И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1 — х Помимо перечисленных ныше утверждении законность такого метода разложения функций в степенной ряд основывается на следующих результатах. Рассмотрим два ряда: соответственно степенные ряды: 00 ио (ап + 6»)х", ~~~ (ап — 6»)х", п»О »=О ~ (аОЬ» + а2Ь» 1 + азЬ -2 + .. + а»ЬО)х". »=О Такое приведение подобных членов в произведении степенных рядов является представлением этого произведения степенных рядов в форме Коши (см. стр.
67). Ясно, что степенной ряд (10) на интервале сходнмости )х) < В можно возво. дить в любую натуральную степень пь и в результате опять получится степенной ряд ~~~ а! !х", коэффициенты котороп»О го а! ! находятся путем перемножения ряда (10) самого на себя га раз и приведением любым способом подобных членовох",п=О, 1, 2,... 1 Пример 17. Разложить функцию,/(х) = в хз — 2х — 3 степенной ряд: а) с центром в точке хз — — О, б) с центром в точке хз = 4.
Решение. а) Представим данную функцию в виде 1/ У(х) = хз — 2х — 3 4 (,х — 3 х+ 1! 1 1 1 1 з 4х+! 1 Применяя известные разложения для функций у = 1 х+1 н у = —, имеем ! — х — 3 (З) +' ' (З) +"'' (З~ з ! +,2 .3+ + ( 1)» п+ я+1 1ЗЗ Следовательно, получаем: / Х Х 2 Х в ОО = — (~ + — -.- Я -:- ": (-) ~ ")— 121, 3 3 3 1 (1,+ 2 3+ +( !)и и+ ) 4 1 2 7 =--+-х — — х + .+ 3 9 27 ,и + (11) б) Представим данную функцию в виде 1 1 1 1 1 1 1 1 /( )— 4х — 3 4х+! 4х — 4+1 4х — 4+5 ! 1 1 1 4 ! + (х — 4) 20 1+ '=О ' откуда имеем 1(х) = — ~( — 1)п(х — 4)п — — ~~~ ( — 1)и ~— 4 20 [, 5,3 п»О «»0 т.
е. /( !)» 1 ( !)«~2 /(х) = ~ ~ — — — ) (х — 4)". 4 20 5» ) п»О Полученное разложение верно при х таких, что одновре- 1х — 41 менно выполняются неравенства ~х — 4( < ! и 1 — ~ < 1, т, е. 5 при )х — 4) < 1. 1 Поскольку первый ряд сходится к функции у = — при ! и 1 ф < 3, а второй — к функции у = — при )х) < 1, то х+1 1 ряд (11) представляет функцию у = при ф<1. х2 — 2х — 3 Итак, Пример 18. Разложить в степенкой ряд функцию /(х) = = 1п(1+ я+ х ).
Решение. Представим функцию у = 1п(1+ х+ х ) в выде 1 — хз з у = 1п — или так у = 1п(1 — х ) — 1п(1 — х). Раскладывая 1 — х теперь в степенной ряд каждую из функций у = 1п(1 — * ) и з у = !и(! — х), имеем з з ,6 х9 .зи 1п(1 — х ) = -х — — — — — .— — + 2 3 п )х ! < 1, т. е. !х) < 1, з и 1п(1 — х)— 2 3 п , )х(< 1. Следовательыо, 1п(1+х+х ) = — х — — — ~1+ -) х з) е з у 1~ т — — — — — ~!+-~ — — — "., ( (<1.
6 4 5 ~ 2) 7 Отметим, что предложенное преобразование функции у = = 1п(1 + г + х ), определенной иа всей действвтельной оси, У! хз~ к функции у = 1п ~ — ) ве сужает области разложимости функции у = 1п(1+ х + х ) в сгепеыной ряд, поскольку разложение функции у = 1п(1+ г+ г ) возможно до первой особой точки фуыкцыи у = 1п(1+ х+ х~) = /(х). Особые же точки .,Гз 1,,Гз этой функции есть точки х1 — — — - + ! — и хз = —.— — ! —, 2 2 2 2 ' которые находятся на окружности !х( = 1, т. е. кругом скодимости степенного ряда с центром в нуле, представляющего функцию /(х), является круг )х( < 1.
Его сужеыне иа действительную ось есть интервал (-1, 1), поэтому интервалом сходимости степенного ряда с центром в нуле, представляющего функцию у(х), является имеыио этот интервал, в котором функция у = 1п(1+ х+ х ) тождественно равна фуцкциы у = 1п(1 — х ) — 1п(1 — х). Для рыможенвя функции у(х) в степенной ряд с центром в точке хе ф 0 чаще всего применяется следующий метод: вво. 135 ппо Дх) = ~ ап(х — хо)", )х — хо( < Н.
ппо Пример 19. Разложить функцию /(х) = совах в степенх ной ряд с центром в точке хо — — —. 4' Решение. Поскольку 1+сов2х сов х= 2 то /1+сов2х~ 1 ! У(х) = ~ 2 ) 4 2 ) = — + — сов 2х+ 1+ сов 4х 8 3 1 ! = — + — сов 22 + — сов 4х. 8 2 8 Обозначим ! = х — —, тогда х = ! + 4' сов 4х = — сов 4!. Следовательно, 3 1 . ! у(х) = /'(М) = — — -вп2! — — сов4$. 8 2 8 Применяя ржоложения (9), имеем Ц 22п+1!оп+1 у'(!) = ---'> 8 2 (2п+ 1)! 8 х —, сов2х = — в1п2$, 4' Е ( 1)п42п!2п о (2п) ф < оо. Возвращаясь к х, получаем ( !)и 22п я 2п+1 сов'х = — — ~~~, (х — — ) + 4 (2п+ 1)! 4 ( !) +124п-з „зп + ~п, (х — — ), (х) < оо.
пп1 Остановимся более подробно на сложении бесконечного множества степенных рядов. !Зб днтся новая переменная ! = х -хо и ищется разложение функции 7'(!) = /(!+хо) в степенной ряд по степеням ! (с центром в точке ! = 0) 1'(!) = ~~~ а„!", (!( < Н. Откуда получаем, что Пусть дана последовательность сгепенных рядов а»,пя», т = О, 1, 2,.... п»О Иэ них составим повторный ряд ап зп . (12) Если при значении я, равном яе, сходится ряд, полученный заменой всех членов их абсолютными. величинами, т. е, )ап ((яе(, то сходится и ряд (12), причем сумма ив»о 1»по его Ь'(я) может быть представлена степенным рядом просто путем приведения подобных членов; А(я) = ~ Ап*", где ОО п=е Ап = ~ ап,п=О, 1, 2,....
аппо Првмер 20. Разложить функцию У(.) = Е: ',„,, 1*(< 1. О «1, т»О в степенной ряд с центром в точке я = О. Решение. Поскольку »В сп ( 1)п 1т(2»+1)я2» (я) < )+аз яз л г п»О то, подставляя это выражение в Дя), получаем У( ) ( 1)» т)2»+1) 2п — (-1) 1И! т=е»»О ( 1)п 2» ~,~п ( 1) ~~ ~( 1)п -»О"+' 2» ппе т»О =О Перестановка суммирования законна, поскольку ряд ОО»Э Е вЂ” Е 12»+1)т 2» п11 ~-' п~»О п»О 1Э7 сходится: ат ео < — ') 1 х2 гп! 1 х2' пав=о Пример 21.
Разложить в степенном ряд с центром в точке хо = 0 функцию у = с!8х. Решение. Используя результаты задачи 80 и. 1 (стр. 330), имеем соотношение 2х2 хс!8х=1+ ~~!, хфМ, й=О, 1, 2... пюп ! Если )х) < 1, то для любого о2 = 1, 2, 3, и' хз — пгп!2 ! — *' ~-' ~,кзп22/ »5»Т «и! поэтому (13) ч-» ! где гз« = ~ — „, п = 1, 2,.... Отметим, что есин искать и!и! разложение функции /(х) = х с!3 х в виде ряда у ао+а!я+а2х + ' ' '+а«х«+ ' ' со /оо (2»+ 21»! 2» гп! пю«О ««О 2« = 1 — 2 Е 2» г2«ю «п! =Е п~ < и!! ! — аз'"х2 поло (см. пункт г) яастоящего параграфа), то коэффициенты а« мол!но найти яз равенства х соа х = ош х, т.
е. хг 4 о г» 1- — + — — — + "+(-1)" — +" 2! 4! 6! (2 я)! хз хо хг" х — — + — — ° "+(-1)" ! + х 3! 5! (2п — 1)! х (во+а!я+аз«о+ +а х»+ ) Приравнивая коэффициенты прн одкнаковых степенях х как в левой, так в в правой частях этого соотношения, последоао 1 1 вательно находам ао — 1, а! — О, аг — — = --, т. е. аг = --, 6 2' ' 3' 1 ао аг ! аз = О, — = — — — + а4, т.
е. ао — — —. Сопоставляя ' 24 120 6 ' 45 козффяциенты прв хг н х~ в раэложеняя (13) со значением аг и ао, получаем л я»-»~ я тг 6 ' п«4 90 ° в»! »!»! !') Метод веовредевеивых козффвжиевтов. В некоторых случаях для нахождения разложения функцви в степенной ряд используется метод неопределенных коэффяциентов. Суть его состоят в следующем: ищется разложение функция 7(х) в виде г а«х, затем составляется некоторое соот« о»о ношение, связывающее функцвю 7(х) нлн ее производные с другими фувкцвями, в вз условия то!кдествеяного равенства нулю степенного ряда яа некотором множестве пряравняваются к нулю его коэффициенты.
В результате получаются соотношения, связывакяцве числа а«, пэ которых онн последовательно могут быть все нли в достаточяом колячестве (нам необходимом) напдепы. Этот метод полезен при разложении в ряд функций у м е~! 1, у = !пах) в т. д., п, кроме того, при репмввв обыкновенных дифференциальных уравнений, вахождевпв у!"1(хо) с помощью рядов и т.
д. Отметим еще, что в этом методе существенно молпю облегчить вычнсленве, пользуясь тем, что степенной ряд с цен- 1+ хг откуда (1+ хг)у' = у. Будем искать разложенне функции у = е'"'з' в виде у = = аз+ а!х+ агхг+ . + а„х" + . Тогда имеем (1+ хг)(а, + 2агх+ Зазх~+ + + па„х"-' + (и+ 1)а„+!х" + . ) = — аз+ а!х+ агх + ' + аох + (!4) Приравнивая свободные члены и коэффициенты прн одинаковых степенях х как в левой, так н в правой часта (14), находим а! =аз, 2аг = а! 1 а! + Заз = аг, 2аг + 4ао -- аз, (и — 1)а„!+(и+ 1)а„+! = а,, Поскольку прн х = 0 имеем е'"'"* = 1 го ао = у(0) = 1 1 1 1,аг— - —,,аз=--, 2' 6' Следовательно, ао = 1, а тогда а! = 7 5 ао = — —, ао = —, и т, д. 24' 120 тром в точке х = О, представляющий четную функцию, имеет вид ~~! сох, а соответствующий ряд для нечетной функции о=о оо имеет внд ~~> сох~ о=! Рассмотрим некоторые примеры. Пример 22.
Разложить в степенной ряд с центром в точке хо = О функцию у оооо!Во Решенже. дифференцируя функцию у = е'""з*, имеем Итак, э 7 е 1 О у= 1+х+ -* — -х — — х + — х + 2 6 24 24 Заметим, что разложение для функции у = е""Я' можно получить, зная разложение функции у = е~~"я~ (см. пример 14), поскольку е =е агсгяа $-«гессе« й — 1«-агссге1-«П — й агссся1-а) =е =е .е г'.
з.1э 7 а 1 э =е а-еа 1+х+-х — -х — — х + — х + 2 6 24 24 э 7 е 1 — 1+х+ -х — -х — — х + — х + 2 6 24 24 д) Подстановка рада в ряд. Пусть функция у = /(х) в промежутке (-Й, Й) разласается в степеннои ряд ~~г а„х", а ««О Оа Функция $Р(у) резлаГаетси В с'Гепенной ряд 1О(д) = ~~~ О,«у для у Е (-р,р). Если ае -— - )~(О)) < р, то при достаточно малом х будет верно неравенство )/(х)( < р и имеет смысл функция у (/(х)). Справедлива следующая теорема. если (ае) < р, то функция р (у(х)) разлагается в окрестности точки х = 0 и степенной ряд, который можно получись, подставляя в ряд для у(у) вместо у ряд ~~г а„х" и «=О производя возведение в степень и объединяя затем подобные члены х', р = О, 1, 2,.... Заметим, что область изменения х, для которых обеспечивается воэможность разложения функции р (/(х)) в ряд по степеням х, можно, например, определить иэ условий )х( < Й и неравенства ~~г (а„х" ~ < р.
Если представляет интерес вся ««О 141 область, в которой возможно разложение уЩх)), то этот вопрос требует отдельного исследования. Пример 23. Рассмотрим функции у(х) = — 2х — хз К= ~ос н р(у) = ~~~ у~ р= 1. 1 ! <Рункция р(/(х)) = — имеет смысл 1+ 2х+ хз (1+ х)з при — ! < -2х — х < 1, т. е. прн — ! — Й < х < -1+ ~/2, 3 х р -1. Ее разложение по степеням х есть 1 — 2х -1- 3хз — 4хз -1- . -~ (- 1)" ~ ох" 4- Этот ряд сходится при !х( < 1. Равенство ( — 2х — хз) = 1 — 2х+ Зхз — 4хз+ Е т=е (15) з!и х 1п —, х /(х) = х О, фО, =О в ряд по степеням х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
