие 2. Пусть дан ряд ~ аи и Ая = ~~! аи, ии! ииии 1 1 = пе < и! < пз < .... Если для и!, ! < и < и!, — 1 все числа аи имеют одинаковый знак (нуль будем считать с лю- бым знаком), то ряды ~ аи н ~~! А» сходятся или расходятся и=! Ьи! одновременно. Следствие 3. Пусть дан ряд ~~! аи. Обозначим через и=! !Ь„) по!.ледовательность, содсржашу>о все те и только те члены посл< довательности 1ои), и = 1,2,..., которые отличны от нуля, перенумерованные с сохранением порядка.
Тогда ряды ~ ~аи и ~ ~Ьи сходятся или расходятся одновременно. ии! ии! О Если два ряда ~~! аи и ~~~ Ьи сходятгя, то для любых пои=! ии! си стоянных о н !! ряд ~~! !оии+дЬи) сходится и ~~ (оои+1гЬи) = ии ии ии! ии! = а~~! аз+ ф~ Ьи. и=! и=! Таким образом, множество сходящихся рядов представляет гобой линейное пространство. Отсюда получаем следующее утверждение. Пусть члены ряда ~ аи представлены в виде суммы: ои = и=! =с! 1+с! 1+ +с! 1. Тогда !.
Если все ряды ~ с!'1,1 < ! < Ь,сходятся,то ряд ~~! аи ии! «и! сходится. 2. Если среди рядов ~~! с!!1, 1 < ! < Ь, только один расхоии! си дится, а все остальны«сходятся, то ряд ~ аи расходится. ии ии! Если среди рядов ~~! с!!1, 1 < ! < Ь, расходится более, и ии! чем один,то ряд ~ аи может как сходиться,так и расхо- ии! !6 диться — такое представление не информативно в вопросе о сходимости ряда. Приведем соответствующие примеры.
2" + 5" Пример 12. Рассмотрим ряд ~~ . Так как о« = «=1 1 1 = — + — и каждый из рядов ~ — и ~ — сходится (см. 5«2« 5«2« ««! «=! 2" + 5" пример 1), то и ряд ~«сходится. 1 0« 2«.1, 2 Пример 13. Рассмотрим ряд У . Так как а« = и 2« «=1 1 п ~ и 1 - п 2« к г 2« = — + —; ряд Ъ вЂ” сходится (см. пример 5), а ряд ~ и ««1 «=1 2" -1- пз расходится (см. пример 8), то ряд 5 расходится. и 2« ««! 1 Пример 14. Рассмотрим ряд Ъ . Так как а« = — — —, то Ь'»=- 1 — — +- — — — + +— 2~ 2 й+2 й+1 3 1 следовательно, !пп о» = —, т. е. ряд 7 сходится и ' »ч» 4' ' п(и+2) 3 ««! «« его сумма равна —.
В то же время, каждый из рядов 7'— 4 '- и ОО «=! и 7 — расходится — расходимость первого установле'-, и+2 на в примере 8, расходимость второго следует из равенства 1 Я» = Я»е! — 1 — —, где Я» — частичные суммы гармонического 2' что рид ~~! а« сходится неабсолютно. ««! Пример 16. Ряд ! ! ! ( 1)«+! 2 2+3 3+"' Е [п~!] сходится неабсолютно. Действительно, частичные суммы Яз«этого ряда с четными номерами равны нулю, частичные суммы Яз„! с нечет! ными номерами равны —. Последовательность Я«сходится и к нулю, следовательно, и рассматриваемый ряд сходитсл к нулю.
О« Покажем, что ряд ~~~ )а«( = ~~~ „, расходится, ис«=! «=! 2 пользун критерий Коши. Длл произвольного нечетного числа и = 2д — 1 возьмем р = и + 2 = 2д + 1, тогда получим, что «+е 4е )аь( = «««ь«зч-! [ 3 ] 1 1 1 1 + 1 ! 2Ч +, +; — > — =!. 2Ч 2д 2д + + + Ч Ч Ч+! Ч+! 19 Итак, длл га = 1 и любого номера М нашлись такие натураль«+е ные числа и = 2Л + 1 > Ф и р = и + 2, что ~~~ )ае) > ге, т. е. ь«« С« критерий Коши не выполнен и, следовательно, ряд ~ )а«~ «=1 расходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
