И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Иусгь 5' «=1 «=1 О, п=2п! — 1. 1 — п=-2 . 2ьч ' с« = Расходимость ряда ~~ с„н неравенство 6«) с«) О поиеоыс««=1 вают, что ряд „"! 6„расходится. «=! 1 Если л = — —, то 5' 00 «Э «« С« Е х« = Е(-1)«6 = Е4 — Ег«, «=! ««! где «.—. 1 «=! О, п.=2п! — 1, 4 =- 1 — п=2п! 2тл ' 116 О, п = 2п! — 1. "- (2п — 1)и. „ (2п)!! Решение.
Так как (2п + 1)!!(2п)!! 2п + ! !пп — Йш =1, + (2п+2)Н(2п — 1)Н -+» 2п+2 то И=1. (2п — 1) Н Положим 6п = и и — (2п) и Если я = 1, то Ь а„л" = ~ Ьп. Так как пп! пп! 6пе! 2п+! 1 /1 ! 1 +О/ ~ п„+ Ьп 2п+ 2 2п 1,пз) ' то в силу признака Гаусса ряд ~~~ Ьп расходится. пп! Если х = — 1, то ~~! ап*п = ~~! ( — 1)пЬп. Из неравенств пп! оп! 1 2 3 4 2п — 3 2п — 2 ~ р' 2 3' 4 зе' ' 2п — 2 2п — !' 2п — 1 — <! 2п Так как ряд 6 гп сходится абсолютно, а ряд ~~! дп расхопп1 пп1 дится, то ряд ~ (-1)пЬп расходится. пп! Таким образом, множество М сходимостн данного ряда / 11'! совпадает с его интервалом сходимости: М = ~ — —, -) . 5' 5) Пример 9.
Найти множество сходимости ряда получаем, что -(2и — !) 24" (2 — 2) 24 . 2и З.б . (2и — 1) 2и.6„' 1 сткуда следует, что О < Ь„< —, т. е. (пп Ь„= О. Со- 6„+1 2и+ 1 отношение — = —, < ! показывает, что положитель- 6„2и+ 2 нан последовательность (6„) монотонна. Следовательно, рлд Е (-1)" 6„сходится в силу признака Лейбница. и=1 Таким образом, множество М скодимости данного ряда есть полуинтервал [-1, 1). Пусть хе — точка действительной осн и функция Дз) = ~~~ о„(е — хе)" аналитическая в некоторой окрестногв= 0 сти (l(хп) точки хе Сужение этой функции на действительную ось дает аналитическую, т. е, представимую как сумма степенного ряда, функцию у(х) = ~~~ а„(х — ха)".
и=О Теорема о единственности степенного рида. Если функция / в некоторой окрестности Г(хе) точки хе представллетсв как сумма степенного ряда: ~(х) = ~ а„(,г — хе)", х б У(хо), «=0 то эта функция бесконечно дифференцируема в Г(хе) и коэффициенты а„однозначно определлютсл равенством ~!" (. ) а„=, и=О, 1,..., и! т. е.
единственным рядом, представлнющим функцию 1(х) в окрестности точки хе, может быть ее рнд Тейлора в этой точке. Следствие. Длл того чтобы функция / представлялась степенным рядом в окрестности точки хе, необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки функция ~ имела производные всех порядков 116 В отличие от функций комплексного переменного дифференцируемость функции действительного переменного в некотором интервале (а,й) не влечет ее аналитичности в этом интервале. Действительно, существует функцкя /, непрерывная на Й, но не дифференцируемая ни в одной точке х Е Й (см. задачу 68, сгр. 327). Функция /1, первообразная для у на Й, является непрерывно дифференцируемой на Й функцией, не имеющей пн в одной точке х Е Й второй производной. Беря последовательно первообрззную Л от Д, первообразную уз от /э и т.
д., получим для любого и Е г! функцию, имеющую п непрерывных производных на Й, но не имеющую производной порядка и + 1 ни в одной точке действятельной числовой прямой. Покажем, что и условяе у Е С (У(хб)), где У(хе) — некоторая окрестность точки хе, только необходимо, но яе достаточно для того, чтобы функция / была аналитической в точке хе. Пусть Дх) = е 7г, х ф О. Так как 1пп 7(х) = О, то, б-~О полагая у(О) = О, получим функцию у, непрерывную на всей числовой прямой. Для х ф О имеем: 7'(х) = — е ~, у"(х) = - — е гб+ — е 2, 6 4 хз ' хб ' хб 24 36 8 ун'(Х) = — Šà — — Е б + — Е хб 7 хб продолжая операцию дифференцирования, получим, что А зб 71"1(х), х ф О, есть сумма выраженин вида — е ', гл Е 1Ч.
хе» 1 з Из равенства 1пп — е *' = О, пб Е Р(, и непрерывности »-4+% Х"' функция 7 в нуле следует, что у' в нуле существует и равна нулю и, таким образом, непрерывна; точно так же получаем, что у" в нуле существует, равна нулю и непрерывна. Продолжая эти рассуждения, получим, что функция у имеет в любой точке х Е Й производные всех порядков, причем в нуле все ее производные равны нулю. Следовательно, рлд Тейлора функ- ОЭ ОЭ ции 7' в нуле представляет собой ряд ~ а»х" = ~~~ О х", все »=б »=б 119 коэффициенты а„которого равны нулю. Радиу< сходимости этого ряда Я = +ос, т. е.
Ряд сходит< я прн любом х б К (<гго видно н непосредственно), но сумма его г< ть тождественный нуль и нн в какой точке, кроме нуля, не равна у(х). А поскольку единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию ~, может быть только ее ряд Тейлора в точке хе = О, то, следовательно, функция у не представляется степенным рядом в окрестности нуля, т.
е. не является аналитической в точке хе = О. Еще один пример неаналнтнческой в нуле функции у б б С (<к) приведен в задаче 75, сгр. 329. Для приведенной там функции у ряд Тейлора в нуле представляет степенной ряд Е- о„х" с нулевым радиусом сходимостн, т. е. не существуп=е ет такой окрестности нуля, в которой хгот ряд представлял бы какую-нибудь функцию. Поскольку другого степенного ряда, представляющего ( в окрестности нуля, не сущсстнует. то зта функция в окрестности нуля не представляется степенным рядом. т.
е. не является аналитической в точке хе — — О. Если радиус скоднмостн ряда ~~< а„(г — хе)" есть число аа «=О Я ) О, то фУнкЦиЯ Я(з) = ~~< ап(г — хе)" не может на кРУге «=О сходнмости совпадать с функцией, аналитической в области, включающей замыкание круга сходимостн, поскольку хотя бы одна точка окружности (з . [х — зе] = Я) 'должна быть особой точкой рассматриваемого ряда. Но эта точка не обязательно лежит на действительной осн. Так что в отлнчие от функций комплексного переменного функция действительного переменного 5(х) = ~ а„(х — хе)" может совпадать на ««О интервале сходнмостн этого ряда ( — Я, Я) с функцией У(х), аналитической на интервале (а, О) Э [-Я, Я].
Пример 10. Рассмотрим ряд ~( — 1)" хз". «=0 Радиус сходимости его равен 1, и 1 Е(-1)«хэ« = 1+ .г ««О (4) 1 для всех х, )х( < 1. Покажем, что функция Дх) =— 1+ хэ является аналитической в каждой точке а ) О. Положим С = т, — а, тогда х = С + а и 1 1 1 1 1+хе 1+ах+С(С+2а) 1+ах 1+!(С+эт«С !+« (С(С + 2а))« . ( 1)« ««О «=0 «=0 абсолютно сходящийся при С Е (О, -а + ~/2аэ + 1), сумма ко- 1 1 торого равна = —. Выпишем несколь- 1+ах+С(С+2а) 1+хе ко первых членов этого ряда; 1 2аС Сэ(Заэ — 1) Сэ(4аэ — 2а) 1+ а2 (1+ аэ)2 (1+ аэ)з (1+ аэ)е + + С" (ба4 — 10аэ+ 1) (1 1 аэ)$ Итак, для любой точки а >0 существует ряд ~~ а«(х-а)", 121 )С(С+ 2а) Полученный ряд сходится абсолютно, если ~ < 1, 1+а т.
е. для С б ( — а — ~/2аэ+ 1, — а + ~/2аэ+ 1). Если С б (О, -а+~/2аэ + 1), то все слагаемые в многочлене [С(С+2а))« положительны, следовательно, ряд, полученный после рас- крытия всех скобок, также сходится абсолютно для С б б (О, — а+ Даэ+ 1) (см. стр. 16). Делая перестановку членов этого ряда и группируя члены с одинаковыми степенями С, мы получим ряд вида а«С« = ~~~ а«(х — а)", радиус сходимости которого гс > ~/2аэ + 1 — о, а сумма рав- 1 1 на —, т. е. функция /(х) = — аналитична в точке а. л' 1+ *' Аналитичность / в нуле установлена равенством (4), а аналитичность в точках отрицательной полуоси следует иэ четности /. Таким обраэом, сумма ряда ~(-1)" хх«не определена =о вне интервала ( — 1, 1) и в то же время всюду в этом интер- 1 вале совпадает с функцией /(х) = —, аналитической в 1+хэ' каждой точке действительной числовой оси.
Полное объяснение подобного поведения степенных рядов для действительного переменного получается только в теории функций комплексного переменного. Если для действи- 1 1е Гг, хфО тельного аргумента функция /(х) = ' бесконеч- О, я=О ио дифференцируема в нуле, то для комплексного аргумента нуль является неаналитической — особой — точкой функпии /(г) = е /г. Если все точки действительной оси аналитиче- 1 скне для функции /(х) = —, то в комплексной плоскости 1+ хэ точки г~ — — 1 и сэ = — 1 являются неаналитическими точками 1 функции /(э) = и, соответственно, кругом скодимог сти ряда ~~~ ( — 1)" х ", представляющего эту функцию для г, «=0 )г( < 1, естественно является круг (х; )х) < 1), на окружности которого лежат эти особые точки. Представление функции /(х) в виде ~ а„(х — хе)", «=0 х б 1У(хе), называют разложением /(х) в степенной ряд в окрестности точки хе.
Сравнивая представление функции /(х) в окрестности точки хе многочленом Тейлора и ряд Тейлора с центром в хе этой функции, видим, что стремление к нулю при и -+ оо остаточного члена формулы Тейлора г„(/, х, хе) является необходимым и достаточным условием разложения /(х) в сте- пенной ряд с центром в хо. Из представления остаточного члена в форме Лагранжа У~ ) (хо+Щх — хо)) г«Ц,х,хо) = (х-хо)«+~, 0 < 9 < 1, (и+ 1)! получаем следующее утверждение: Теорема. Если для некоторой окрестности Р(хо) точки хо функция )(х) 6 С (У(хо)) я существуют такие числа М и у, что )у1")(х)) < Мо" для всех'и = О, 1, 2,...
и всех х Е У(хо), то функция ) (х) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности тОчки хО.' " ~1«)(хо) Дх) = 2 , , (х — хо)« ««О и интервал сходимости этого ряда включает У(хо). Если функция у удовлетворяет условиям этой теоремы, то задача: разложить у в степенной ряд в окрестности точки хо у(«)( ) сводится к вычислению коэффицяентов Тейлора о« = и) этой функции в точке хо. Обратно, если степенной ряд ~~~ а«(х — хо)«представляет ««О функцикз у в окрестности точки хо, то значения производных /1")(хо) вычисляются через коэффициенты этого ряда; у~")(хо) = и!а«.
Пример 11. В примере 10 был получен степенной ряд, 1 представляющий функцию Дх) = — в окрестности точ- 1+ хз ки х = а: 1 2а За — 1 Дх) = —— 1+ оз (1+,„з)з (1+ пз)з (х — а) + (х — а) 2а(2оо — 1) 5о4 — 10оз + 1 2а(За4 — 10аз + 3) (1 +,„з)о Следовательно, -2а (1 4 ,„г)г ' 2(За э — 1) (14, пэ)э 12(2оэ и) (1 +,эм 24(бо~ — 1Оаэ + 1) (1+ аэ)е оч 240а(За~ — 10оэ + 3) (1 з., э)е Ризлежаиии функций и ствивиипй рид Воэможность почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда внутри его интервала сходимости, а также относительная простота степенной функции делают степенные ряды незаменимыми как в теоретических, так и в практических исследованиях. Естественно, встает вопрос о разложении функции в степенной ряд и исследовании области его сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
