И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Признак Днрихле в данном случае не применим, поскольку нарушено условие монотонности ( 1 — соя их ) относительно и последовательности ! и Иэ критерия Коши выводится следующее утверждение. Пусть члены ряда ~ ип(х) непрерывны на замкнутом пп! множестве Р и ряд сходится равномерно на множестве внутренних точек Р. Тогда этот ряд сходится равномерно на Р'. Это утверждение поэволяе г в некоторых случаях устанонить неравномерную сходимость ряда.
Именно, если рассматривается ряд, члены которого непрерывны на замкнутом множестве Р, но ряд расходится в некоторой граничной точке множества Р, то тогда ряд сходится неравномерно на множестве внутренних точек Е. Приведем соответствующий пример. агсс!к их Пример 20. Рассмотрим ряд !! а) на луче и пп! (с, +оо), г > О, б) на луче (О, +ос). а) Еслихй(с,+оз),е>О,то агсс!я их 1 1 ! 1 0< = — а!с!к — « — —, и и их изх изс' е агссск их следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд З и сходится равномерно на (с, +оо), с > О. б) В силу произвольности числа с > 0 и неравенства агсс!я их ! и з ос заключаем, что луч (О, +оо) входит в множество сходимости ч агсс!к их ряда у . Поскольку все члены этого ряда непрев «и! ОО агссск О х рывин на [О, +оо) н ряд ~~~ — расходится, то п 2и «п! пп! агсс!к их делаем вывод, что на луче (О, +оо) ряд пз сходится и пп! неравномерно.
Свойства равномерно сходяпхикся последовательностей и рядов. Теорема о непрерывности предела последовательяости (суммы ряда). Если все члены последовательности (ряда) непрерывны относительно множества Е') в точке хо б Е и последовательность (ряд) сходится равномерно ва Е, то предельная функция (сумма ряда) непрерывна в точке хо б Е относительно множества Е. Обратим внимание на сочетание локальных и глобальных свойств последовательности (ряда) относительно множества в формулировке этой теоремы.
Равномерная сходимость— глобальное свойство, а непрерывность в точке — свойство локальное. Разумеется, если члены последовательности (ряда) непрерывны относительно Е е каждой точке х е Е, то при условии равномерной сходимости этой последовательности (ряда) на Е предельная функция (сумма ряда) непрерывна на Е относительно этого множества. Теорема о почленном интегрировании последовательности (ряда). Если все члены последовательности (У«(х)) (ряда ~~' и„(х)) интегрнруемы в смысле Римана на «о! отрезке [а,6] и последовательность (у„(х)) (ряд ~и„(х)) «о! сходится равномерно на [а, 6], то функция Дх) = )пп у„(х) «-+со (э(х) = ~~ н„(х)) интегрируема на [а,Ь] и для любого «о! хо с [а,6] имеем, что Д(1) й =) уЯ й на [а, 6] ээ '! Фу«кане ! (с) непрерывно относнтееьно ыножесэ вв — это энвчнт, что сук!евое фу«копн нв э то ыножество непрерывно. Теорема о почленном дифференцировании последовательности (ряда).
Если все члены последовательности (/„(х)) (ряда ~~~ ии(х)) днфференцируемы на [а,6], после»и! оо довательность (/„'(х)) (ряд ~~ и'„(х)) сходится равномерно ии! о па [а,6], последовательность (/и(х)) (ряд ) ии(х)) сходит»и! гя хотя бы в одной точке хе б [а,6], то последовательность со (/и(х)) (ряд ~~[ ии(х)) сходится равномерно на [а,6] к диффе»=1 ренцируемой на [а,6] функции и ~ 1нп /и(х)) = 1пп /,',(х) и-ооо по»о < оо Ф оо (о .[*!) = о '.[*!) и **о[.Н ии! пи! Условие равномерной сходнмости последовательности (ряда) производных в теореме о почленном дифференцировании [стественно потребовало существования игих производных на всем отрезке [а,6].
Таким образом, хотя эта теорема и говорит о локальном свойстве —. дифференцируемости предела последовательности (суммы ряда), но условия ее бояее глобальные, чем условия теоремы о непрерывности. Отметим еще, что все три теоремы -- о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела последовательности (суммы ряда) дают только достаточные условия того, что предельная функция (сумма ряда) обладает соответствующими свойствами (см. задачи 00, б1, 02, 03 стр. 324-325). Обращением (с некоторыми дополнительными условиями) теоремы о непрерывности предельной функции (суммы ряда) является теорема Дини. Теорема Дини для последоватвиьности.
Если все функции последовательности (/„(х)) непрерывны на компакте К, последовательность монотонна относительно п и функция /(х) = 1пп /и(х) определена и непрерывна на К, то и-+оо /и(х) ':6/(х) на К. Теорема Дини для рядов. Если все члены ряда Е- н«(х) непрерывны и неотрицательны на компакте К и на «=! зтом компакте ряд скодится к непрерывной функции Я(х), то ~ и„(х):15(х) на К.
«=! Пример 21. Определим область существования функции у(х) = ~ и«(х), где и„(х) = и х е " *, и исследуем ее не«=! прерывность. Так как для всех п Е И функция и«(х) четнав и и«(0) = О, а для х ф 0 имеем -««~ 1!и! !!нзхзе- « — 1нп и — х !,— ««О « -+ сю «-+оо то функция з (х) определена на всей числовой прямой ле, явля- ется четной функцией н 7(0) = О. Так как /1 !! енр и„(х) > н„~ — ( = е «ен то на Й не выполнено необходимое условие равномерной сходимости ряда ~~ и„(х) — последовательность (и«(х)) иеран«=! ОЭ номерно сходится к нулю на 1к'. Следовательно, ряд ~~! и«(х) ««! сходится неравномерно на Ж и его сумма у(х) не обязана быть непрерывной ва И.
Г1 Рассмотрим луч с'„, .= ~ —, +со, т е И. Так как з з) — '*' / 1 Ъ то для и > и! и х б Е„, имеем, что 0 < и«(х) < и„~ — ! 2 ~,юп) — — е з, следовательно, на луче Е ряд из непрерывных и!з «3 функций ~ и„(х) сходи вся равномерно. Отсюда получаем, ««! что функция /(х) непрерывна на каждом луче Е и, тем самым, на их объединении -- луче (О,+со) =- ( ] Е . Осталось м«! невыясненным поведение /(х) в точке хе = О. /1~ Так как 0 < н„(х) для всех х Е И и и с И, то / ] - ] > Ч /1! 1 > нч ~ — /! = е, т.
е. существует последовательность х — 1 Ч Ч' сходящаяся к нулю, для которой значения /(х„) > е не схо- дятся к /(0) = О. Это показывает, что точка хе — — 0 есть точка разрыва функции /(х). Замечание. Разрывногть /(х) в точке хе — — 0 можно было установить и на основании теоремы Дини. Действительно, в рассматриваемом ряде члены непрерывны н неотрнцательны на отрезке [ — 1, 1]; если бы функция /(г) = ~ и„(х) была ««1 непрерывна на этом отрезке, то ряд сходился бы на [ — 1, 1] равномерно. Но было показано, что ряд ~ ~и„(т) сходится ««! неравномерно на [ — 1, 1], а других точек разрыва кроме хе = 0 функция /(х) на [ — 1, 1] не имеет, Пример 22. Определить область существования, исследо- вать непрерывность и дифференцируемогть функции /(х) = 1 = ~ и«(.е), где и«(х) = — ягеля пзР.
2 «=1 Решение. Все функции и«(х) непрерывны и дифферен- цируемы на К. Так как ]и«(х)] < — для х Е й, то ряд СЮ 2п' Е ° и«(х) сходится равномерно на Й, следовательно, функция «=! ОО /(х) = ~ в«(х) определена и непрерывна на 1й. Рассмотрим ««1 СЮ "формально продифференцированный ряд": ~~~ !е„(х), где 2х «=1 Ч!«(х) = н„(х) = Так как Ч!„(0) = 0 для всех и Е И, 1 + плхч 2[я( 2 Р.( ) = — Ю-(-*) !1.(*)! = 1+ о'х4 о'х' —, и-+ос, для всех х ф О, то ряд ~~~ ~р„(х) абсолютно сходится на И к неп«1 ! 1 четной функции Ч1(х). Пусть — < х < —, и Е 11.
Тогда о+1 о для о < х < 2п справедливы неравенства: — < йх < 2; 1+ й4х4 < 17; о+1 с'. к'"( ) с'. !7(п+ !) д(„+ ц д Отсюда получаем, что, во-первых, в силу критерия Коши ряд ~~1 р„(х) сходится на [-1, 1] неравномерно, во-вторых, п=1 1 1 41(х) > — для всех х > О и у(х) < — — для всех х < О. Итак, 17 17 на отрезке [-1, 1] не выполнены условия теоремы о почлен- 00 ном днфференцированяи ряда ~ ип(х). Возьмем луч Е и 1 п«1 — —, +со ]. Для всех х к Е,„справедливо неравенство т 2х 2пзхз 1 т О < Ч1„(х) = — — <— 1 + пех4 1 + п4х4 пзх пз' откуда следует, что ряд ~~1 р„(х) на Е сходятся равномерпп1 но. Итак, на Е выполнены условия теоремы о почленном дифференцировании ряда, следовательно, функция у(х) — ~оп(х) днфференцнруема на Е и ~'(х) = ~~~ р„(х) = п«1 «и1 = у(х) для всех х с Е .
Пользуясь локальностью дифференцирования н равенством (О,+со) = ( ] Е, получаем, что тп1 у(х) диффереицируема и у~(х) = у(х) для всех х > О, а в силу четности у(х) я нечетности р(х) это равенство верно и для х < О. Теперь можно показать, что /(х) не дифференцируема в точке хе = О. Действительно, в противном случае /(х) была бы дифференцируема на интервале (-1, 1), причем /'(х) = р(х) для х 7е О. Но функция /'(х) как точная производная должна обладать свойством Дарбу — ее значения должны заполнять промежуток между любыми двумя значениями /'(х~) и /'(хз), хы хз Е (-1,1), а это условие проти- Ф 1 воречит полученным выше неравенствам: / (х) = у(х) > —, 17' О < х < 1; / (х) = р(х) < — —, -1 < х < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
