И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Ряды, несобственные интегралы, ряды и преобразование Фурье (1111811), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Другимя словами, эта теорема означает, что если Р(х, у) аиаяитяческая в некоторой окрестностя точки (хе, уе) такой, что Р(хе, уе) = О, то функция у = у(х), определяемая уравнением Р(х, у) = О, также будет аналятической в окрестности точки хе 1 если Ру(хе уе) ф О Беэ ограничения общности будем счятать, что хе = уо = О. Пусть Р(х,у) = ~ сых'уь. Так как Р(х,у(х)) ьз О в °,зле некоторой окрестности точка (О, О), то, следовательно, сых'~/' = О. кь=о Если выделить член с первой степенью у, то, перенося его в другую часть и деля на коэффициент при нем, можно данное уравнение переписать так: у = с~ех+сзоу+сыху+ созу~+ сзег +смхзу+ .. (23) Ряд для функции у(х) будем искать в виде у(х) = а~х + азх + азх + Подставляя это выражение у в (23) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняк х, после возведения соответствующих рядов в степень и приведения подобных членов, получим систему уравнений, из которой последовательно найдем коэффициенты а;: О1 = спь Оз = сзе+ сыя1+ сеза~ и 'г.
д. 2 Заметим, что сформулированная теорема яосит лишь локальный характер и устанавливает только возможность разложения у по степеням х — хс вблизи хе. Определение точного промежутка сходимости этого разложения требует особого исследования. Известно, что если для Р(х, у) ее разложение в ряд по степеням х я у справедливо для )х! < г и )у) < р, то ряд для у(х) ~з сходится, по крайней мере, для ф < гп где г1 —— г Р и (см(г'р < М.
р+ 2М,~ Пример 33. Найти пять члеяов разложения в степенной ряд функции у(х), являющейся решением уравнения у = ! + хе" и удовлетворяющей условию у(0) = 1. Решевве. Функция е" является аналитической в окрестности любой точки, в частности, в точке у = 1. Позтому на основании предыдущей теоремы нз уравнения у = 1+ хе" и условяя у(0) = 1 функция у(х) определяется как функция х, аналитическал в точке х = 0: у=1+а1х+агх + +а„х" +..
Подставляя из последнего равенства выражение у — ! в уравнение у — 1 = хе" ' е, получаем, что а1х+а2х +дзх +'''+а~я +''' = хе [(1+ агх + агхг + азх + ) + )2 (д, +д 2+, «з 3! ХЕ С41~+а44'+ (а2х + агхг + 2! откуда д1 = е, аг = а,е = е, г а2е ез 3 аз = аге+ — = е + — = —,е, з з 2 2 2 азе 3 1 11 а4 = азе+агаге+ — = -е +е +-е = — е нт. д.
6 2 6 б Следовательно, в некоторой окрестности нуля имеет место представление 2 2 3 3 3 11 4 4 у=1+ех+ел +-ех + — ех +.. 2 6 Пример 34. Рассмотрим уравнение у = а+ хр(у), (24) 155 где функцию !2(у) будем предполагать аналитической в точке у = а. Тогда из предыдущего следует, что в окрестности точки х = 0 можно определить у как функцию х, аналитическую в точке х = О, такую, что у(0) = а. Пусть и = у(у)— любая функция от у, аналитическая при у = а. Если вместо у подставить в функцию и = у(у) функцию у(х), определяемую из (24), то и также будет аналитической в точке х = 0.
Най- дем разложение и(х) по степеням х. Заметим, что у = у(х, а). Дифференцируя соотношение (24) по х и по а, находим уе = у(у) + Хуу 'уе у„= х р„у' + 1, т. е. откуда Иогкольку у = у(х, а), то и и = ((у) = 1 (у(х, а)) и ди д/ ду 1!1 ду ди — '1г(у) = !е(у) дх ду дх ду да да' (25) Для любой функции Г(у) имеем дх да ' дп г!х Справедлива формула д" и д" ' (у" (у) ф] дх" да" В гамом деле, при и = 1 зто глгдует из (25). Если при и = й она верна, то при и = Й + 1 имеем 156 (1- х!л') — = у (у), ду " дх д. ду дх да' — = ю(у) — ' д" е! д !' д" и'! дх"+' дх ),дхл / (1 — ху') — = 1, ду " да Поскольку + —, у + и при х = 0 имеем и(0) = /(у(0)) = у(а) = ие, д" и~ Ю дх" ~ то /(у) = у(а) + хр(а)у'(а) + .г,~ х,~„-1 (26) + —,— (у (а)7'(а))+ .+ —,— „„,(~а"(а)у(а)]+.
Такой ряд называется рядом Лагранжа. При У(у) = у получаем х2 э и йе-! у = а+ щ(а)+ — — (рз(а)) +...+ (ф'(а))+... Пример 35. Для уравнения Кеплера Е= М+ее1пЕ, где Е -- эксцентрическая аномалия планеты, М вЂ” средняя аномалия, е — эксцентриситет планетной орбиты, сообразно вышесказанному имеем г2 Е= М+ге(пМ+; — — (сйп М)+ + 2! аМ .«,~п-3( п М) и' аМ" (Лаплас установил, ч го для этого ряда скодимость имеет место при 0 < е < 0,6627...). к) "Обращение степенного ряда".
Пусть функция у = /(х) в некоторой окрестности точки х = хе представляется рядом по степеням х — хе, т. е, у = ае + а~(х — хе) + аз(х — хе) + . + а„(х — хе)" + . Ясно, что ао — — у(хо) = уо, поэтому имеем у — уо — — а|(х — хо). (27) Предположим, что а1 ~ 0 в окрестности точки уо. Тогда х определлетсл по предыдущей теореме как функция у, причем х(у) разлагается в ряд по степеням у — Уо. Вывод: Если у является аналитической функцией от х о точке хо, то в соответствующей точке уо — — у '(хо) (при условии у'(хо) ф 0) обратная функция также будет аналитической.
Если хо = уо = О, то из (27) имеем ау + 11 хо + 119 хо + (28) и коэффициенты искомого разложения х = 61 у+Ьзуз+6зу +. последовательно определяются из соотношения ау+ )19(Ь! у+ Ьзуз+ .)9+ дз(61 у+ Ьзуз + .)з+ = 6 у+ Ьзуз+ Ьзуз+ т. е. Ь, = ., 67 = Я,69,, Ьз = '20961 Ьз + 17961 + ° ° и т. д. Пример 36. Используя разложение функцин у = агс18 х в степенной ряд 3 1 9 1 7 1 9 згсоб х = х — -х + -х — -* + -х 3 5 7 9 найти разложение в степеннои ряд функции х = 18У у+азу +азу +агу +а9У + (Выписаны только нечетные степени у, так как у = 18 х есть нечетная функция.) Ршжвжже. Из уравнения 3 1 9 1 7 1 9 у = х — -х + -х — -х + -х 3 5 7 9 имеем з 19 17 19 х= у+-х — -х +-х — -х + 3 5 7 9 158 Подставляя в это соотношение вместо х ряд у+азуз+ аьу + аьу" + аду + получим равенство у + азу + аьу + оду + аду + .
У + -(У + озу + аьу + аду + .. ) 1 з ь д з 3 -(у+азу +азу + ) + ! 3 ь ь 5 (У+азу +азу + ) + 1 з ь д 7 откуда 1 1 1 2 аз = —, аь = —.Заз — — = —, 3' 3 5 15' 1 1 з ! ! з 1 17 ад=- З.аь+ —.Зазз — -5аз+ -=аь+азз — аз+ — = —. 3 3 5 7 7 315' Итак, з 2 ь !7 д х=ьеу=у+ у + у + у + 3 15 315 т. е. з 2 ь 17 т у=ьйх=х+-х + — х + — х + 3 15 315 Задача разложения в степенной ряд функции у, определяемой уравнением (24) (см.
стр. 156), и обращены ряда связаны между собой. Если предположить, что дд(а) ф О, то ураву — а пение (24) можно переписать в виде х = — и ясно, что р(у) нахождение разложения в степенной ряд функции х(у) равносильно обращению степенного ряда функции !д(у) с центром в точке а. Обратно, если надо обратить ряд у = оьх+ азхз+ + аех" + .. (аь ь! О), то перепишем это соотношение в виде у = х(аь + азх + . ) ьв хЬУ(х) и придем к уравнению типа (24) 1 л = у.— = О+ и у(з).
41 (л) Тогда имеем в силу соотношения (26) пс с!л" ' Вс" (и) Пример 37. Рас смотрим уравнение у=я(а+я), афО. 1 Перепишем его в виде к = у — -. Так как а+ г. 1 " (-1)" '-п(п+!) . (2п — 2) сс'и" ' а+ л (а + л)сп — с то получаем разложение у у „с (/сс — 2)! у х= - — — + +(-1)" ' — „+ ав (и 1)!сс! авп-с Пример 38.
Рассмотрим уравнение у =ау+я у=а+— у/ 1 Здесь ус(у) = —. Полагая Г(у) = у, по формуле Лаграну жа (26) находим 1 ! й лв!с((с»3) у" аь ав+' 21 а" +4 гв (с(74+ 4)(!с + 6) л4 74(!с + 5)(!с + 6)(й + 7) ,1! ля+в 3! а" 4" с.: другой стороны, у = — + ~/ — +л (у(0) = а). Отсюда Ч» получаем, например, прн а = 2, что 1с(й+ 4)(й+ 5) /х~э 3! (4/ л) Разложение функции в обобщенный степенном ряд.
Иногда возникает необходимость разложить функцию не по степеням х — хе, а по степеням некоторой другой функции, т. е. в обобщенный степенной ряд. При этом можно пользоваться всеми рассмотренными выше приемами и, конечно, табличными разложениями функций в степенные ряды. Пример 39. Разложить в ряд по степеням ~/х функцию у = ассе!в(1 — х) при х > О. Решение. Для производной функции у = агсе!п(1 — х) — 1 Г= .и,. -, - - ° гг ) — (1 — *г (< г *) 1, у 3 у' = — — = — = ~1+ -х+ — х + /2х ! ~ ~/2х ~, 4 32 г 1 1 3 з 1 = — — — — /х — — (~/х) — . = — — + ~р(х).
н2х 4~/2 32~/2 ~/2хх 1 3 Функция у(х) = — — ~/х — — (~/х)з — .. представляет 4ъ/2 321/2 собой равномерно сходящийся ряд на [О, а), 0 < о < 2. Позто- 1 му первообразиая для функции — — есть — ~/2х, а для функ- ~/2х 2 3 я ции р(х) есть — — х' — — хг — . Поскольку у(0) = —, 6 Я 80ъ/2 2' я г 2 з 3 то у = — — ч2х — — хг — — х»+ ., 0 < х < 2.
2 6~/2 80~/2 Отметим, что получить разложение данной функцни по положительным степеням х невозможно, иначе, основываясь на теореме о том, что внутри промежутка сходимости степенного ряда функция, его представляющая, имеет пронэвод- 161 ную, получили бы, что ее имела бы в точке г = О и исходная функция, что не так. х Пример 40. Разложить функцию 7(х) = )п (соя — ~ в ряд 2 по степеням соя х. х! 1 1 Решение. Поскольку (п)сое — ~ = —,)п(1+ соех) — — 1п2, '2! 2 то полагая у = созх и разлагая в степенной ряд функцию у = 1п(1+ у), получаем х~ 1 1 1и ~соя — ~ = — 1п(!+ у) — — 1п2 = 2~ 2 2 / 2 „3 ( 1)е!у» = — (У вЂ” — + — + + + ( — —,)п2= 21 2 3 н ( 2 1 1 „,ссм" х = — —,!о 2+ — ~ ( — 1), х >е х(2й — 1), й Е г.'. 2 2 и ею! Пример 41. Функция у(х) задана уравнением х = у — агсФОУ. Выделив главную чапгь вида Сх, С ~ О, функции у при х -+ О, найти трн ненулевых члена разложения зтои функции в ряд по степеням х".
Решение. Из равенства У У У У агс!3 у = у — — + — — — + — + 3 5 7 9 (см. пример 28) следует, что у кЗх'!~, г -+ О. Итак, будем искать три ненулевые члена разложения функции у(х) в ряд по степеням х . Замечая, что из уравнения х = у — агс1яу ~/з следует нечетность функцпи у(х), делаем вывод, что коэффициенты у х"~~ при четном и должны равняться нулю. Итак, представим функцию у в виде у(х) = ГЗх!~ + а ~ х + озх~~~ + и будем искать коэффициенты аы аз так же, как при "обра- гцении" степенного ряда (см, стр.157). Из соотношений У У У У х— — — — + 3 5 7 9 р=ЯзЦ +а х+азх 7 + получаем: з = Зз+ ЗЯа хь7з+ ЗДаззз1з+ З~У9зз!з+ уь ЗЯзь/з+15Яа,з'~з+ у = 9~ГЗз~~з+ ..
— а+ хЦз ~Г9а~ — -ь79 + 5 +з™ ФЗаз,+Фаз — З.ГЗа, +-ФЗ +". 3 9~Г9 Откуда следует, что а, = —, аз = —. Итак, 5' 175 ' ф(й) — у'За ~ + -а+ — з ~ + з ~з 3 9К9ьз 5 175 Суммируя эту последовательность, пэлучим другой ноьтор- ный ряд кЕ'") с=! г=! (6) ! ! 22 ((с-г,' ) г'г 22 (с--~)н Угг г+ (с-+)' 2 — — +— г г ! гг (! г~ (!--! )' 2 ( -")' ! гт ! гг ( -".)' (с-ф)' — э+в (с-эг 2 (1 .! )' г' 2+ (с--! )' (с-ф)н г+ Каждый из рндон по строке сходится абсолютно и суммы ! ! ! 1 ! нх равны: первого —, второго — —, третьего — — и т. д. Эти 2' 22' ' 222 165 Определение.
Повторный ряд (4) называется сходящимсе ся, если сходится каждый из рядов (3) и сходится ряд ~~! Ач, СО 9 ! где Ан = ~ ~а, — сумма д-го ряда (3). В этом случае сумма с=! Е ° Ан называется суммой повторного ряда (4). 9=! Определение. Повторный рнд (6) называется сходящимсн, если сходнтсн каждый нз рядов (5) и сходится ряд ~ А„ с=! где А„= ~~с ам — сумма г-го ряда (5). В этом случае сумма и=! А, называется суммой повторного ряда (6).
с=! Как показывает следующий пример, суммы обоих повторных рндов не обязаны совпадать; более того, сходимость одного повторного ряда, вообще говоря, не влечет сходимости другого. Пример 1. Рассмотрим матрицу суммы образуют сходяшнйся ряд, сумма которого равна 11!111! — + — —, + — — х+- 2 22 22з 2 Рассмотрим теперь ряды по столбцам. Для первого полу- чаем сумму 1/ 1 1 ! -~1+-+ —,+ + — +" =1. 2 ~, 2 2л 2' Для второг — — 1+ 1 — — 4- 1 —— 1 1 2л Для столбца с номером 24+ 1 сумма равна — 1+ !†.†,, + !††,, 1-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
