И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Существуют различные методы разложения функции в степенной ряд. При этом основными здесь являются следующие утверждения: 1) Каким бы образом функция у(х) ни была разложена в степенной ряд, этот ряд будет для нее рядом Тейлора (т. е. единственность разложения функции в степенной ряд). 2) Если функция /(г) (комплексного переменного =) аналитична в точке г = а, а с й, и эо = яе+йуе — ближайшая к а особая точка функции Дэ), то функция /(л) (действительного переменного) разложима в степенной ряд ~ с„(л — а)", =е сходящийся к /(я) в интервале (а — Й, а+ Й), радиус Й которого равен расстоянию между точками а и ге (особая точка функции 1(э) — точка, в которой 1(г) не является аналитической) .
С помощью этих утверждениЙ гарантирована возможность применения различных приемов разложения функции в степенной ряд в интервале (а — )хо — а), а+ )хо — а)) без дополнительного исследования остаточного члена соответствующей формулы Тейлора и примененяя других достаточных условий сходимости полученного ряда к функции /(х). Перейдем к конкретным приемам разложения функции в степенной ряд. а) Непозгредственное разлолсение функция Дх) в ряд Тейлора. В этом случае, находя ~Р')(хо), формально составляют ряд У (хо) ( )и и! и»О находят область сходимости этого ряда и анализируют, для каких значений х из области сходимости этого ряда справед- ~ ~«и)(.
) ливо равенство г'(х) = 7 (х — хо)". и! »ив Пример 12. Разложить функцию Дх) = е* гйп х в степенной ряд с центром в точке хо — — О. Решение. Применяя формулу Эйлера ези — е " в(пх = 2з получаем сз* е-зиз ер ьз)* с)! — з)и Дх) =с* ) ~ и Е ~ з ~ Е ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Е 2« ) 2г и для п-ой производной имеем () +,)пзл!+з)и () Г)псм-з)с 2 и ((1 + )и зи () )пг-зи) 2 В силу формулы Муавра (1 + «)и — (Я)» (сов — и + )вщ -и) — «Я)иезтп 4 4 125 7я . 7яЛ" ;)и (~/2)" соа — .~. 1ьчп— 4 4) 7я 7я = (1/2)" ~соа — и+ й'51п — и 4 4 ) = (~/2)" соа ~- — ) + 1сдп ~- — ) = (~/2)" е 4) 4 поэтому е(й-+.) — е-(й-~-) 71"1(х) = е (~/2)" 21 = (~Г2)"е сйп (х+ — и) 4 ,71" 1(О) = (Л)".1 — '". Составим для функции У(х) ряд Тейлора: (ч/2)" ьйп — '" Е и! люе Поскольку для радиуса сходимости Н этого степенного ряда имеем Я (/8$П— =О, 1 — — 1пп ~/]о„] = 1пп Я н-+ч.со пч+ао то ряд сходится при любом х.
Выясним, для каких значений х найденное разложение сходится к функции е'ьйп х. Рассмотрим произвольный промежуток ( — а, а]. Для х иэ этого промежутка имеем: и'"'( и <(л) откуда следует, что выполнено достаточное условие вида ]у 1" >(х)] < Л" при любом п Е г1, ]х] < а (см. стр. 124).
Отметим, что метод разложения функции /(х) в степенной ряд ~1 а„(х — хе)" непосредственным вычислением ее аде производных ~1"1(хе), л = 1, 2,..., в основном, позволяет найти, как правило, только любое конечное число членов этого ряда, поскольку найти общую формулу для у!"1(хе) бывает затруднительно, не говоря уже об исследовании сходи- мости ряда к функции /(х).
Разумеется, вычислив конечное число коэффициентов ряда Тейлора, можно утверждать, что .то есть коэффициенты степенного ряда, представляющего функцию в окрестности данной точки, только опираясь на общие теоремы, сформулированные выше, именно, на теоремы существования и единственности степенного ряда. Пример 13.
Написать три члена разложения функции 1(х)=х', х > О, в степенной ряд с центром в точке хе = 1. Решение. Поскольку х.* = е' "*, х > О, то для производных этой функции последовательно имеем (с'и') = с'~"'(1+ !пх), (стыд)о лмс 1+ 2! + ! 3 + (сл~"*) = сс'" 1+ 31пх+ 31пзх+1пзх+ )пх 2 2)пх ! '! + — + — + — — — /,. хз / '' Значения этих производных в точке х = ! соответственно равны 1, 2, 2, откуда получаем, что для данной функции степенной ряд с центром в точке х = 1 имеет вид 2(х — 1), 2(х — 1) 2! 3! (5) Заметим, что поскольку г = Π— особая точка функции с''"-', то разложение (5) представляет 7(х) в интервал< (О, 2).
В некоторых случаях для нахождения значений у!" 1(хе) совсем не обязательно искать производные функции у = 1(х) в точке хе, дифференцируя у(х), затем у (х) и т. д. Иногда значения у~" ~(хе) находятся из соотношения, связывающего функцию, ее производныг и некоторые известные функции. Дифференцируя затем последовательно это соотношение, получаем другие соотношения, из которых последовательно находятся значения производных высшего порядка. Пример 14.
Написать пять членов разложения функции у = е««"«л* в степенной ряд в окрестности точки хе = О. Решение. Производная функции у = е'«««гл«и сама функция у связаны соотношением 1 у= у'— 1+ хз т, е. у(1+х ) = у (6) поскольку у' = е««~««л*.—. Так как у(0) = е$, то у (0) = а««««л* 1+ хз = -ет. Дифференцируя равенство (6), учитывая, что у = у(х), имеем у" (1 + х ) + у' 2х = -у', (7) откуда у (0) = -у (0) = е *.
Далее, дифференцвруя равенство (7), имеем у"' (1 + х~ ) + 2ху" + у".2х + 2у' = — у", откуда у"'(0) = -у"(0) — 2у'(0) = — ет + 2ей = ет. Аналогично находим уо«> (1 + хе) + буга Ч Охуьч угу откуда уо"'(0) = — у"'(0) — 6у" (0) = — 7« у'"'(1+ хз) + 8ху""' + 12у"' = — у"", откуда уоо(0) 7е6 ч 12ей 5е Применяя метод математической индукции, находим, что у1"1(х)(1+ хз) + 2(п — 1)ху<" О(х) + (и — 2)(а — 1)у1" '1(х) = = — у1" 1(х), откуда у("1(0) = -у1" Н(0) — (и — 2)(п — 1)у'" "(О), (8) в = 3, 4,.
Итак, для нахождения у!»1(0) получили рекуррентную фор- мулу (8), причем у(0) = ей, у(О) = — у(0) = — ет, у (0) = у(0) и разложение данной функции в степенной ряд с центром в точке х = 0 имеет вид $7 е л =ей — е х+ — х+ — х — — ейх+ — х+ е 2 е 3 7 ° л е 2! ' 3! 24 24 х« 2 3» е*=~~ — =1+я+ — + — + ..+ — +., )х)<оо, и! 2! 3! и! «=е 2»+1 31пх = ~~~ (-1)» = »-е ( хз хл 2»+1 =х — — + — +" +( — 1)» + ", 3! 5! (2п + 1)! (х( < оз, 2» х = ~~~~ — ( — 1)" = х2 х2» =! — — + — +."+(-1)" — +", !х! < 2! 4! (2п)! » 1п(1+ х) = Е -'(-1)»-1= и »=1 ,2 ,3 х» + ( 1)»-1 + 2 3 и -1 < х < 1, б) Использование основных табличных раэлопсе нжж.
Как уже указывалось, на практике выразить эавнсямость а» от п непосредственно днффе(оенцированием функции У(х), т. е. найти явное выражение 7»!(хе) как функции и, чаще всего не удается. Для разложения конкретной функции /(х) в степенной ряд с центром в точке хе = 0 пользуются разложениями основных функций: т(т — 1)-... (т — л+ 1) л! «м! т(т 1) г = 1+ тх+ 2! х'+ "+ т(т — 1) ...
(т — л+ 1) + л! х" + (9) т Е 1«, -1 < х < 1. Приведем некоторые частные случаи последней формулы: 1 = 1 — х+х — х + +(-1)"х" + °, (х(< 1, 1+х 1 =1+ +хг+хз+ +х«+, И<1, 1 — х 1 1 1.3 г !.3 6 з „(2л — 1) 1! +(-1)" ' ' х" +, (х! < 1, (2л)1! 1 1 1.3 г 1.35 ~/! — х 2 24 246 (2л — 1) 1! + „"х" + ", !х!<1, 1.1, д+ — !+ г+ ' ' з + 2 2 4 2.4.6 „(2л — 1)!! „+, + ( !)« " «+1+ (2л+ 2)!! !1, 113, А — х = ! — -х — — х — — х 2 24 246 (2л — 1)!! „+, (2л+ 2)П Пример 15.
Разложить функцию дх) = е' г* в степенной рлд с центром в точке хе —— О. »-зх» з» Р~мвжже. Поскояьку е' з = е е з', то, полагая — 2хз = = у п используя таблпчвое разложение (9) для функция е", ымеем ряд з (-2хз)з ( — 2хз)" 2! «! 2ее 2е е „2е =е — 2ех + — х — — х + +( — 1)" — х "+ .. 2! 3! «! Так как разложение в ряд функция е" имеет место для всех у, то в разложеыие в ряд даныой функцыв справедлыво для всех (х( < оо.
1 Пржмер 16. Разложить функцию 1'(х) = — в степен- 1+ х~ нов ряд с центром в точке хе ю О. Р .и ° '= ун ° уяфо улу(0) д 1 функция г = —, имеем ряд 1+ у' 4+ В 12+ +( 1)» Ф«+ 1+ х~ Этот ряд представляет данную функщяю для х таких, что (у) < 1,т.е. !х~) < 1н,значат, дляхиз промежутка-1<я<1.
Заметим, что на первый взгляд кажется странным тот 1 факт, что функция у(х) = — является бесконечно диф- 1+ х4 ференцнруемой ма всей «рамой, а разлагается в степенной ряд 1+~~ (-!)" х~" только для х нз промежутка )х! < 1. Дело, «л1 однако, в том, что соответствующая функция комплексного 1 переменного /(х) = —, сужением которой на действн- 1+ х» 1 тельную ось является функцвя у(х) = —, ямеет особые 1+ х~' точка х» = 1 н хз = -1, и поэтому разложевве у(г) в степенной ряд верно для (х( < 1, что соответствует (х( < 1 (сравните пример 10).
131 а„х" = ее + а!х+ азха+ + а„х" + Е (10) и=0 с радиусом сходимости й~ и ряд Ьпх =Ье+Ь!х+Ьзх + +Ьех + =о с радиусом сходимости Йх. Пусть й = пип(Ап Нз). Тогда для )х) < й зти два ряда можно складывать, вычитать и перемножать, причем в результате опять получим 132 в) Использование сложения и вычитания рядов н умножение ряда на многочяен и ряд.
!3 некоторых случаях разложение функции в степенной ряд можно получить, суммируя табличные разложения или ранее найденные Так, например, для разложения функций у= х с, у= (х + 1) е(п х достаточно разложение функции е~ умножить на х, а разложение функции е)п х умножить на (.с + 1). При этом иногда надо аналитическое представление функции преобразовать так, чтобы представить ее в виде удобной комбинации функций, разложения которых известны.
Так, например, для разложения функций у = 5*, у = сйпз х, 1 з У =,, У = !п(1 + х + х + хз) в степенной ряд хз — 4х+ 3' Е-" а„х" досгаточно преобразовать нх соответственно к 1 сое2х 1 / 1 1 виду у = е*'", у = —, — —,, У = 2 2 ' 2 1х — 1 х — 3/' 1 — х 4 у = 1п = 1п(1 — х ) — (п(1 — т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
